1.4.2 充要条件-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

1.4.2　充要条件 [探究建构]　 探究1 探究问题　提示：(1)真　(2)真　(3)真　(4)真 新知生成　1．若q，则p　 2．p⇒q　q⇒p　p⇔q　充要 典例讲评　1．(1)充分不必要条件　(2)必要不充分条件　(3)充要条件　(4)既不充分也不必要条件　[(1)a5⇒a>0，a>0a5．因此应填“充分不必要条件”． (2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等，反之不成立．因此应填“必要不充分条件”． (3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”． (4)x∈R时，x2＝2x＝2，x＝2x2＝2．因此应填“既不充分也不必要条件”．] 学以致用　1．解：(1)若＝(bc≠0)，则b2＝ac，充分性成立； 若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但分式无意义，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件． (2)对于反比例函数y＝，x>0，若k>0，则y随x的增大而减小，反之，若y随x的增大而减小，则k>0，所以p是q的充要条件． (3)函数图象关于y轴对称，函数可以是y＝x2，也可以不是，充分性不成立，函数y＝x2的图象关于y轴对称，必要性成立，所以p是q的必要不充分条件． 探究2 典例讲评　2．证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0． 证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a12＋b1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0． 证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b． ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0． 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0． ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 学以致用　2．证明：先证充分性： 因为a＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2， 又因为2ab＝2a2， 所以a2＋b2＝2ab． 再证必要性： 因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0， 即(a－b)2＝0，所以a＝b． 综上可知，“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件． 探究3 典例讲评　3．解：p：－2x10，q：1－mx1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 即{x|1－mx1＋m}{x|－2x10}， 故有或 解得m3． 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m3}． 母题探究 解：p：－2x10，q：1－mx1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB． 所以或 解不等式组得m>9或m9，所以m9， 即实数m的取值范围是{m|m9}． 学以致用　3．解：设A＝{x|x<－2或x>3}， B＝， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA， 所以－－2，即m8． 所以m的取值范围为{m|m8}． [应用迁移] 1．A　[a＝0可以推出ab＝0；但ab＝0，则a不一定为0．故选A．] 2．B　[因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0．故选B．] 3．B　[因为“x<a”是“x3或x－1”的充分不必要条件，故a－1．故选B．] 4．(1)充分条件　(2)充分条件　(3)必要条件　(4)充要条件　[(1)当x∈N时，一定有x∈Q成立，但反之不一定成立，如x＝∈Q，但∉N，故填充分条件； (2)当x＝2时，22－3×2＋2＝0，反之当x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，故填充分条件； (3)当x>2时，x>3不一定成立，如x＝>2，但<3，反之x>3时，x>2一定成立，故填必要条件； (4)当>0时，说明x，y同号，即xy>0成立，反之当xy>0时，>0一定成立，故填充要条件．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2　充要条件 [学习目标]　1．理解充要条件的意义．(数学抽象) 2．会解答一些简单的充要条件问题．(数学运算) 3．能进行充要条件的证明．(逻辑推理) [讨论交流]　预习教材P20－P22，并思考以下问题： 问题1．什么是充分不必要条件？ 问题2．什么是必要不充分条件？ 问题3．什么是充要条件？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　充分、必要、充要条件的判断 探究问题　判断下列命题的真假． (1)若两条直线平行，则内错角相等； (2)若内错角相等，则两直线平行； (3)若两个三角形的两角和两角的夹边分别相等，则这两个三角形全等； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和两角的夹边分别相等． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“__________”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有____，又有_______，就记作______．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为_______条件． 3．条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且qp 充分不必要条件 q⇒p，且pq 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 pq，且qp 既不充分也不必要条件 [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空． (1)a≥5是a为正数的________； (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的________； (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的________； (4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的________． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系判断，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． [学以致用]　1．(源自北师大版教材)下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：＝(bc≠0)，q：b2＝ac； (2)对于反比例函数y＝，x>0，p：k>0，q：y的值随x的值的增大而减小； (3)p：函数的图象关于y轴对称，q：函数y＝x2． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　充要条件的证明 [典例讲评]　2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． [学以致用]　2．求证：“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　充要条件的应用 [典例讲评]　3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知条件将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． [学以致用]　3．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知a，b为实数，则“a＝0”是“ab＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0　 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 3．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A．a≥3 B．a≤－1 C．－1≤a≤3 D．a≤3 4．用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： (1)“x∈N”是“x∈Q”的________； (2)“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的________； (3)“x>2”是“x>3”的________； (4)“>0”是“xy>0”的________． 1．知识链：(1)充要条件的概念； (2)充要条件的证明； (3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用． 2．方法链：等价转化． 3．警示牌：证明充要条件时，注意辨别条件和结论． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(七) 1．A　2．C　3．B　4．ABC　5．ACD　 6．必要不充分　7.1　8．② 9．解：因为集合B＝{x|1－mx1＋2m}为非空集合，所以1－m1＋2m，m0． 选择条件①： 因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以或 解得m2， 故实数m的取值范围是{m|m2}． 选择条件②： 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 所以有m0且 或解得m＝0． 综上，实数m的取值集合是{0}． 选择条件③： 因为x∈A是x∈B的充要条件，所以有m0且A＝B， 即此方程组无解， 则不存在实数m，使得x∈A是x∈B的充要条件． 10．C　[一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则其充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，又{a|a<－1}{a|a<0}，故C正确．故选C．] 11．BCD　[由Venn图可知，BCD都是充要条件． 故选BCD． ] 12．B　[对于A，由pq知，p不是q的充要条件；对于B，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy0，故p是q的充要条件；对于C，方程x2－x－m＝0有实数根，判别式Δ＝1＋4m0，即m－，所以qp，所以p不是q的充要条件；对于D，因为pq，所以p不是q的充要条件．] 13．m＝－2　[函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．] 14．解：令k＝2n，则x＝2k＝4n，k，n∈Z，令k＝2n＋1，则x＝2k＝4n＋2，k，n∈Z， 则A＝{x| x＝4n或x＝4n＋2，n∈Z}， 又因为B＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}， 所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件． 15．证明：充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2． ∵ac<0，∴x1x2＝<0，∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程． 设两个根分别为x1，x2，则x1x2＝<0，∴ac<0． 综上，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(七)　充要条件 一、选择题 1．若a∈R，则“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知a，b∈N，则“a2－b2为偶数”是“a－b为偶数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．《三国演义》第49回中提到“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(多选)如图，直线a，b被直线c所截．下列条件中，是a∥b的充要条件的有(　　) A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180° C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3 5．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C．“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac≥0” D．若A∩B＝A，则A⊆B 二、填空题 6．已知甲：p是q的充分条件；乙：p是q的充要条件，则甲是乙的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)． 7．若“不等式x－m<1成立”的充要条件为“x<2”，则实数m的值为________． 8．给出下列条件： ①p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0； ②p：x2－1＝0，q：x－1＝0； ③p：x>4且y>3，q：x＋y>7． 其中p是q的必要不充分条件的为________．(填序号) 三、解答题 9．在①充分不必要，②必要不充分，③充要这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数m存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 问题：已知集合A＝{x|1≤x≤5}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋2m}．是否存在实数m，使得x∈A是x∈B的________条件？ 10．ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1 11．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B＝B B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 12．下列选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0 B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y| C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实数根 D．p：x>2或x<－1，q：x<－1 13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 14．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}．设p：x∈A，q：x∈B，试判断p是q的什么条件，q是p的什么条件． 15．已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$