1.4.2 充要条件-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步课件(人教A版)

1.4.2　充要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 1.4　充分条件与必要条件 整体感知 [学习目标]　1．理解充要条件的意义．(数学抽象) 2．会解答一些简单的充要条件问题．(数学运算) 3．能进行充要条件的证明．(逻辑推理) 1.4.2　充要条件 1.4.2　充要条件 [讨论交流]　预习教材P20－P22，并思考以下问题： 问题1．什么是充分不必要条件？ 问题2．什么是必要不充分条件？ 问题3．什么是充要条件？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 探究1　充分、必要、充要条件的判断 探究问题　判断下列命题的真假． (1)若两条直线平行，则内错角相等； (2)若内错角相等，则两直线平行； (3)若两个三角形的两角和两角的夹边分别相等，则这两个三角形全等； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和两角的夹边分别相等． 探究建构 提示：(1)真　(2)真　(3)真　(4)真 1.4.2　充要条件 1.4.2　充要条件 [新知生成] 1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“__________”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____条件． 若q，则p p⇒q q⇒p p⇔q 充要 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q p 充分不必要条件 q⇒p，且p q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p q，且q p 既不充分也不必要条件 3．条件关系判定的常用结论： 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 【教用·微提醒】　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别： (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 【链接·教材例题】 例3　下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0； (4)p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0)． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以q p，所以p不是q的充要条件． (2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件． (3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立(为什么)，所以p q，所以p不是q的充要条件． (4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空． (1)a≥5是a为正数的_______________； (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的_________________； (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的___________； (4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的_____________________． 　　　 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 (1)充分不必要条件　(2)必要不充分条件　(3)充要条件　(4)既不充分也不必要条件　[(1)a≥5⇒a>0，a>0 a≥5．因此应填“充分不必要条件”． (2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等，反之不成立．因此应填“必要不充分条件”． (3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”． (4)x∈R时，x2＝2 x＝2，x＝2 x2＝2．因此应填“既不充分也不必要条件”．] 【教师·备选题】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数，q：a是正数． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 [解]　(1)法一：当x＝1时，(x－1)(x－2)＝0成立； 当(x－1)(x－2)＝0时，x＝1或x＝2． ∴p是q的充分不必要条件． 法二：A＝{x|x＝1}＝{1}， B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}， 可知AB， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故p q；又是正数，但不是自然数，故q p．故p是q的既不充分也不必要条件． 反思领悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系判断，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 [学以致用]　1．(源自北师大版教材)下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：＝(bc≠0)，q：b2＝ac； (2)对于反比例函数y＝，x>0，p：k>0，q：y的值随x的值的增大而减小； (3)p：函数的图象关于y轴对称，q：函数y＝x2． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 [解]　(1)若＝(bc≠0)，则b2＝ac，充分性成立； 若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但分式无意义，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件． (2)对于反比例函数y＝，x>0，若k>0，则y随x的增大而减小，反之，若y随x的增大而减小，则k>0，所以p是q的充要条件． (3)函数图象关于y轴对称，函数可以是y＝x2，也可以不是，充分性不成立，函数y＝x2的图象关于y轴对称，必要性成立，所以p是q的必要不充分条件． 探究2　充要条件的证明 【链接·教材例题】 例4　已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p⇒q)和必要性(q⇒p)即可． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 证明：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切． (1)充分性(p⇒q)：如图1.4-2，作OP⊥l于点P，则 OP＝d．若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取 一点Q(异于点P)，连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ >OP＝r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切． (2)必要性(q⇒p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l．因此，d＝OP＝r． 由(1)(2)可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． [典例讲评]　2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0． 证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b． ∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0． 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0． ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 反思领悟　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 [学以致用]　2．求证：“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件． [证明]　先证充分性： 因为a＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2， 又因为2ab＝2a2， 所以a2＋b2＝2ab． 再证必要性： 因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0， 即(a－b)2＝0，所以a＝b． 综上可知，“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 探究3　充要条件的应用 [典例讲评]　3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3． 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 [母题探究]　将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 所以或 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 反思领悟　应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知条件将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 [学以致用]　3．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　设A＝{x|x<－2或x>3}， B＝， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA， 所以－≤－2，即m≥8． 所以m的取值范围为{m|m≥8}． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 1．已知a，b为实数，则“a＝0”是“ab＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 应用迁移 √ 2 3 题号 4 1 A　[a＝0可以推出ab＝0；但ab＝0，则a不一定为0．故选A．] 1.4.2　充要条件 1.4.2　充要条件 2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0　 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 2 3 题号 4 1 √ B　[因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 3．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A．a≥3 B．a≤－1 C．－1≤a≤3 D．a≤3 2 3 题号 4 √ 1 B　[因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 4．用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： (1)“x∈N”是“x∈Q”的___________； (2)“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的__________； (3)“x>2”是“x>3”的__________； (4)“>0”是“xy>0”的________． 2 3 题号 4 1 　　　 充分条件 充分条件 必要条件 充要条件 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 2 3 题号 4 1 (1)充分条件　(2)充分条件　(3)必要条件　(4)充要条件　[(1)当x∈N时，一定有x∈Q成立，但反之不一定成立，如x＝∈Q，但∉N，故填充分条件； (2)当x＝2时，22－3×2＋2＝0，反之当x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，故填充分条件； (3)当x>2时，x>3不一定成立，如x＝>2，但<3，反之x>3时，x>2一定成立，故填必要条件； (4)当>0时，说明x，y同号，即xy>0成立，反之当xy>0时，>0一定成立，故填充要条件．] 1．知识链：(1)充要条件的概念； (2)充要条件的证明； (3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用． 2．方法链：等价转化． 3．警示牌：证明充要条件时，注意辨别条件和结论． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分、必要条件间存在怎样的关系？ [提示]　 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 2．要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？ [提示]　需要证明充分性和必要性两个方面． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 课时分层作业(七)　充要条件 一、选择题 1．若a∈R，则“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 1.4.2　充要条件 1.4.2　充要条件 A　[由(a＋1)(a－3)＝0，得a＝－1或a＝3， 所以“a＝3”是“a＝－1或a＝3”的充分不必要条件， 即“a＝3”是“(a＋1)(a－3)＝0”的充分不必要条件． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知a，b∈N，则“a2－b2为偶数”是“a－b为偶数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 C　[由题a，b∈N， 若a2－b2为偶数，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)为偶数， 因为a＋b与a－b奇偶性相同，所以a＋b与a－b都为偶数，则a－b为偶数， 若a－b为偶数，则a＋b为偶数，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)为偶数． 所以“a2－b2为偶数”是“a－b为偶数”的充要条件．故选C． ] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．《三国演义》第49回中提到“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 B　[“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)如图，直线a，b被直线c所截．下列条件中，是a∥b的充要条件的有(　　) A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180° C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 ABC　[若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项正确； 若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项正确； 若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项正确； 显然，∠1与∠3是对顶角，由∠1＝∠3不能得到两直线平行，D选项错误．故选ABC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C．“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ＝b2－4ac≥0” D．若A∩B＝A，则A⊆B 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 ACD　[由于“x>4”与“x<5”互相不能推出，所以A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以B错误； 由一元二次方程根的判别式可知，C正确； 由集合间的基本关系可知，D正确． 故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知甲：p是q的充分条件；乙：p是q的充要条件，则甲是乙的___________条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 必要不充分　[当p是q的充分条件时，p可以推出q，但q不一定能推出p，因此不一定有p是q的充要条件．当p是q的充要条件时，p和q可以相互推出，因此p是q的充分条件． 故答案为：必要不充分．] 必要不充分 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 7．若“不等式x－m<1成立”的充要条件为“x<2”，则实数m的值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1　[解不等式x－m<1，得x<m＋1， 因为“不等式x－m<1成立”的充要条件为“x<2”，所以2＝m＋1，解得m＝1．所以m＝1．] 1 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 8．给出下列条件： ①p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0； ②p：x2－1＝0，q：x－1＝0； ③p：x>4且y>3，q：x＋y>7． 其中p是q的必要不充分条件的为________．(填序号) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ②　 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 ②　[对于①，p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件； 对于②，p：x2－1＝0，解得x＝±1， q：x－1＝0，解得x＝1，所以p是q的必要不充分条件； 对于③，由p：x>4且y>3可得q：x＋y>7成立， 但当x＋y>7时，可令x＝6，y＝2，不满足y>3． 所以p是q的充分不必要条件．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．在①充分不必要，②必要不充分，③充要这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数m存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 问题：已知集合A＝{x|1≤x≤5}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋2m}．是否存在实数m，使得x∈A是x∈B的________条件？ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 [解]　因为集合B＝{x|1－m≤x≤1＋2m}为非空集合，所以1－m≤1＋2m，m≥0． 选择条件①： 因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以或 解得m≥2， 故实数m的取值范围是{m|m≥2}． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 选择条件②： 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 所以有m≥0且或 解得m＝0． 综上，实数m的取值集合是{0}． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 选择条件③： 因为x∈A是x∈B的充要条件，所以有m≥0且A＝B， 即此方程组无解， 则不存在实数m，使得x∈A是x∈B的充要条件． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则其充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，又{a|a<－1}{a|a<0}，故C正确．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 11．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有 (　　) A．A∪B＝B B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ BCD　[由Venn图可知，BCD都是充要条件． 故选BCD．] √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 12．下列选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0 B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y| C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实数根 D．p：x>2或x<－1，q：x<－1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 B　[对于A，由p q知，p不是q的充要条件；对于B，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故p是q的充要条件；对于C，方程x2－x－m＝0有实数根，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以q p，所以p不是q的充要条件；对于D，因为p q，所以p不是q的充要条件．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 m＝－2　[函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．] m＝－2 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 14．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}．设p：x∈A，q：x∈B，试判断p是q的什么条件，q是p的什么条件． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　令k＝2n，则x＝2k＝4n，k，n∈Z，令k＝2n＋1，则x＝2k＝4n＋2，k，n∈Z， 则A＝{x| x＝4n或x＝4n＋2，n∈Z}， 又因为B＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}， 所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件． 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 15．已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2． ∵ac<0，∴x1·x2＝<0， 整体感知 探究建构 应用迁移 课时分层作业 1.4.2　充要条件 ∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程． 设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0，∴ac<0． 综上，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $$