1.4.1 充分条件与必要条件-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示： (1)无法判断 (2)真 (3)真 (4)假 新知生成　(1)真假　陈述句　真　假 (2)p　q 典例讲评　1．解：(1)若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形． 条件：一个等腰三角形有一个内角是60°． 结论：这个三角形是正三角形． (2)若两个角是对顶角，则这两个角相等． 条件：两个角是对顶角． 结论：这两个角相等． (3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分． 条件：一个四边形是平行四边形． 结论：这个四边形的对角线互相平分． (4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形． 条件：一个四边形的对角线互相平分． 结论：这个四边形是平行四边形． 学以致用　1．解：(1)因为三角形的内角和为180°，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为90°，那么第三个角为90°，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题． (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题． (3)根据等腰三角形的性质知等腰三角形的底角相等，该命题为真命题； (4)根据矩形的性质知矩形的对角线相等，该命题为真命题． 探究2 探究问题2　提示：(1)中p能推出q，但q推不出p． (2)中p不能推出q，但q能推出p． (3)中p能推出q，但q推不出p． 新知生成　⇒　充分　必要　充分　必要　充分条件　必要条件 典例讲评　2．解：(1)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)因为pq，所以p不是q的充分条件． (3)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． 学以致用　2．(1)BCD　(2)A　[(1)对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有－4a0，即a1，显然能推出a＜2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD． (2)∵x>4⇒x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件．] 探究3 典例讲评　3．解：p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2x3，即集合B＝{x|－2x3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－a＜0， 所以实数a的取值范围是－a<0． 学以致用　3．解：由题意得，P是Q的子集， 则解得－m0． 所以实数m的取值范围是－m0． [应用迁移] 1．B　[因为p是q的充分条件，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件．故选B．] 2．ABC　[由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以本选项不符合题意．故选ABC．] 3．(1)⇒　(2)　(3)　[(1)因为方程(x－2)(x－3)＝0的根为x＝2或x＝3， 所以x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， 但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故填“⇒”． (2)两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似两个三角形全等，故填“”． (3)a，b都是奇数a＋b是奇数，且a＋b是奇数a，b都是奇数，故填“”．] 4．a<－1　[若“x<－1”是“xa”的必要条件， 则{x|xa}⊆{x|x<－1}，则a<－1， 即实数a的取值范围是a<－1．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 [学习目标]　1．理解充分条件、必要条件的概念．(数学抽象) 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(数学抽象) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) [讨论交流]　预习教材P17－P20，并思考以下问题： 问题1．什么是命题？“若p，则q”形式的命题中，p和q存在怎样的关系？ 问题2．什么是充分条件？什么是必要条件？ 问题3．充分条件与判定定理，必要条件与性质定理存在什么关系？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　命题的概念与结构 探究问题1　你能判断这些语句的真假吗？ (1)x>2； (2)若A⊆B，则A∩B＝A； (3)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (4)两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断____的______叫做命题．判断为__的语句是真命题，判断为__的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，__称为命题的条件，__称为命题的结论． [典例讲评]　1．将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式，并指出命题中的条件p和结论q． (1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； (2)对顶角相等； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　只要分清命题的条件和结论便可以很容易得出命题“若p，则q”． [学以致用]　1．(源自苏教版教材)判断下列命题的真假． (1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形； (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数； (3)等腰三角形的底角相等； (4)矩形的对角线相等． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　充分条件与必要条件 探究问题2　考察下列各组中p与q之间的关系： (1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0； (2)p：a>2，q：a>4； (3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p__q pq 条件关系 p是q的____条件 q是p的____条件 p不是q的____条件 q不是p的____条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个________； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个________ [典例讲评]　2．(源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ (1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； (3)p：同位角相等，q：两条直线平行； (4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果甲是“x∈A”，乙是“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． [学以致用]　2．(1)(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 (2)使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4　 B．x>0 C．x>2 D．x<2 探究3　充分条件与必要条件的应用 [典例讲评]　3．已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． [学以致用]　3．已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有(　　) A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0 3．用符号“⇒”“”填空： (1)x－3＝0________(x－2)(x－3)＝0； (2)两个三角形相似________两个三角形全等； (3)a，b都是奇数________a＋b是奇数． 4．若“x<－1”是“x≤a”的必要条件，则a的取值范围是________． 1．知识链：(1)充分条件、必要条件的概念； (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． 2．方法链：等价转化． 3．警示牌：(1)注意不要因逻辑关系不清而导致充分条件、必要条件判断错误； (2)求参数范围时注意能否取到端点值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六) 1．A　2．A　3．A　4．AC　5．CD　 6．(1){1，2，3}(答案不唯一)　(2){1}({1}，{2}任选一个作答即可)　7．①③ 8．{a|a>2}　 9．解：(1)若x>2，则x>1成立，反之不成立，即p是q的充分条件． (2)由x－1＝，得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件． (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 10．A　[因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．] 11．BC　[“关于x的方程x2＋2x－a＝0有实数根”的充分条件：{a|a－1}的子集； “关于x的方程x2＋4x＋2a＝0无实数根”的必要条件：包含{a|a>2}的集合．故选BC．] 12．BCD　[∵－1<x<1，∴②③④是－1<x<1的充分条件．故选BCD．] 13．k＝－1，b＝1(答案不唯一)　[要使y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则k<0且b0，这是一个等价条件，而要写出一个充分条件， 故可取k＝－1，b＝1．] 14．解：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P， 所以即 所以－1a5． 即a的取值范围为{a|－1a5}． 15．解：依题意a>0，由条件p：x<1－a或x>1＋a， 可设M＝{x|x<1－a或x>1＋a}， 由条件q：x<或x>1， 可设N＝x<或x>1． 要使p是q的充分条件但不是必要条件， 则MN，应有 或解得a． 令a＝1，则M＝{x|x<0或x>2}N＝， 即p⇒q，反之不成立．所以a＝1． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六)　充分条件与必要条件 一、选择题 1．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 2．下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是(　　) A．若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB B．若x是无理数，则x2也是无理数 C．若x>y，则x2>y2 D．若x2>y2，则x>y 3．使x>1成立的一个必要条件是(　　) A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2 4．(多选)如果命题“p⇒q”是真命题，那么下列说法一定正确的是(　　) A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件 5．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中为真命题的是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的必要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分条件 二、填空题 6．设集合A＝{1，2}． (1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件； (2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件． 7．下列说法正确的是________．(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件． 8．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，如果B的充分条件是A，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？ (1)若x>2，则x>1； (2)若x－1＝，则x＝1； (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等． 10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　 ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D．无法判断 11．(多选)以下选项中，既是“关于x的方程x2＋2x－a＝0有实数根”的充分条件，又是“关于x的方程x2＋4x＋2a＝0无实数根”的必要条件的是(　　) A．a≥－2 B．a≥0 C．a≥2 D．a≥4 12．(多选)下列式子： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<1；④－1<x<0． 其中，可以是－1<x<1的一个充分条件的序号为(　　) A．① B．② C．③ D．④ 13．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的一个充分条件是________． 14．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围． 15．已知条件p：x<1－a或x>1＋a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a． 1 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