5.1.1 任意角-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

5.1.1　任意角 第五章　三角函数 5.1　任意角和弧度制 整体感知 [学习目标]　1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象) 2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(数学抽象) 5.1.1　任意角 5.1.1　任意角 [讨论交流]　预习教材P168－P171，并思考以下问题： 问题1．角的概念推广后，角是如何分类的？ 问题2．象限角是如何定义的？ 问题3．终边相同的角存在怎样的等量关系？如何表示终边相同的角？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 探究1　角 探究问题1　你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？ 探究建构 提示：分针顺时针方向旋转了30°；分针逆时针方向旋转了450°． 5.1.1　任意角 5.1.1　任意角 [新知生成] 1．角的概念及其表示 角可以看成一条____绕着它的端点旋转所成的____．如图， (1)始边：射线的____位置OA； 终边：射线的____位置OB； 顶点：射线的端点O． (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 射线 图形 起始 终止 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角   负角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角   零角 一条射线____做任何旋转形成的角   2．任意角 我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 逆时针 顺时针 没有 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 7 3．角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称______． 4．角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是______． 5．相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为______，角α的相反角记为____，α－β＝α＋(____)． α＝β α＋β 相反角 －α －β 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [典例讲评]　1．(1)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　) A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 (2)下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________． ①④　 ②③ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 (1)B　(2)①④　②③　[(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°． (2)在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β； 在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β； 在③中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β； 在④中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β． ∴γ＝α＋β的是①④；γ＝α－β的是②③．] 反思领悟　确定任意角的方法 (1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，顺时针方向旋转形成的角为负角． (2)定大小：根据旋转角度的数量的绝对值确定角的大小． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [学以致用]　1．(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　) A．120° B．－120° C．240° D．－240° (2)图中角α＝__________，β＝__________． √ －150° 210° 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 (1)D　(2)－150°　210°　[(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D． (2)由题图可知α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°．] 探究2　象限角 探究问题2　若使角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边(除端点外)可能落在什么位置？ 提示：落在坐标轴上或四个象限内． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [新知生成] 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与____重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的____在第几象限，就说这个角是第几______；如果角的终边在________，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 原点 终边 象限角 坐标轴上 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 【链接·教材例题】 例1　在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角． 解：－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [典例讲评]　2．(源自湘教版教材)在直角坐标系中作出下列各角，并指出它们是第几象限角： (1)135°；(2)－120°； (3)855°；(4)－750°． [解]　(1)135°在直角坐标系中位置如图所示： 135°是第二象限角． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 (2)－120°在直角坐标系中位置如图所示： －120°是第三象限角． (3)855°＝2×360°＋135°，在直角坐标系中位 置如图所示： 855°是第二象限角． (4)－750°＝－2×360°－30°在直角坐标系中位 置如图所示： －750°是第四象限角． 反思领悟　在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [学以致用]　2．(1)下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　) A．45° B．90° C．180° D．270° (2)(多选)下列叙述不正确的是(　　) A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 √ √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 (1)B　(2)ACD　[(1)根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．故选B． (2)直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；零角和负角也小于180°，故D不正确．故选ACD．] 【教用·备选题】　(多选)已知A＝{α|α是第一象限角}，B＝{α|α是锐角}，C＝{α|α是小于90°的角}，那么A，B，C的关系是(　　) A．B＝A∩C　 B．B∪C＝C C．B∩A＝B D．A＝B＝C √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 BC　[因为A＝{α|α是第一象限角}，B＝{α|α是锐角}，C＝{α|α是小于90°的角}，所以A∩C除了包括锐角，还包括其他角，比如－330°角，故A选项错误； 锐角是大于0°且小于90°的角，故B选项正确； 锐角是第一象限角，故C选项正确； A，B，C中角的范围不一样，所以D选项错误．故选BC．] 探究3　终边相同的角 探究问题3　390°角的终边与30°角的终边有什么关系？两者之间相差了多少度？ 提示：相同；360°． 探究问题4　如何表示与30°角终边相同的角？ 提示：30°＋k·360°(k∈Z)． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [新知生成] 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． α＋k·360°，k∈Z 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 【链接·教材例题】 例2　写出终边在y轴上的角的集合． 解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(图5.1-7)．因此，所有与90°角终边相同 的角构成集合 S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}， 而所有与270°角终边相同的角构成集合 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}， 于是，终边在y轴上的角的集合 S＝S1∪S2 ＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}． 例3　写出终边在直线y＝x上的角的集合S．S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β有哪些？ 解：如图5.1-8，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线 y＝x上的角有两个：45°，225°．因此，终边在 直线y＝x上的角的集合 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}． S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β有 45°－2×180°＝－315°， 45°－1×180°＝－135°， 45°＋0×180°＝45°， 45°＋1×180°＝225°， 45°＋2×180°＝405°， 45°＋3×180°＝585°． [典例讲评]　3．(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来． (1)60°；(2)－21°． [解]　(1)S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}． 解不等式－360°≤60°＋k·360°<720°，得－1－≤k<2－，所以k可取－1，0或1．因此S中满足－360°≤β<720°的元素是 60°＋(－1)×360°＝－300°， 60°＋0×360°＝60°， 60°＋1×360°＝420°． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 (2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}． 解不等式－360°≤－21°＋k·360°<720°，得 －1＋≤k<2＋， 所以k可取0，1或2． 因此S中满足－360°≤β<720°的元素是 －21°＋0×360°＝－21°， －21°＋1×360°＝339°， －21°＋2×360°＝699°． 发现规律　终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差_____的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差______的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差____的整数倍． 360° 180° 90° 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [学以致用]　3．(1)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是 (　　) A．－37° B．143° C．379° D．－143° (2)与2 024°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角________． √ 224° －136° 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 (1)D　(2)224°－136°[(1)与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D． (2)与2 024°角的终边相同的角为2 024°＋k·360°(k∈Z)． 当k＝－5时，224°为最小正角； 当k＝－6时，－136°为绝对值最小的角．] 【教用·备选题】　(1)角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝_______________________． (2)若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为___________________． (1)150°＋k·360°，k∈Z　(2)20°，140°，260°　[(1)∵30°与150°的终边关于y轴对称， ∴β的终边与150°角的终边相同． ∴β＝150°＋k·360°，k∈Z． 150°＋k·360°，k∈Z 20°，140°，260° 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 (2)由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)， 则＝20°＋k·120°(k∈Z)， 则当k＝0，1，2时，＝20°，140°，260°． 故答案为：20°，140°，260°．] 探究4　区域角及其表示 [典例讲评]　4．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [解]　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 反思领悟　表示区域角的三个步骤 (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°(180°)的整数倍，即得区域角的集合． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [学以致用]　4．如图所示． (1)分别写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [解]　(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}． (2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}． 1．下列命题中正确的是(　　) A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是锐角 C．终边相等的角必相等　 D．－270°的终边在y轴上 应用迁移 2 3 题号 4 1 √ 5.1.1　任意角 5.1.1　任意角 D　[A不正确，如－330°就是第一象限角． B不正确，如－30°是小于90°的角，但－30°并不是锐角． C不正确，终边相等的角可以相差360°的整数倍． D正确，－270°的终边与90°终边相同．故选D．] 2 3 题号 4 1 2．下列角中终边与340°相同的角是(　　) A．20° B．－20° C．620° D．－40° 2 3 题号 4 1 B　[与340°角终边相同的角的集合为{x|x＝340°＋k·360°，k∈Z}， 当k＝－1时，可得x＝－20°．故选B．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 3．如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　) A． B． C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120° ＋k·360°，k∈Z} D．{α|120°＋k·360°≤α≤315° ＋k·360°，k∈Z} 2 3 题号 4 1 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 C　[在－180°～180°间阴影部分区域中两条边界表示的角分别为－45°，120°． 所以阴影部分的区域在－180°～180°间的范围是－45°≤α ≤120°． 所以终边在阴影部分区域的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α ≤120°＋k·360°，k∈Z}． 故选C．] 2 3 题号 4 1 4．如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置， 则∠AOC＝________． 2 3 题号 4 1 －75°　[由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋ (－120°)＝－75°．] －75° 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 1．知识链：(1)正角、负角、零角的概念； (2)终边相同的角； (3)象限角、区域角的表示． 2．方法链：数形结合、分类讨论． 3．警示牌：(1)注意锐角与小于90°角的区别； (2)终边相同的角的表示中注意不要漏掉k∈Z． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．任意角的分类有哪几种？ [提示]　按旋转方向分为正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？ [提示]　所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意k是整数，这个条件不能漏掉． 3．若角α与角β的终边在一条直线上，则α与β存在怎样的等量关系？ [提示]　若角α与角β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 课时分层作业(四十一)　任意角 一、选择题 1．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5.1.1　任意角 5.1.1　任意角 C　[①160°很显然是第二象限角； ②480°＝120°＋360°是第二象限角； ③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角； ④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(　　) A．30° B．－30° C．60° D．－60° 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 D　[∵分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角， 又分针走过了10分钟， ∴走过的角度大小为×360°＝60°， 综上，分针走过的角度是－60°．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　) A．逆时针，270° B．顺时针，270° C．逆时针，30° D．顺时针，30° 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 B　[由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°， 解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．若α是第四象限角，则180°＋α一定是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[∵α是第四象限角， ∴k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z， ∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°，k∈Z， ∴180°＋α在第二象限，故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 5．(多选)若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AC　[当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．故选AC．] √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 二、填空题 6．如图，角α的终边为OB，则α＝_______________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 125°＋k·360°，k∈Z 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 7．已知角α，β的终边关于直线x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝_________________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －30°＋k·360°，k∈Z　[因为－60°与－30°的终边关于直线y＝－x对称，所以β的终边与－30°角的终边相同，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z．] －30°＋k·360°，k∈Z 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝__________________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 k·360°＋60°(k∈Z)　[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．] k·360°＋60°(k∈Z)　 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 三、解答题 9．已知α＝－1 910°． (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 [解]　(1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)， 取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角． 当n＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°； 当n＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°． 故θ＝－110°或θ＝－470°． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在(　　) A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上 C．x轴上 D．y轴的非负半轴上 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z，所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 11．已知集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则A，B的关系为(　　) A．BA B．AB C．A＝B D．A∩B＝∅ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 C　[集合A中，当k为奇数时，x＝k·180°－90°，终边落在y轴的非负半轴上；当k为偶数时，x＝k·180°＋90°，终边落在y轴的非负半轴上；集合B表示的角的终边也落在y轴的非负半轴上．故A＝B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角　 C．第三象限角 D．第四象限角 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 AC　[因为角2α的终边在x轴的上方， 所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k· 180°＋90°，k∈Z． 故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．自行车大链轮有36齿，小链轮有n齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度的绝对值是540度，则n＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 24　[由题意可知：＝⇒n＝24．] 24　 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 14．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　依题意，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z， 因为α，β都是锐角，则0°<α＋β<180°，取k＝1，得α＋β＝80°， 又α－β＝670°＋n·360°，n∈Z， 由α，β都是锐角，得－90°<α－β<90°，取n＝－2，得α－β＝ －50°， 联立解得α＝15°，β＝65°， 所以α＝15°，β＝65°． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 15．若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在位置． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 5.1.1　任意角 法一：∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)， 当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限． ∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)， 当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一、第二或第四象限． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 法二：将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示． ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一或第三象限． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示． ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一、第二或第四象限． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $$