1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

[探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1)命题p是对命题q的否定，命题q也是对命题p的否定． (2)①中命题p真q假，②中命题p假q真．p与q一真一假． 新知生成　一真一假 探究2 探究问题2　提示：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x＋1>0不成立，即找到一个实数x，使x＋10，也就是“∃x∈R，使x＋10”，它是一个存在量词命题． 新知生成　∃x∈M，¬p(x)　存在量词 典例讲评　1．解：(1)“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”． (2)“∀x∈R，有＝x”的否定是“∃x∈R，使≠x”． 发现规律　存在　存在量词(∃) 学以致用　1．解：(1)∃n∈Z，n∉Q． (2)存在一个奇数的平方不是奇数． (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 探究3 探究问题3　提示：　类比全称量词命题的否定求解． (1)所有凸n边形(n∈N，且n3)，它的内角和不等于720°． (2)∀x∈N，x2的个位数字不等于3． 新知生成　∀x∈M，¬p(x)　全称量词 典例讲评　2．解：(1)¬p：∀x>1，x2－2x－3≠0．假命题． (2)¬p：所有的素数都不是奇数．假命题． (3)¬p：所有的平行四边形都是矩形．假命题． 发现规律　全称　全称量词(∀) 学以致用　2．(1)B　(2) [(1)∵¬p是假命题，则p是真命题， ∴ax2＋2x＋1＝0有实数根， ∴当a＝0时，即2x＋1＝0有实数根，解得x＝－，故符合要求； 当a≠0时，即有Δ＝4－4a0， 解得a1且a≠0； 综上所述，a1． 故选B． (2)命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0的否定¬p为∃x∈R，x2＋x＋a＝0，因为命题p是假命题，所以¬p为真命题，所以Δ＝12－4a0，解得a．] [应用迁移] 1．C　[此全称量词命题的否定为：∃x∈R，|x|＋x2<0．] 2．A　[存在量词命题的否定是全称量词命题．] 3．A　[平面五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， 因此命题p是真命题，CD错误； 又命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 因此p的否定是：所有平面多边形的内角和都不是540°，B错误，A正确． 故选A．] 4．∀x>0，x2－x＋1＝0　∃x>0，x2－x＋1≠0　[用符号语言表示原命题为：∀x>0，x2－x＋1＝0， 该命题的否定为：∃x>0，x2－x＋1≠0．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习目标]　1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(逻辑推理) [讨论交流]　预习教材P28－P31，并思考以下问题： 问题1．全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是什么？ 问题2．存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是什么？ 问题3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　命题与命题的否定的真假判断 探究问题1　观察下列命题，思考并回答下列问题： ①p：1的相反数是－1；q：1的相反数不是－1． ②p：π是有理数；q：π不是有理数． (1)命题p与q之间有什么关系？ (2)命题p与命题q的真假存在什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能________． 探究2　全称量词命题的否定 探究问题2　“∀x∈R，有x＋1>0”是一个全称量词命题，如何否定它？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：______________．也就是说，全称量词命题的否定是________命题． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)写出下列全称量词命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)∀x∈R，有＝x． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对全称量词命题否定的两个步骤 全称量词命题____量词命题 ①全称量词(∀)______________； ②结论否定结论． [学以致用]　1．写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　存在量词命题的否定 探究问题3　如何写出下列存在量词命题的否定？ (1)存在凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°； (2)∃x∈N，x2的个位数字等于3． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定： ______________．也就是说，存在量词命题的否定是________命题． [典例讲评]　2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对存在量词命题否定的两个步骤 存在量词命题____量词命题 ①存在量词(∃)___________； ②结论否定结论． [学以致用]　2．(1)命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若¬p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<1} B．{a|a≤1} C．{a|a>1} D．以上都不对 (2)已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________． 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 2．命题“∃x>0，2x2＝5x－1”的否定是(　　) A．∀x>0，2x2≠5x－1 B．∀x≤0，2x2＝5x－1 C．∃x>0，2x2≠5x－1 D．∃x≤0，2x2＝5x－1 3．已知p：存在一个平面多边形的内角和是540°，则下列说法正确的是(　　) A．p为真命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540° B．p为真命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540° C．p为假命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540° D．p为假命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540° 4．用符号语言表示命题：对于所有的正实数x，满足x2－x＋1＝0：________；该命题的否定为：________． 1．知识链：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定； (2)命题真假的判断； (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用． 2．方法链：转化法． 3．警示牌：注意命题与其否定的真假性相反． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(九) 1．D　2．C　3．C　4．A　5．BCD　 6．真　∃x∈R，x2＋2x＋5＝0　 7．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根　8．{a|a1} 9．解：(1)¬p：有一个梯形的内角和不是360°． 因为所有梯形的内角和都为360°，所以¬p是假命题． (2)¬q：∃a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象不关于y轴对称． 因为∀a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象的对称轴为直线x＝0， 所以¬q是假命题． 10．D　[因为p为假命题，所以¬p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a0，即a1．故选D．] 11．D　[由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得nx2”的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D．] 12．BD　[A选项，所有四边形的内角和都是360°，故p为真命题，则¬p为假命题，A错误； B选项，¬q：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，由于x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故¬q为真命题，B正确； C选项，当x＝π时，x2也是无理数，故r为真命题，则¬r为假命题，C错误； D选项，当a＝0时，|a|＝0，故s为假命题，故¬s为真命题，D正确．故选BD．] 13．BD　[若“∀x∈M，x2>x”为真命题，则x2－x>0，由二次函数y＝x2－x的图象(图略)知，x<0或x>1；若“∃x∈M，x>3”为假命题，则“∀x∈M，x3”为真命题，综上，x<0或1<x3．由题意，集合M是{x|x<0，或1<x3}的子集即可，则B，D满足条件．故选BD．] 14．解：(1)¬p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0． (2)若p是真命题，得Δ＝4－4m0，所以m1． 若p为真命题，q为假命题， 则解得m－2． 若p为假命题，q为真命题，则 解得1<m<2． 所以m的取值范围为{m|m－2，或1<m<2}． 15．解：一致．因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的取值范围是一致的． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(九)　全称量词命题和存在量词命题的否定 一、选择题 1．命题“∃x>0，x2＋1＝0”的否定是(　　) A．∃x≤0，x2＋1≠0 B．∃x>0，x2＋1≠0 C．∀x≤0，x2＋1≠0 D．∀x>0，x2＋1≠0 2．p：∀x∈R，x2≥0的否定是(　　) A．∀x∈R，x2<0 B．∃x∈R，x2≤0 C．∃x∈R，x2<0 D．∀x∈R，x2≤0 3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 4．设A是奇数集，B是偶数集，则命题“∀x∈A，2x∉B”的否定是(　　) A．∃x∈A，2x∈B　 B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．(多选)命题p：∃x∈R，x2－x＋1＝0．命题q：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是(　　) A．p是真命题 B．¬p：∀x∈R，x2－x＋1≠0 C．q是真命题 D．¬q：存在两个等边三角形，它们不相似 二、填空题 6．命题“∀x∈R，x2＋2x＋5≠0”是________(填“真”或“假”)命题，它的否定是________． 7．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是________． 8．命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 9．写出下列命题的否定，并判断下列命题的否定的真假． (1)命题p：梯形的内角和是360°； (2)命题q：∀a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象关于y轴对称． 10．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1 11．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是(　　 ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 12．(多选)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．r：∃x∈{x| x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|>0 13．(多选)若“∀x∈M，x2>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A． B． C． D．{x|2≤x≤3} 14．已知命题p：∃x∈R，使x2－2x＋m＝0，命题q：－2<m<2． (1)写出¬p； (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围． 15．某中学开展小组合作学习模式，高一(1)班王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．两位同学题中m的取值范围是否一致，为什么？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$