1.5.1 全称量词与存在量词-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1)语句①③不是；语句②④是． (2)②加了对x范围的限定条件“任意给定实数x”，加了量词、范围． (3)都有对变量x的限定条件，量词是“任意、每一个”． 新知生成　∀　全称量词　任意　∀x∈M，p(x) 典例讲评　1．解：(1)命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． (2)命题中含有全称量词“所有的”，是全称量词命题． (3)命题中含有全称量词“任意的”，是全称量词命题． (4)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题． (5)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题． 学以致用　1．解：(1)真命题．(2)真命题． (3)x＝是无理数，但x2＝2是有理数，假命题． 探究2 探究问题2　提示：(1)语句①③不是；语句②④是． (2)②加了对x范围的限定条件“存在实数x”，即添加了量词和范围． (3)都有对变量x的限定条件，量词是“存在、至少有一个”都表示存在． 新知生成　∃　存在量词　∃x∈M，p(x) 典例讲评　2．解：(1)不是． (2)是；存在量词是“有些”； (3)是；存在量词是“存在”； (4)是；存在量词是“存在一个”． 学以致用　2．解：(1)存在量词命题，真命题，如6． (2)存在量词命题，真命题，如梯形． (3)存在量词命题，可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．真命题，如x＝4，y＝1． (4)存在量词命题，假命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实根． 探究3 典例讲评　3．解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以解得2m3． 所以m的取值范围是{m|2m3}． (2)q为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m2，则m＋13． 所以解得2m4． 所以m的取值范围是{m|2m4}． 学以致用　3．解：当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意； 当a≠0时，若方程ax2＋2x－1＝0有实根，则Δ＝4＋4a0，解得a－1，且a≠0． 综上可得a－1． 即实数a的取值范围是． [应用迁移] 1．C 2．D　[D选项是存在量词命题．] 3．C　[B，D是存在量词命题，故排除；对于A，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根，故A错误，故选C．] 4．{a|a2}　[由题意得a2．] 1．5.2　全称量词命题和 存在量词命题的否定 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 [学习目标]　1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(数学抽象) 2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(数学抽象) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理) [讨论交流]　预习教材P26－P28，并思考以下问题： 问题1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？ 问题2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　全称量词与全称量词命题 探究问题1　观察下列语句，回答下列问题： ①x≤2；②任意给定实数x，x≤2； ③2x是偶数；④对于每一个x∈Z，2x都是偶数． (1)上述语句都是命题吗？ (2)语句①与②有什么区别？ (3)②④有什么共同特点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 全称量词 所有的、任意一个 符号表示 _____ 全称量词命题 含有________的命题 形式 “对M中________一个x，p(x)成立”可用符号简记为________________ [典例讲评]　1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是360°； (2)所有的自然数的平方大于或等于零； (3)对任意的正实数a，a2－a－2>0； (4)∀x∈R，x都有平方根； (5)∀x∈R，有－x2≤0． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． [学以致用]　1．判断下列全称量词命题的真假． (1)菱形的四条边相等； (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (3)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　存在量词与存在量词命题 探究问题2　观察下列语句，回答下列问题： ①3x－1＝0；②存在实数x，使3x－1＝0； ③有意义；④至少有一个实数x，使有意义． (1)上述语句都是命题吗？ (2)语句①与②有什么区别？ (3)②④有什么共同特点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 存在量词 存在一个、至少有一个 符号表示 ___________ 存在量词命题 含有________的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为__________ [典例讲评]　2．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无根； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直； (4)存在一个自然数n，使代数式n2－2n＋2的值是负数． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． [学以致用]　2．判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假． (1)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)方程3x－2y＝10有整数解； (4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　依据含量词命题的真假求参数的取值范围 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅． (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　依据含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． [学以致用]　3．命题p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3 B．对有些x∈R，使得x2＞3 C．任选一个x∈R，使得x2＞3 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3 2．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀a∈N，方程ax＋1＝0有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 4．若命题“∀x∈{x|1<x<2}，x<a”是真命题，则实数a的取值范围是________． 1．知识链：(1)全称量词、全称量词命题及其真假； (2)存在量词、存在量词命题及其真假． 2．方法链：定义法、转化法． 3．警示牌：依据含量词命题的真假求参数的取值范围时，注意不要因等价转化错误导致解题切入点错误． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(八) 1．B　2．B　3．B　4．C　5．BD　 6．存在量词命题　7.5　8．存在量词命题　真 9．解：(1)∀x∈R，x20． (2)∀x∈R，＝x． (3)∀x∈N，x0． 10．D　[选项A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)20，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)．故选D．] 11．AB　[0∈N，∉Q，故A正确，C错误； “六边形的内角和为720°”是全称量词命题，故B正确； “每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题，D错误．故选AB．] 12．ACD　[因为中位数为3，所以x3即可．故选ACD．] 13．(答案不唯一)　[存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题．] 14．解：当m＝0时，方程为－2x＋1＝0，只有一个根，不符合条件；当m≠0时，由Δ＝4－4m>0，解得m<1且m≠0．所以集合A＝{m|m<1且m≠0}． 15．对于任意的正整数n，必有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2　[第二列等式右边分别是1×1，3×3，6×6，10×10，15×15，…，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(八)　全称量词与存在量词 一、选择题 1．下列命题含有全称量词的是(　　) A．某些函数图象不过原点　 B．实数的平方为正数 C．方程x2＋2x＋5＝0有实数根 D．素数中只有一个偶数 2．关于命题“∃x∈N，x2＋2x＝0”，下列判断正确的是(　　) A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 3．若命题p：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m＞－2}　 B．{m|m≥－2} C．{m|m＜－2} D．{m|m≤－2} 4．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R，2x－10＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0 5．(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，且P≠Q，则下列选项中正确的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∃x∈Q，使得x∉P C．∃x∈P，使得x∉Q D．∀x∉Q，有x∉P 二、填空题 6．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是__________．(选填“全称量词命题”“存在量词命题”) 7．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是________． 8．命题p：∃x，y∈R，x2＋y2≤1是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)． 三、解答题 9．将下列命题用量词符号表示： (1)所有实数的平方都是非负数； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个实数； (3)所有自然数都大于等于零． 10．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是(　　) A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．梯形两条对角线相等 C．有小于1的自然数 D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1) 11．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．0∈N B．“六边形的内角和为720°”是全称量词命题 C．∈Q D．“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是存在量词命题 12．(多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为(　　) A．{3，4，5} B．{x|x>2} C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6} 13．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 14．“∃m∈A，使得方程mx2－2x＋1＝0有两个不同的实数根”是真命题，求集合A． 15．观察下列等式： 1＝1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 1＋2＋3＋4＝10 1＋2＋3＋4＋5＝15 …Ｋ　13＝1 13＋23＝9 13＋23＋33＝36 13＋23＋33＋43＝100 13＋23＋33＋43＋53＝225 …Ｋ 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：________________________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$