1.2 集合间的基本关系-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

1.2　集合间的基本关系 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1)1∈A且1∈B，2∈A且2∈B，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素．我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A． (2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C． (3)集合E包含于集合F，集合F也包含于集合E． (4)集合G，H不具备包含关系． 探究问题2　提示：能． 探究问题3　提示：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 新知生成　1．内部 2．任意　A⊆B　A包含于B　A⊆A　A⊆C 3．任何一个　任何一个　A＝B　A⊆B B⊆A 典例讲评　1．解：(1)因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B的元素，所以A是B的子集． (2)因为1∈A，但1∉B，所以A不是B的子集． 学以致用　1．(1)B　(2)P＝Q　[(1)集合A，B，C的关系如图． (2)由于P＝{x|x＝2(n＋1)－1，n∈Z}，m，n∈Z，所以P＝Q．] 探究2 探究问题4　提示：不正确．AB． 探究问题5　提示：集合A中没有元素． 新知生成　1．x∉A　AB　　A真包含于B 2．(1)任何　∅　(2)空集 典例讲评　2．解： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 发现规律　(1)2n　(2)2n－1　(3)2n－1　(4)2n－2 学以致用　2．解：由题意可以确定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}． 探究3 典例讲评　3．解：因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则解得2m3． 所以实数m的取值范围是{m|2m3}． 母题探究 解：因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 所以解得 即2m<3， 所以m的取值范围是{m|2m<3}． 学以致用　3．(1)D　[当B＝∅时，可得m＝0，符合题意， 当B＝{－1}时，m＝－2， 当B＝{1}时，m＝2， 综上，m的值为2或－2或0．故选D．] (2)解：因为a<a＋1，所以集合N≠∅． 因此N⊆M时，应满足 解得－3a4． 所以实数a的取值范围是{a|－3a4}． [应用迁移] 1．D　[空集有唯一一个子集，就是其本身，故A，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．] 2．C　[集合N的真子集有：∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个．] 3．ABD　[依题意，集合P＝{－1，1}，而T＝{－1，0，1}， 因此P⊆T或T⊇P，且PT，ABD都正确，C错误． 故选ABD．] 4．a－1　[集合A，B在数轴上表示如图，由AB可求得a－1，注意端点能否取到是正确求解的关键． ] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2　集合间的基本关系 [学习目标]　1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(数学运算) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(数学抽象) [讨论交流]　预习教材P7－P8，并思考以下问题： 问题1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？ 问题2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？ 问题3．空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　子集 探究问题1　我们知道，两个实数之间有大小关系、相等关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？观察下面四个例子，你能发现它们之间的关系吗？ (1)A＝{1，2}，B＝{0，1，2，4，5}； (2)C为我们班全体男生组成的集合，D为我们班全体同学组成的集合； (3)E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}； (4)G＝{1，2，3}，H＝{3，4，5，6}． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　集合A，B的关系能不能用图直观形象地表示出来？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题3　与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．Venn图：用平面上封闭曲线的____代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作____(或B⊇A)，读作“__________”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即____； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则____ 3．一般地，如果集合A的________元素都是集合B的元素，同时集合B的________元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作______． 也就是说，若____，且____，则A＝B． [典例讲评]　1．(源自苏教版教材)判断下列各组集合中，A是否为B的子集． (1)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}； (2)A＝{0，1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图判断． [学以致用]　1．(1)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，C＝{x|x是三角形}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C　 B．B⊆A⊆C C．C⊆A⊆B D．A＝B⊆C (2)已知集合P＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，集合Q＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则P，Q之间的关系为________． 探究2　真子集 探究问题4　对于探究问题1中的集合A，B，B⊆A是否正确？类比实数a<b，那么A，B之间的关系如何进一步表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题5　集合A＝{x|x2＋1＝0}中有多少个元素？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且____，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作____(或B__A)，读作“____________”(或“B真包含A”) 图示 2．空集 (1)定义：不含____元素的集合叫做空集，记为__． (2)规定：____是任何集合的子集． [典例讲评]　2．填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有__个； (2)A的非空子集有______个； (3)A的真子集有______个； (4)A的非空真子集有______个． [学以致用]　2．已知集合M满足：{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　由集合间的包含关系求参数 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　若将本例中的条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用集合间的关系求参数的关注点 (1)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，特别注意验证端点值． (2)要注意空集的情况，空集是任何集合的子集． [学以致用]　3．(1)若集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝2}，且B⊆A，则实数m的值是(　　) A．－2 B．2 C．2或－2 D．2或－2或0 (2)已知集合M＝{x|－3≤x≤5}, N＝{x|a≤x≤a＋1}，若N⊆M，求实数a的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列命题中正确的是(　　) A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B 2．已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集的个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3．(多选)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为(　　) A．P⊆T B．T⊇P C．P＝T D．PT 4．设A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|x>a}，若AB，则a的取值范围是________． 1．知识链：(1)子集、真子集的概念与性质； (2)子集的个数； (3)由集合间的关系求参数范围． 2．方法链：观察法、数形结合、分类讨论． 3．警示牌：在由集合间的包含关系求参数时，注意不要遗忘空集，借助数轴解题时，注意不要遗忘端点值的取舍． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三) 1．A　2．B　3．B　4．ABC　5．BD　 6．{a|a2}　7．(1)＝　(2)　(3)　(4)∈　8.6 9．解：(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素， 集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA． (2)当a＝0时，由题意知B＝∅，又A＝{3，5}，故B⊆A； 当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}， B⊆A， 此时＝3或5，则有a＝或a＝． 所以C＝． 10．B　[∵N＝，且M＝，k＋2是整数，2k＋1是奇数，∴M⊆N，故选B．] 11．ABC　[因为集合A恰有4个子集，所以集合A有2个元素，则x2－2x＋a＝0有两个不相等的实数根，则4－4a>0，解得a<1．故选ABC．] 12．A　[当B＝∅，即2a－1<a－1，即a<0时，满足B⊆A； 当B≠∅，即a－12a－1，即a0时，要使B⊆A， 则满足解得0a1． 综上，a1．] 13．36　[集合A的非空子集分别是{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}． 故所求和为1＋3＋5＋1＋3＋1＋5＋3＋5＋1＋3＋5＝36．] 14．解：(1)若AB，由图可知a>2， 即a的取值范围为{a|a>2}． (2)若B⊆A，由图可知1a2， 即a的取值范围为{a|1a2}． 15．解：①当2a>a＋3，即a>3时，B＝∅，显然满足题意； ②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或 解得a<－4或2<a3． 综上可得，实数a的取值范围是{a|a<－4或a>2}． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三)　集合间的基本关系 一、选择题 1．下列集合表示空集的是(　　) A．{x∈R|x2＋x＋1＝0} B．{∅} C．{0} D．0 2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 3．(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 4．(多选)已知集合M＝{2，4}，集合M⊆N{1，2，3，4，5}，则集合N可以是(　　) A．{2，4} B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5} 5．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　) A．0 B． C．1 D．2 二、填空题 6．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围是________． 7．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{2，3}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A ________B； (2)A________C； (3){2} ________C； (4)2 ________C． 8．已知集合A＝{x∈N|－2<x<3}，则集合A的所有非空真子集有________个． 三、解答题 9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C． 10．已知集合M＝，N＝，则(　　) A．M＝N B．M⊆N C．M⊇N D．M与N的关系不确定 11．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}恰有4个子集，则a的值可能为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 12．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|a－1≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤1} B．{a|a<1} C．{a|0≤a≤1} D．{a|0<a<1} 13．已知集合A＝{1，3，5}，则集合A的所有非空子集的元素之和为________． 14．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 15．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$