2.2 第1课时 基本不等式-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

第1课时　基本不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.2　基本不等式 整体感知 [学习目标]　1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算) 2．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．(数学抽象) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(逻辑推理) 第1课时　基本不等式 第1课时　基本不等式 [讨论交流]　预习教材P44－P46，并思考以下问题： 问题1．基本不等式的内容是什么？ 问题2．基本不等式成立的条件是什么？ 问题3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 探究1　基本不等式 探究问题1　由赵爽弦图(如图)抽象出了一类重要不等式：a2＋b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立．如果a>0，b>0，我 们以分别代替图中的a，b，可得出什么结论？ 探究建构 提示：≤． 第1课时　基本不等式 第1课时　基本不等式 探究问题2　上述结论是在重要不等式基础上转化出来的，你能用多种方法给出它的证明吗？ 提示：法一：(作差法) ＝＝＝≥0，即，当且仅当a＝b时，等号成立． 所以≤． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 法二：(性质法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－()2≤0， 显然()2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． 所以≤． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 探究问题3　结合教材P45中的探究，你能否给出的一种几何解释？ 提示：如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝．由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤． 因此，基本不等式≤的几何意义是“圆的半径不小于半弦”． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 [新知生成] 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则_________，当且仅当______时，等号成立．其中________叫做正数a，b的算术平均数，_____叫做正数a，b的几何平均数． 2．两个正数的算术平均数______它们的几何平均数． ≤ a＝b 不小于 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 【教用·微提醒】　(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 【链接·教材例题】 例1　已知x>0，求x＋的最小值． 分析：求x＋的最小值，就是要求一个y0，使∀x>0，都有x＋≥y0．观察x＋，发现x·＝1．联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0＝2． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 解：因为x>0，所以 x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)设a，b为正数，证明下列不等式： (1)a＋≥2；(2)＋≥2． [证明]　(1)因为a，均为正数，由基本不等式，得a＋≥2＝2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立，所以原不等式成立． (2)因为a，b为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以原不等式成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 反思领悟　利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 [学以致用]　1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．∀a，b∈R，成立 B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 C．∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D．若x>2，则x＋≥2中可以取等号 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 BC　[A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立； D项，x＋≥2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号．] 探究2　最值定理 探究问题4　仔细观察典例1中a＋，＋两个代数式，它们有什么共性？ 提示：两个代数式都具有“x与和”的形式，且x·＝1(定值)． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 探究问题5　借助≤，能求哪几类问题的最值？ 提示：当a>0，b>0时，有①ab≤；②a＋b≥2．由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 【链接·教材例题】 例2　已知x，y都是正数，求证： (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 证明：因为x，y都是正数，所以 ． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 (1)当积xy等于定值P时， ， 所以 x＋y≥2， 当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2． (2)当和x＋y等于定值S时， ≤， 所以 xy≤S2， 当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值S2． [新知生成] 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值____； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值____． 简记为：积定和最小，和定积最大． 2 S2 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 [典例讲评]　2．(1)(源自苏教版教材)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 (2)当x>0时，求＋4x的最小值． √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 (1)D　[因为m>0，n>0，mn＝81， 所以m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取等号，故选D．] (2)[解]　∵x>0，∴>0，4x>0． ∴＋4x≥2＝8． 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8． [母题探究]　将本例(2)的条件“x>0”变为“x<0”，求＋4x的最大值． [解]　∵x<0，∴－x>0． 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8． ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 反思领悟　利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑使等号成立的条件是否具备． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 [学以致用]　2．若0≤x≤8，则的最大值为(　　) A． B．4 C． D． B　[因为0≤x≤8，所以8－x≥0，所以≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 探究3　拼凑法利用基本不等式求最值 [典例讲评]　3．(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________． (2)已知0<x<，则y＝x(1－3x)的最大值为________． (1)6　(2)　[(1)因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立． 所以y＝x＋的最小值为6． 6 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 (2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0． ∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 法二：∵0<x<，∴－x>0． ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．] [母题探究]　本例(1)变为：函数y＝x＋(x<2)的最大值是(　　) A．4　　　B．5　　　C．－2　　　D．2 C　[因为x<2，所以x－2<0， 则y＝x＋＝x－2＋＋2 ＝－＋2≤－2＋2＝－2， 当且仅当2－x＝，即x＝0时，等号成立， 所以函数y＝x＋(x<2)的最大值是－2．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 反思领悟　利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： 拼凑技巧 以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换 变形技巧 以拼凑出和或积的定值为目标 拆、添项 应注意检验利用基本不等式的前提 提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 [学以致用]　3．(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是(　　) A． B．2 C．2 D．4 (2)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值． (1)B　[∵a>0，b>0，a＋2b＝4， ∴ab＝a·2b≤＝×＝2， 当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立． ∴ab的最大值为2．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 (2)[解]　∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1． 【教用·备选题】　已知x>－1，则的最小值为_______． 16　[＝＝＝(x＋1)＋＋10， ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16． 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．] 16　 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 1．已知ab＝1，且a>0，b>0，则a＋b的最小值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 应用迁移 √ 2 3 题号 4 1 B　[∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，取等号，故a＋b的最小值为2．] 第1课时　基本不等式 第1课时　基本不等式 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝10，则xy有(　　) A．最大值25 B．最大值50 C．最小值25 D．最小值50 2 3 题号 4 1 √ A　[∵≤(x>0，y>0)，且x＋y＝10， ∴xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时，等号成立． 故xy有最大值25．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 3．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 2 3 题号 4 √ 1 C　[已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 4．设x>y>0，则下列各式中正确的是(　　) A．x>>>y B．x>>>y C．x>>y> D．x>>y> 2 3 题号 4 1 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 A　[∵x>y>0， ∴2x>x＋y，>>， 即>y， ∴x>>>y． 故选A．] 2 3 题号 4 1 1．知识链：(1)基本不等式的推导与证明； (2)最值定理； (3)拼凑法利用基本不等式求最值． 2．方法链：公式法、拼凑法． 3．警示牌：注意利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何由不等式a2＋b2≥2ab推导出≤？ [提示]　对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到a＋b≥2，即≤． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 2．基本不等式≤的常见变形有哪些？ [提示]　①a＋b≥2；②ab≤． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 课时分层作业(十二)　基本不等式 一、选择题 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y　 C．x≤2y D．x<2y 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 第1课时　基本不等式 第1课时　基本不等式 B　[由基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，即基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为x－2y>0，即x>2y．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知0<x<2，则x2(4－x2)的最大值为(　　) A．8 B．16 C．2 D．4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[因为0<x<2，所以x2>0，4－x2>0， 故x2(4－x2)≤＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立， 故x2(4－x2)的最大值为4．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 3．已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为 (　　) A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 D　[因为a>0，b>0， 所以a＋2b≥2＝2＝8， 当且仅当即时，等号成立，即a＋2b取得最小值8， 所以a＋2b取得最小值时a，b的值分别为4，2．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[因为x>0，y>0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy ＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25， 因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取得最大值25．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 5．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是(　　) A．xy≤ B．≥2 C．≥2 D．x2＋y2≥2|xy| 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 B　[对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy， 即xy≤，当且仅当x＝y时取等号，故A项恒成立； 对于B，当x，y异号时，<0，故B项不恒成立； 对于C，＝|x|＋≥2＝2，当且仅当|x|＝，即x＝±1时取等号，故C项恒成立； 对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D项恒成立．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36　[4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36．] 36 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 7．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 p>q　[∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac． ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)， 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac． 即p>q．] p>q 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 8．当x＞0时，y＝的最小值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[当x＞0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝2时等号成立， 所以当x＞0时，y＝的最小值为．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 三、解答题 9．(1)(源自苏教版教材)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值． (2)(源自苏教版教材)设x>0，y>0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 [解]　(1)因为x>－2，所以x＋2>0．由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立． 因此，当x＝2时，函数y＝x＋取得最小值6． (2)xy＝·2x·5y≤·＝10， 当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时，等号成立， 所以xy的最大值是10． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 D　[法一：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D． 法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知m＝a－2＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不确定 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 A　[因为a>2，所以a－2>0， 所以m＝(a－2)＋≥2＝2， 由b≠0，得b2≠0，所以n＝2－b2<2． 综上可知m>n．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．若x>0，则x＋≥a恒成立的一个充分条件是(　　) A．a>80 B．a<80 C．a>90 D．a<90 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 B　[因为x>0， 所以x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝时，取等号， 要使得x＋≥a恒成立，则a≤2， 所以x＋≥a恒成立的一个充分条件是a<80．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．函数y＝x(0＜x＜1)的最大值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由0＜x＜1，可得y＝x＝≤＝，当且仅当x2＝1－x2，即x＝时，等号成立，此时ymax＝．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 14．设x>0，求证：x＋≥． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　因为x>0，所以x＋>0， 所以x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝． 当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立． 故不等式得证． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值． (1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 (2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明： 设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值： 设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 第1课时　基本不等式 [解]　(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即横线处应填． (2)因为a>0，b>0，c>0， 且a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0， 所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (3)因为a>0，b>0，c>0，， 所以abc≤， 又因为a＋b＋c＝1， 0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1， 所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $$