1.1 第1课时 集合的含义-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

课堂知识讲义详解答案 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第1课时　集合的含义 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1)①1，3，5，7，9；②某校高一(1)班性格开朗的每一位女生；③平行四边形；④以O为圆心，以2为半径的圆． (2)②中的对象划分标准不明确，因为“性格开朗”没有明确的界线． (3)实例①③④中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体． 新知生成　1．研究对象　2．总体 探究2 探究问题2　提示：能．因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素．因为集合中的元素是互不相同的(互异性)． 探究问题3　提示：两个集合相等．集合中的元素没有先后顺序(无序性)． 新知生成　1．确定性　互异性　无序性 2．一样的 典例讲评　1．(1)ACD　(2)－1或3　[(1)A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合；C中，方程x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合． (2)由题意得m2－2m＝3，所以m＝－1或3．] 母题探究 解：由元素是互不相同的，得m2－2m≠－1，即m≠1． 学以致用　1．D　[集合中的元素是互不相同的，故A错误； 好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能构成一个集合，故B错误；方程(x－1)2(x＋2)＝0的实数根为－2或1，所以方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有实数根组成的集合有2个元素，故C错误； 根据集合相等的定义知，两个集合元素相同，则两个集合相等，故D正确．] 探究3 探究问题4　提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素． 新知生成　1．a∈A　a∉A　2．N*　N＋　Q 典例讲评　2．(1)∈　∈　∉　∈　∈　∈ (2)a>－4　[(1)＝0是自然数；|－2|＝2是正整数；0.5不是整数，不属于整数集；－是有理数；3．是无限循环小数，是有理数；π是无理数，属于实数集． (2)因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4．] 学以致用　2．(1)BC　(2)a2　[(1)A不正确，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正确，如a＝－1∈R，无意义；B，C都正确． (2)∵集合A是不等式x－a>0的解集， 且2∉A，∴2－a0，即a2．] [应用迁移] 1．B　[由题意可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个．故选B．] 2．AC　[是实数，＝2是有理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此AC正确，BD错误．故选AC．] 3．3　[因为4∈M，且集合M有两个元素3和a＋1， 所以4＝a＋1，所以a＝3．] 4．②③　[①根据集合元素的性质可判断某校高一年级的数学教师具有确定性，能组成一个集合，故①正确； ②＝，＝3，由集合中元素的互异性知，这个集合中有6个元素，故②不正确； ③两个集合中的元素相同，只是排列顺序不同，由集合中元素的无序性知，它们表示同一个集合，故③不正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1　集合的概念 第1课时　集合的含义 [学习目标]　1．通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的“属于”关系．(数学抽象) 2．能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题．(数学运算) 3．掌握常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象) [讨论交流]　预习教材P2－P3，并思考以下问题： 问题1．集合和元素的概念是什么？ 问题2．如何用字母表示集合和元素？ 问题3．元素和集合之间有哪两种关系？ 问题4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　元素与集合的基本概念 探究问题1　阅读下面的例子，思考并回答提出的问题： ①1～10之间的所有奇数； ②某校高一(1)班所有性格开朗的女生； ③所有的平行四边形； ④到定点O的距离等于2的所有点． (1)以上例子中，我们研究的对象分别是什么？ (2)哪个例子中的对象划分标准不明确？为什么？ (3)上述例子①③④有什么共同的特点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．元素：一般地，我们把________统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的____叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 探究2　集合中元素的特征 探究问题2　英文单词book的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究问题3　分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有什么关系？集合中的元素有没有先后顺序？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．集合中元素的特征：______，______，______． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是______，我们就称这两个集合是相等的． [典例讲评]　1．(1)(多选)以下元素能构成集合的是(　　) A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2－1＝0的实数根 D．自然数 (2)集合M中含有两个元素3和－1，集合N中含有两个元素－1和m2－2m，若集合M与N相等，则m＝________． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　若将本例(2)改为“若集合N中含有两个元素－1和m2－2m”，求m的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性； (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． [学以致用]　1．下列说法中正确的是(　　) A．在一个集合中可以找到两个相同的元素 B．好听的歌能构成一个集合 C．方程(x－1)2(x＋2)＝0的所有实数根组成的集合有3个元素 D．分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的 探究3　元素与集合的关系 探究问题4　若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2和4与集合A是什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 ____ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素 ____ a不属于集合A 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集(或自 然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N ____或_____ Z __ R [典例讲评]　2．(1)用符号“∈”或“∉”填空： ________N；|－2|________ N*； 0.5________Z；－________Q； 3．________Q；π________R． (2)已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断元素与集合关系的2种方法 直接法 判断该元素在已知集合中是否出现即可 推理法 判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 [学以致用]　2．(1)(多选)下列结论中，正确的是(　　) A．若a∈N，则∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R (2)若集合A是不等式x－a>0的解集，且2∉A，则实数a的取值范围是__________． 1．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 2．(多选)下列关系中，正确的有(　　) A．∈R B．∉Q C．|－3|∈N D．|－|∈Q 3．已知集合M中有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________． 4．给出下列说法： ①某校高一年级的数学教师组成一个集合； ②由－1，0，1，，，，3，－3组成的集合中有8个元素； ③由a，b，c组成的集合与由c，b，a组成的集合是不相同的． 其中不正确的是________(填序号)． 1．知识链：(1)元素与集合的概念； (2)集合中元素的特征； (3)元素与集合的关系； (4)常用数集的记法． 2．方法链：直接法、推理法． 3．警示牌：(1)注意自然数集中0这个元素的存在； (2)注意集合中元素的互异性． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层检测详解答案 课时分层作业(一) 1．ACD　2．A　3．C　4．D　5．B 6．∉　∈　7.2　8．x≠0且x≠3　 9．解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1． 若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或－1． (2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1． 当a＝a－3时，有0＝－3，不成立； 当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意． 综上，实数a的值为1． 10．C　[由题意知，a2≠4且2－a≠4且a2≠2－a， 解得a≠±2且a≠1，结合选项知C正确．故选C．] 11．A　[在x，－x，|x|，，－＝－x． 又|x|要么等于x，要么等于－x，故集合中最多含2个元素．] 12．6　3，4，5　[因为x∈N，2<x<a，a∈N，且集合P中恰有三个元素，所以a＝6，此时集合P中的元素是3，4，5．] 13．0，1，2，5　[因为x∈N，且∈Z， 则x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5， 所以集合M中的元素是0，1，2，5．] 14．解：当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2． 当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2． 当a，b异号时，＋＝0． ∴＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0． 15．证明：(1)由题意知，若a∈A，则∈A． 又因为2∈A，所以＝－1∈A． 因为－1∈A，所以＝∈A． 因为∈A，所以＝2∈A． 所以A中另外两个元素为－1，． (2)若A中只有一个元素，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数根． 所以a≠， 即集合A中不可能只有一个元素． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(一)　集合的含义 一、选择题 1．(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A．参加2023年杭州亚运会的全体电竞选手 B．未来世界的高科技产品 C．小于0的实数 D．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 2．已知集合M由小于5的数构成，则有(　　) A．3∈M B．－3∉M C．0∉M D．7∈M 3．第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 4．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 024＋b2 024的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 二、填空题 6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b______A，ab________A．(填∈或∉) 7．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有根组成的集合中共有________个元素． 8．若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为________． 三、解答题 9．已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R． (1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值． 10．由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B．－2 C．－1 D．2 11．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含元素(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，a∈N．若集合P中恰有三个元素，则a＝________，集合P中的元素是________． 13．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为________． 14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求＋的可能取值所组成的集合中所有元素的和． 15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A中不可能只有一个元素． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$