1.3 第2课时 补集-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

第2课时　补集 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1){1}；{1，，－}． (2)在有理数集范围内的解集是在实数集范围内的解集的子集． 探究问题2　提示：(1)AU，BU，A∪B＝U． (2)B中元素都属于集合U，它是由U中不属于集合A的元素组成的． 新知生成　1．(1)所有元素　(2)U 2．不属于集合A　∁UA　{x|x∈U，且x∉A} 典例讲评　1．解：(1)根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA＝{0，1，5，6}，∁UB＝{0，2，3，4}． (2)由题意得∁UA＝{x|x＝－3，或x>4}． 学以致用　1．解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1，或x1}． (2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1，或1x2}． (3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|－4x<－1，或x＝1}． 探究2 典例讲评　2．(1)A　[由集合A＝{4，a＋2}，知a＋2≠4，即a≠2，而∁UA＝{a}，全集U＝{2，4，a2}，因此解得a＝0，经验证a＝0满足条件，所以实数a的值为0．故选A．] (2)解：由已知A＝{x|x－m}，得∁UA＝{x|x<－m}， 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 在数轴上表示，如图， 所以－m－2， 即m2， 所以m的取值范围是m2． 学以致用　2.8或2　[因为U＝{1，3，5，7}，∁UM＝{5，7}，所以M＝{1，3}，又M＝{1，|a－5|}，所以|a－5|＝3， 所以a＝8或2．] 探究3 典例讲评　3．解：(1)在数轴上表示出集合A，B(如图①)， 图① 则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|3<x<5}， 所以∁R(A∩B)＝{x|x3，或x5}． (2)由图①可知A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R，所以∁R(A∪B)＝∅． (3)在数轴上表示出集合∁RA，∁RB(如图②)， 图② 即∁RA＝{x|x5}，∁RB＝{x|x3}，所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x5}∩{x|x3}＝∅． (4)由图②可知，(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x5}∪{x|x3}＝{x|x3，或x5}． 发现规律　(1)(∁RA)∩(∁RB)　(2)(∁RA)∪(∁RB) 学以致用　3．解： 法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示． 由图可知A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}． 法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1，9}， (∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，∴∁UB＝{1，4，6，7，9}． 又U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， ∴B＝{2，3，5，8}． ∵(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}， ∴A＝{1，3，9}． [应用迁移] 1．B　[由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．] 2．B　[因为全集U＝R，集合M＝{x|－2x3}，所以∁UM＝{x|x<－2，或x>3}．故选B．] 3．D　[由集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，得A∪B＝{1，2，3}，而全集U＝{1，2，3，4}， 所以∁U(A∪B)＝{4}．故选D．] 4．2　[由题意，知得a＝2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　补集 [学习目标]　1．在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示．(数学抽象) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(数学抽象、数学运算) [讨论交流]　预习教材P12－P13，并思考以下问题： 问题1．全集的含义是什么？ 问题2．补集的含义是什么？ 问题3．如何用Venn图表示∁UA? [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　全集与补集 探究问题1　根据方程(x－1)(x2－2)＝0在不同范围内的解集，回答下面的问题： (1)该方程在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________． (2)在有理数集范围内的解集与在实数集范围内的解集有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　观察下面三个集合：A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6}．回答下面的问题． (1)集合A，B，U有什么关系？ (2)B中元素与U和A有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作__． 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中____________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作_______________ 符号语言 ∁UA＝__________________ 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ [典例讲评]　1．(1)设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，求∁UA，∁UB． (2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，求∁UA． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　补集的求解步骤及方法 步骤 首先确定全集，然后进行补集的简单运算 方法 借助Venn图或数轴求解 [学以致用]　1．若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA． (1)S＝R； (2)S＝{x|x≤2}； (3)S＝{x|－4≤x≤1}． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　与补集有关的参数值(范围)的求解 [典例讲评]　2．(1)设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋2}，∁UA＝{a}，则实数a的值为(　　) A．0　　　B．－1　　　C．2　　　D．0或2 (2)设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由集合的补集求解参数的方法 (1)直接法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)数轴分析法：如果所给集合是无限集，解与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． [学以致用]　2．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5，7}，则实数a的值是________ ． 探究3　集合交、并、补集的综合运算 [典例讲评]　3．(源自北师大版教材)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求： (1)∁R(A∩B)； (2)∁R(A∪B)； (3)(∁RA)∩(∁RB)； (4)(∁RA)∪(∁RB)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系： (1)∁R(A∪B)＝__________________． (2)∁R(A∩B)＝___________________． [学以致用]　3．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，求集合A，B． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝(　　) A．{x|x是菱形} B．{x|x是内角都不是直角的菱形} C．{x|x是正方形} D．{x|x是邻边都不相等的矩形} 2．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，则集合∁UM＝(　　) A．{x|－2<x<3} B．{x|x<－2，或x>3} C．{x|－2≤x≤3} D．{x|x≤2，或x≥3} 3．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，2，3} B．{2} C．{1，3，4} D．{4} 4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________． 1．知识链：(1)全集与补集及性质； (2)交、并、补集的综合运算； (3)利用集合间的关系求参数范围． 2．方法链：数形结合、分类讨论． 3．警示牌：解决含参数的集合运算时要注意考虑空集的情况，利用数轴解题时，要注意端点值的取舍． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$null 课时分层作业(五)　补集 一、选择题 1．集合A＝{－2，－1，0，1，2}，∁AB＝{－1，0，2}，则B＝(　　) A．{－2} B．{1} C．{－2，1} D．{－2，0，2} 2．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM＝(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2} 3．图中阴影部分表示的集合是(　　) A．A∩(∁UB) B．(∁UA)∩B C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B) 4．设全集U＝{1，2，3，4}，且A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁UA＝{2，3}，则m的值等于(　　) A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 5．(多选)若全集U＝{－7，－5，－1，0，5，7}，集合A满足∁UA＝{|a|，a}，则a的值可能为(　　) A．－7 B．－5 C．－1 D．0 二、填空题 6．设全集为U，M＝{1，2}，∁UM＝{3}，则U＝________． 7．已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________． 8．设U＝R，A＝{x|a≤x<b}，∁UA＝{x|x<4，或x≥8}，则a＝________，b＝________． 三、解答题 9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 10．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UA＝{2，4}，∁UB＝{3，4}，则(　　) A．1∈A，1∉B B．2∈A，2∈B C．3∈A，3∉B D．5∉A，5∈B 11．已知集合A＝{x|x＋2>0}，∁RB＝{x|x>4}，则A∩B＝(　　) A．{x|x<－2 或x>4} B．{x|－2<x≤4} C．{x|x>4} D．{x|－2<x<4} 12．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 13．已知全集U＝{不大于20的素数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3，5}，(∁UM)∩N＝{7，19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2，17}，则M＝________，N＝________． 14．已知集合A＝{x|a<x<a＋1}，B＝{x|0≤x≤2}． (1)若a＝1，求A∪B； (2)在①A∩B＝∅，②(∁RB)∩A＝∅，③B∪(∁RA)＝R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 15．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B的差集，记作A－B．例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}． 据此，回答以下问题： (1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁UA； (2)在图中，分别用阴影表示集合A－B； (3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$