1.3 第1课时 并集与交集-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

1.3　集合的基本运算 第1课时　并集与交集 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1)集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素也都属于集合C． (2)集合C中的元素是由集合A和B中的所有元素组成． 新知生成　或　并集　A∪B　A并B　{x|x∈A，或x∈B}　 典例讲评　1．(1)D　(2)A　[(1)由题意可知M＝{2，3，5}， 所以M∪N＝{1，2，3，5}．故选D． (2)利用数轴如图所示，则A∪B＝{x|x3，或x>4}． 故选A．] 学以致用　1．(1)A　(2)D　[(1)因为M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x1}， 所以M∪N＝{x|x>－1}．故选A． (2){－1，0，1}∪{0，2，3}＝{－1，0，1，2，3}，故D符合题意．] 探究2 探究问题2　提示：(1)有公共元素，组成的集合是{2}． (2)集合D的所有元素既属于A，又属于B． 探究问题3　提示：存在．A∩B＝∅． 新知生成　且　A∩B　A交B　{x|x∈A，且x∈B} 典例讲评　2．(1)B　(2)A　[(1)因为A＝{－3，－1，0，1}，B＝{x|－2<x<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，因此，A∩B＝{－1，0，1}．故选B． (2)由题意，M＝{x|x－2}，N＝{x|x<1}， ∴M∩N＝{x|－2x<1}．故选A．] 学以致用　2．(1)B　(2){(0，0)}　[(1)由题设知A∩B＝{2，3}．故选B． (2)由得 故A∩B＝{(0，0)}．] 探究3 探究问题4　提示：A　成立　成立 典例讲评　3．解： (1)因为A∪B＝B， 所以A⊆B， 观察数轴可知， 解得a2， 所以a的取值范围是． (2)A∩B＝∅有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图． 观察数轴可知，a4或3a2，又a>0， 所以a的取值范围是 所以a的取值范围是． (3)画出数轴如图， 观察图形可知即a＝3． 学以致用　3．a－3　a1　[若A∪B＝R，利用数轴(图略)，得a－3． 若 A∩B＝B，则B⊆A． 当a4时，集合B为空集，满足题意； 当a<4时，若要满足A∩B＝B，必有a1． 综上，实数a的取值范围是a1．] [应用迁移] 1．B　[因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}， 所以A∩B＝{2，3，4}，故选B．] 2．B　[如图所示： ∴A∪B＝{x|－1＜x2}．故选B．] 3．2　[当a＞2时，A∩B＝∅； 当a＜2时，A∩B＝{x|ax2}； 当a＝2时，A∩B＝{2}．综上，a＝2．] 4．{a|a2}　[∵A＝{x|x>a}，B＝{x|x>2}， 又A∪B＝B，∴A⊆B． ∴a2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3　集合的基本运算 第1课时　并集与交集 [学习目标]　1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(数学运算) 2．能使用Venn图表示集合的关系及运算．(直观想象) [讨论交流]　预习教材P10－P12，并思考以下问题： 问题1．两个集合的并集与交集的含义是什么？ 问题2．如何用Venn图表示集合的并集和交集？ 问题3．并集和交集有哪些性质？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　并集 探究问题1　观察集合A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，C＝{0，1，2，3，4}，回答下面的问题： (1)集合A中的元素与集合C中的元素有什么关系？集合B中的元素呢？ (2)集合C中的元素与集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 文字语言 一般地，由所有属于集合A__属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的____，记作____(读作“______”) 符号语言 A∪B＝________________ 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A [典例讲评]　1．(1)已知集合M＝{x|x为小于6的质数}，N＝{1，3，5}，则M∪N＝(　　) A．{1，3，5}　　　 B．{3，5}　 C．{2，3，5} D．{1，2，3，5} (2)若集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x≤－2，或x>4}，则集合A∪B等于(　　) A．{x|x≤3 或x>4} B．{x|－1<x≤3} C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1} [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求集合并集的2种基本方法 (1)直接法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． [学以致用]　1．(1)若集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x≥1}，则集合M∪N＝(　　) A．{x|x>－1} B．{x|－1<x<3} C．{x|1≤x<3} D．R (2)已知集合A＝{－1，0，1}，则满足A∪B＝{－1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　) A．{－1，2} B．{－1，0，1，3} C．{－1，0，1} D．{0，2，3} 探究2　交集 探究问题2　观察集合A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，D＝{2}，思考下面的问题： (1)集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ (2)集合D中的元素与集合A，B中的元素有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题3　若A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，则A∩B存在吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 文字语言 一般地，由所有属于集合A__属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作_______(读作“______”) 符号语言 A∩B＝__________________ 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ [典例讲评]　2．(1)已知集合A＝{－3，－1，0，1}，集合B＝{x|－2<x<2，x∈Z}，则A∩B＝(　　) A．{－1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0} (2)(2023·北京高考)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1} C．{x|x≥－2} D．{x|x<1} [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求两个集合的交集的方法 (1)直接法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． [学以致用]　2．(1)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} (2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝0}，则A∩B＝________． 探究3　集合交、并集运算的性质及综合应用 探究问题4　若A⊆B，则A∩B＝________；若A＝B，则A∩B＝A∪B成立吗？反之呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] (1)A∪B＝A⇔B⊆A； (2)A∩B＝A⇔A⊆B； (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B； (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a(a>0)}． (1)若A∪B＝B，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围； (3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的值． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用集合交集、并集的性质解题的依据及注意点 (1)依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． (2)注意点：当集合B⊆A时，如果集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，否则易漏解． [学以致用]　3．已知集合A＝{x|x≤－3或x≥1}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是________；若 A∩B＝B，则实数a的取值范围是________． 1．(2024·天津高考)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} 2．已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　) A．{x|0≤x＜1} B．{x|－1＜x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x≤2} 3．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________． 4．已知集合A＝{x|x－a>0}，B＝{x|2－x<0}，且A∪B＝B，则实数a满足的条件是________． 1．知识链：(1)并集的概念及运算； (2)交集的概念及运算； (3)根据集合间的运算求参数范围． 2．方法链：图示法、数形结合、分类讨论． 3．警示牌：在根据运算求参数范围时，注意不要遗漏空集的情况． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(四) 1．A　2．A　3．D　4．ABD　5．ABC 6．R　{x|－1<x1，或4x<5} 7．m2　8.4　 9．解：(1)因为A＝{x|x3}， B＝{x|1x7}， 所以A∩B＝{x|3x7}， A∪B＝{x|x1}． (2)因为C∪A＝A，A＝{x|x3}， C＝{x|xa－1}， 所以C⊆A，所以a－13，即a4． 所以实数a的取值范围是{a|a4}． 10．D　[因为集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}， 所以B＝{－4，－2，0，2，4}，则A∩B＝{－2，0，2}．故选D．] 11．C　[法一：在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T，故选C． 法二：S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知T⊆S， 所以T∩S＝T． 故选C．] 12．BC　[∵M⊆N，∴M∩N＝M，M∪N＝N， (M∩N)⊆N，(M∪N)⊆N．故选BC．] 13．2　[集合M＝{x|－1x3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．] 14．解：(1)由题知，A＝{1，2}，若A∩B＝{2}， 则2∈B，1∉B， 所以22＋4(a＋1)＋a2－5＝0，12＋2(a＋1)＋a2－5≠0，解得a＝－1或－3， 当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}， 所以集合B的真子集为：∅，{2}，{－2}； 当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}， 所以集合B的真子集为：∅． 综上，当a＝－1时，集合B的真子集为：∅，{2}，{－2}；当a＝－3时，集合B的真子集为：∅． (2)对于集合B中的方程，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当Δ＝8(a＋3)<0，即a<－3时，此时B＝∅，显然满足条件； 当Δ＝8(a＋3)＝0，即a＝－3时，此时B＝{2}，满足条件； 当Δ＝8(a＋3)>0，即a>－3时，当B＝A＝{1，2}才能满足条件， 由根与系数的关系知， 即无解． 故实数a的取值范围是{a|a－3}． 15．(1)16　(2)29　[设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示． 由图可知：(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)． (2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(种)． 由于所以0y14． 所以(43－y)min＝43－14＝29．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(四)　并集与交集 一、选择题 1．已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∪B＝(　　) A．{x|x≤3} B．{x|x≥－1} C．{x|－1≤x<2} D．{x|－1≤x≤3} 2．设集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3}，则(A∪B)∩C＝(　　) A．{1，2} B．{0，1，2} C．{1} D．{1，2，3} 3．集合M＝{a，b}，N＝{a＋1，3}，a，b为实数，若M∩N＝{2}，则M∪N＝(　　) A．{0，1，2} B．{0，1，3} C．{0，2，3} D．{1，2，3} 4．(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是(　　) A．{5} B．{1，5} C．{3} D．{1，3，5} 5．(多选)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论不成立的是(　　) A．NM B．M∪N＝M C．M∩N＝N D．M∩N＝{2} 二、填空题 6．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________． 7．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 8．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________． 三、解答题 9．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}． (1)求A∩B，A∪B； (2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围． 10．集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} 11．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　) A．∅ B．S C．T D．Z 12．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝N B．M∪N＝N C．(M∪N)⊆N D．N⊆(M∩N) 13．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个． 14．集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}． (1)若A∩B＝{2}，写出集合B的真子集； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店 (1)第一天售出但第二天未售出的商品有______种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$