1.5.1 全称量词与存在量词-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

1.5.1　全称量词与存在量词 第一章　集合与常用逻辑用语 1.5　全称量词与存在量词 整体感知 [学习目标]　1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(数学抽象) 2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(数学抽象) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理) 1.5.1　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 [讨论交流]　预习教材P26－P28，并思考以下问题： 问题1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？ 问题2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 探究1　全称量词与全称量词命题 探究问题1　观察下列语句，回答下列问题： ①x≤2；②任意给定实数x，x≤2； ③2x是偶数；④对于每一个x∈Z，2x都是偶数． (1)上述语句都是命题吗？ (2)语句①与②有什么区别？ (3)②④有什么共同特点？ 探究建构 1.5.1　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 提示：(1)语句①③不是；语句②④是． (2)②加了对x范围的限定条件“任意给定实数x”，加了量词、范围． (3)都有对变量x的限定条件，量词是“任意、每一个”． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [新知生成] 全称量词 所有的、任意一个 符号表示 __ 全称量词命题 含有________的命题 形式 “对M中____一个x，p(x)成立”可用符号简记为________________ ∀ 全称量词 任意 ∀x∈M，p(x) 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 【教用·微提醒】　(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 【链接·教材例题】 例1　判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R，|x|＋1≥1； (3)对任意一个无理数x，x2也是无理数． 分析：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 解：(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题． (2)∀x∈R，总有|x|≥0，因而|x|＋1≥1．所以，全称量词命题“∀x∈R，|x|＋1≥1”是真命题． (3)是无理数，但()2＝2是有理数．所以，全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． [典例讲评]　1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是360°； (2)所有的自然数的平方大于或等于零； (3)对任意的正实数a，a2－a－2>0； (4)∀x∈R，x都有平方根； (5)∀x∈R，有－x2≤0． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [解]　(1)命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． (2)命题中含有全称量词“所有的”，是全称量词命题． (3)命题中含有全称量词“任意的”，是全称量词命题． (4)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题． (5)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题． 反思领悟　判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [学以致用]　1．判断下列全称量词命题的真假． (1)菱形的四条边相等； (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (3)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数． [解]　(1)真命题．(2)真命题．(3)x＝是无理数，但x2＝2是有理数，假命题． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 探究2　存在量词与存在量词命题 探究问题2　观察下列语句，回答下列问题： ①3x－1＝0；②存在实数x，使3x－1＝0； ③有意义；④至少有一个实数x，使有意义． (1)上述语句都是命题吗？ (2)语句①与②有什么区别？ (3)②④有什么共同特点？ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 提示：(1)语句①③不是；语句②④是． (2)②加了对x范围的限定条件“存在实数x”，即添加了量词和范围． (3)都有对变量x的限定条件，量词是“存在、至少有一个”都表示存在． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [新知生成] 存在量词 存在一个、至少有一个 符号表示 __ 存在量词命题 含有________的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为__________________ 【教用·微提醒】　存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 【链接·教材例题】 例2　判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形． 分析：要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 解：(1)由于Δ＝22－4×3＝－8<0，因此一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实根． 所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题． (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题． (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题． [典例讲评]　2．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无根； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直； (4)存在一个自然数n，使代数式n2－2n＋2的值是负数． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [解]　(1)不是． (2)是；存在量词是“有些”； (3)是；存在量词是“存在”； (4)是；存在量词是“存在一个”． 反思领悟　判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [学以致用]　2．判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假． (1)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)方程3x－2y＝10有整数解； (4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [解]　(1)存在量词命题，真命题，如6． (2)存在量词命题，真命题，如梯形． (3)存在量词命题，可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．真命题，如x＝4，y＝1． (4)存在量词命题，假命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实根． 探究3　依据含量词命题的真假求参数的取值范围 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅． (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [解]　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3． 所以m的取值范围是{m|2≤m≤3}． (2)q为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2，则m＋1≥3． 所以 解得2≤m≤4． 所以m的取值范围是{m|2≤m≤4}． 反思领悟　依据含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 [学以致用]　3．命题p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围． [解]　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意； 当a≠0时，若方程ax2＋2x－1＝0有实根，则Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0． 综上可得a≥－1． 即实数a的取值范围是． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 【教用·备选题】　若命题“对任意实数＋1)”是真命题，求实数m的取值范围． [解]　由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立， 即不等式mx2－2x＋m<0恒成立． (1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不符合题意． (2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立， 则解得m<－1． 综上可知，所求实数m的取值范围是{m|m<－1}． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3 B．对有些x∈R，使得x2＞3 C．任选一个x∈R，使得x2＞3 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3 应用迁移 √ 2 3 题号 4 1 1.5.1　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 2．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 2 3 题号 4 1 √ D　[D选项是存在量词命题．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀a∈N，方程ax＋1＝0有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 2 3 题号 4 √ 1 C　[B，D是存在量词命题，故排除；对于A，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根，故A错误，故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 4．若命题“∀x∈{x|1<x<2}，x<a”是真命题，则实数a的取值范围是________． 2 3 题号 4 1 {a|a≥2}　[由题意得a≥2．] {a|a≥2} 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 1．知识链：(1)全称量词、全称量词命题及其真假； (2)存在量词、存在量词命题及其真假． 2．方法链：定义法、转化法． 3．警示牌：依据含量词命题的真假求参数的取值范围时，注意不要因等价转化错误导致解题切入点错误． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．常见的全称量词有哪些？用符号怎么表示？ [提示]　全称量词有：“所有的”“任意一个”等，并用符号“∀”表示． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 2．常见的存在量词有哪些？用符号怎么表示？ [提示]　存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？ [提示]　全称量词命题用符号简记为“∀x∈M，p(x)”；存在量词命题用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 课时分层作业(八)　全称量词与存在量词 一、选择题 1．下列命题含有全称量词的是(　　) A．某些函数图象不过原点　 B．实数的平方为正数 C．方程x2＋2x＋5＝0有实数根 D．素数中只有一个偶数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 1.5.1　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 B　[“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程x2＋2x＋5＝0有实数根”，即“存在实数x，使x2＋2x＋5＝0”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以B正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．关于命题“∃x∈N，x2＋2x＝0”，下列判断正确的是(　　) A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[该命题是存在量词命题，当x＝0时，x2＋2x＝0，所以该命题为真命题．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 3．若命题p：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m＞－2}　 B．{m|m≥－2} C．{m|m＜－2} D．{m|m≤－2} 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[因为命题p：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0是真命题，所以方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，解得m≥－2．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 4．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R，2x－10＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 5．(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，且P≠Q，则下列选项中正确的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∃x∈Q，使得x∉P C．∃x∈P，使得x∉Q D．∀x∉Q，有x∉P 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 BD　[由题意得PQ． 对于A，B，∃x∈Q，使得x∉P，故A错误，B正确； 对于C，∀x∈P，都有x∈Q，故C错误； 对于D，∀x∉Q，都有x∉P，故D正确．故选BD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是______________．(选填“全称量词命题”“存在量词命题”) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 存在量词命题　[原命题即“存在一元一次不等式，其解集是空集”，所以是“存在量词命题”．] 存在量词命题 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 7．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5　[当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5， 因为“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5．所以实数m的最大值是5．] 5 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 8．命题p：∃x，y∈R，x2＋y2≤1是______________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 存在量词命题 真 存在量词命题　真　[命题p是存在量词命题，当x＝0，y＝0时，0≤1成立，故p是真命题．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 三、解答题 9．将下列命题用量词符号表示： (1)所有实数的平方都是非负数； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个实数； (3)所有自然数都大于等于零． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)∀x∈R，x2≥0． (2)∀x∈R，＝x． (3)∀x∈N，x≥0． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 10．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是(　　) A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．梯形两条对角线相等 C．有小于1的自然数 D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 D　[选项A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．0∈N B．“六边形的内角和为720°”是全称量词命题 C．∈Q D．“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是存在量词命题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 AB　[0∈N，∉Q，故A正确，C错误； “六边形的内角和为720°”是全称量词命题，故B正确； “每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题，D错误．故选AB．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为(　　) A．{3，4，5} B．{x|x>2} C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6} 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ ACD　[因为中位数为3，所以x≥3即可．故选ACD．] √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 13．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为____________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (答案不唯一)　[存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题．] (答案不唯一) 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 14．“∃m∈A，使得方程mx2－2x＋1＝0有两个不同的实数根”是真命题，求集合A． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　当m＝0时，方程为－2x＋1＝0，只有一个根，不符合条件；当m≠0时，由Δ＝4－4m>0，解得m<1且m≠0．所以集合A＝{m|m<1且m≠0}． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 15．观察下列等式： 1＝1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 1＋2＋3＋4＝10 1＋2＋3＋4＋5＝15 … 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13＝1 13＋23＝9 13＋23＋33＝36 13＋23＋33＋43＝100 13＋23＋33＋43＋53＝225 … 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：_____________________________________________________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 对于任意的正整数n，必有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2　[第二列等式右边分别是1×1，3×3，6×6，10×10，15×15，…，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2．] 对于任意的正整数 n，必有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2　 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.5.1　全称量词与存在量词 $$