4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 第四章　指数函数与对数函数 4.1　指数 整体感知 [学习目标]　1．通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程．(数学抽象) 2．掌握实数指数幂的运算性质．(数学运算) 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [讨论交流]　阅读课本P107－P108，以小组为单位思考并完成以下问题： 问题1．无理数指数幂的含义是什么？ 问题2．如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 探究1　无理数指数幂的运算 探究问题　结合教材P108的探究，思考是否是一个确定的实数，为什么？ 探究建构 提示：是一个确定的实数．因为当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，3x和3y都趋向于同一个数，故它是一个确定的实数． 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [新知生成] 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的____． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 实数 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)化简下列各式： ； (2)(－2)4·4π-2． [解]　＝＝32＝9． (2)(－2)4·4π-2＝42·4π-2＝42+π-2＝4π． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 反思领悟　关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同． (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [学以致用]　1．化简下列各式： (1)； (2)π4-π·ππ-2． [解]　＝＝＝57＝78 125． (2)π4-π·ππ-2＝π(4-π)+(π-2)＝π2． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 探究2　实际问题中的指数运算 [典例讲评]　2．从盛满2 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%． 4　[由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，令<，验证可得n≥4． 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．] 4 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 反思领悟　指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [学以致用]　2．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是________．(下列数据仅供参考：≈1.41，≈1.73，≈1.44，≈1.35) 41%　[设每年比上一年平均增长的百分率为x，原来工资为a(a>0)，由题意可得a(1＋x)6＝8a，即(1＋x)2＝2，解得x＝－1≈1.41－1＝0.41或x＝－－1(舍去)，所以每年比上一年平均增长的百分率是41%．] 41% 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 探究3　实数指数幂的综合运用 [典例讲评]　3．已知＋＝4，求下列各式的值： (1)a＋a-1；(2)a2＋a-2． [解]　(1)将＋＝4两边平方，得a＋a-1＋2＝16，故a＋a-1＝14． (2)将a＋a-1＝14两边平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [母题探究]　 1．在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值． [解]　令a－a-1＝t，则两边平方得a2＋a-2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a-1＝±8． 2．在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值． [解]　由上题可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝±8×14＝±112． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 反思领悟　解决条件求值问题的思路 (1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形，找出所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值． (2)在利用整体代入法求值时，要注意完全平方公式的应用． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [学以致用]　3．已知－＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值． [解]　∵－＝m＝m， ∴(－)2＝a＋a-1－2＝m2， 即a＋a-1＝m2＋2． ∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 1．由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为(　　) (1)21.7，21.73，21.732，21.732 0，21.732 05，… (2)21.8，21.74，21.733，21.732 1，21.732 06，… A．21.7 B．21.8 C．2 D．4 应用迁移 2 3 题号 4 1 √ 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 C　[的不足近似值为1.7，1.73，1.732，1.732 0，1.732 05，…； 过剩近似值为1.8，1.74，1.733，1.732 1， 1．732 06，…； 故由(1)(2)两串有理数指数幂逼近得到的数为2 ． 故选C．] 2 3 题号 4 1 2．计算的结果是(　　) A．π B． C．－π D． 2 3 题号 4 1 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 3．一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，此时报纸的厚度为(　　) A．2.56厘米 B．5.12厘米 C．10.24厘米 D．20.48厘米 2 3 题号 4 1 C　[0.01×210＝10.24(厘米)．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 4．已知＋＝，则x2＋x-2＝________． 2 3 题号 4 1 7　[将＋＝，两边平方得x＋x-1＋2＝5， 则x＋x-1＝3， 两边再平方得x2＋x-2＋2＝9， 所以x2＋x-2＝7．] 7　 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 1．知识链：(1)无理数指数幂的运算； (2)实际问题中的指数运算； (3)实数指数幂的综合运用． 2．方法链：整体代入法． 3．警示牌：在运用分数指数幂的运算性质化简时，注意其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．实数指数幂有哪些性质？ [提示]　(1)asar＝as＋r； (2)(ar)s＝ars； (3)(ab)r＝arbr．(其中a>0，b>0，r，s∈R) 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？ [提示]　设＋＝m(m＞0)，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝，即＋＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 课时分层作业(二十七)　无理数指数幂及其运算性质 一、选择题 1．下列运算中正确的是(　　) ＝ B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－2)0＝1　 D．(－)5＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 D　＝，故A错误；(－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B错误；当a＝4时，(－2)0无意义，故C错误；(－)5＝，故D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．计算3π×＋＋的值为(　　) A．17 B．18 C．6 D．5 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[3π×＋＋＝＋＋1＝1π＋24＋1＝18．故选B．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 3．设－＝m，则等于(　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 C　[将－＝m两边平方，得＝m2， 即a－2＋a-1＝m2， 所以a＋a-1＝m2＋2， 即a＋＝m2＋2， 所以＝m2＋2．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．＝(　　) A．9 B． C．3 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[＝＝ ＝＝3-2＝．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 5．阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数a＝b＝，使得ab为有理数；若为无理数，则取无理数a＝，b＝，此时ab＝＝＝()2＝2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是(　　) A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得ab为有理数 D．对任意无理数a，b，都有ab为无理数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 C　[这段文字中，没有证明是有理数的条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误； 这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确； 这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b都成立的问题，D错误． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成________个． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64　[经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个)．] 64 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 7．化简：·＝__________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 a　·＝＝a．] a 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 8．已知x>0，y∈R，定义x*y＝xy，则*(－)＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[*(－)＝＝＝＝＝2．] 2 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 三、解答题 9．计算下列各式的值： ·； (2)； (3)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [解]　(1)原式＝·＝＝25＝32． (2)原式＝ ＝＝23×3＝24． (3)原式＝＝＝＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．镜片的厚度是由镜片的折射率决定的，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(　　) A．甲和乙 B．丙和乙 C．乙和甲 D．丙和甲 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 C　[()10＝52＝25，()10＝25＝32． ∵25<32，∴<． 又∵()6＝32＝9，()6＝23＝8， ∴>， ∴<<． 又∵镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学制作的镜片最厚，乙同学制作的镜片最薄． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．若a＞1，b＞0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　) A．4 B．2或－2 C．－2 D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[设ab－a－b＝t． ∵a＞1，b＞0，∴ab＞1，a－b＜1． ∴t＝ab－a－b＞0． 则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4． ∴t＝2．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 12．(多选)已知a＋a-1＝3，则下列选项中正确的有(　　) A．a2＋a-2＝7 B．－＝±1 C．＋＝± D．＋＝2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 ABD　[a＋a-1＝3两边平方得(a＋a-1)2＝a2＋2＋a-2＝9，所以a2＋a-2＝7，A正确； ＝a－2＋a-1＝3－2＝1， 因为，的大小不确定，所以－＝±1，B正确； ＝a＋2＋a-1＝3＋2＝5， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 因为>0，>0，所以＋＝，C错误； 由立方和公式可得： ＋＝()3＋()3 ＝(＋)(a－1＋a-1)＝×(3－1)＝2， 所以D正确． 故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．化简＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1　[原式＝＝＝＝1．] 1 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 14．已知a2x＝3，求的值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　原式＝ ＝a2x－1＋a-2x＝3－1＋＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 15．已知x＋y＝10，xy＝9，且x<y，求的值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 [解]　因为＝＝，① 又因为x＋y＝10，xy＝9，② 所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝102－4×9＝64． 因为x<y，所以x－y＝－8，③ 将②③式代入①式得＝＝－． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $$