专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（双外角） 11 17 模型1双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，分别平分， 并相交于点 O，， 则 【答案】/90度 【分析】本题考查了角的平分线及三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，∴， ∵分别平分，∴， ∴， ∴．故答案为：. 例2．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析(2)AE+CD=AC，证明见解析 【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC， ∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA， ∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC， ∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC； （2）解：AE+CD=AC， 证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°， 在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON， 则在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO， 同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON， ∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°， 过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L， ∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴， ∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE， ∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键． 例3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 例4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义．（1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而；（2）由三等分线可得，，从而；（3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（2023·吉林长春·七年级校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 【答案】25° 【分析】根据角平分线的定义得到∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：∵AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE， ∴∠D=∠DBE-∠DAE=（∠CBE-∠CAE）=∠C=25°，故答案为：25°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出______； 【变式思考】（2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点O，点F在的延长线上，作的平分线交的延长线于点G．若，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了双角平分线模型，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线性质，推理出各个角之间的关系是本题的关键．（1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度； （2）同（1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度的关系； （3）利用三角形外角的性质和角平分线性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，   ∴， ∵角平分线、分别平分、，∴，， ∴， 在中，．故答案为：， （2）∵，∴， ∵角平分线、分别平分、，∴，， ∴， ∴． （3） ∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∵ ，∴， ∵，∴． 例3．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点∴ ∵∴ ∵ ∴同理，得； ；；… ∴故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 模型3.双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（2023.广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ． 【答案】67°． 【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，后再用三角形内角和计算∠AEC的度数． 【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°， ∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°， ∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA， ∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°， ∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°． 【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键． 例2．（2024春·江苏·八年级统考期末）⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论．⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数． 【答案】（1）∠BPC＞∠BAC；证明见解析；（2）①70°；②90°-n°. 【详解】试题分析：（1）连接AP并延长到M，根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角可分别判断出∠BPM＞∠BAM，∠CPM＞∠CAM，从而得到∠BPC与∠A的大小关系； （2）①利用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；②同①的求算方法相似，直接把∠A=n°代入即可表示． 试题解析：（1）∠BPC＞∠BAC．连接AP并延长到M． ∵在△ABP中，∠BPM＞∠BAM，在△ACP中，∠CPM＞∠CAM， ∴∠BPM+∠CPM＞∠BAM+∠CAM，∴∠BPC＞∠BAC； （2）解：①∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠ECB）=（360°-140°）=110°，∴∠BOC=180°-110°=70°； ②由①可知∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-[（360°-（180°-∠A）] 即∠BOC=90°-n°. 考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理． 例3．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长，作，，，设， 平分，，， 平分，，，， ，， ，， 在和中，， ，．故选：C．    【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解决问题的关键． 例4．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；（3）同（1）的求解思路． 【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A．理由如下：如图， ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1， ∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A，即∠BOC=∠A； （2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC）， 在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）， =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-（180°+∠A），=90°-∠A；故答案为∠BOC=90°-∠A． （3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D）， 在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）．故答案为∠BOC=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键． 1．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在中，点到的三边距离相等，连接、，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到的三边距离相等，可得点是三个内角的角平分线的交点，根据，可得，进而可得，最后根据三角形内角和定义即可求解． 【详解】解：点到的三边距离相等， 点是三个内角角平分线的交点， 即、分别是、的角平分线，，， ．故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等，以及三角形的内角和，理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）如图，在中，分别平分和，且相交于点O，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可． 【详解】∵，∴， ∵分别平分和，∴， ∴．故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明，，，，可判断③，由，，可得，从而可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵是角平分线，∴，故①符合题意； ∵是边上的高，∴，故②符合题意； ∵是角平分线，平分，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，故③不符合题意； ∵，， ∴ ，故④符合题意；故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键． 4．（2023·重庆·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（　　）    A．45° B．48° C．60° D．66° 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质定理证得，，进而得出，从而判定平分，再利用外角的性质求出即可． 【详解】解：作于点F，于点H，于点G，    ∵平分，平分，∴，，∴， ∵，，∴平分， ∵，，∴， ∴．故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线． 5．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出为的外角平分线，然后列式计算求出，即可判断D选项． 【详解】解：，， ，故A选项正确，不符合题意； 平分，， 在中，， ，故B选项错误，符合题意； 平分，， 在中，，故C选项正确，不符合题意； 、分别是和的平分线，到、、的距离相等， 是的外角平分线，， 故D选项正确，不符合题意．故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键． 6．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（    ） A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数． 【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°． ∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO， ∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键． 8．（2023秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，中，，，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则的度数为 ． 【答案】/37度 【分析】由角平分线的性质可得，进而可证明是的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：过E点分别作于，作于点G，作于H， ∵是的平分线，是的平分线，∴，， ∴，∴是的外角平分线， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． 9．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记，，则以下结论①，②，③，④，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）    【答案】①④ 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判断． 【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE＝（∠ACD−∠ABC）＝∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝180°−（180°−∠1）＝90°＋∠1， 故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 10．（2023秋·浙江八年级课时练习） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得 （1）若，则 ， ， （2）若，则 ． 【答案】 40° 20° 10° 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，进而可求∠A2和∠A3； （2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此类推可知∠A2015即可求得． 【详解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC ∵和的角平分线交于点，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC ∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=40° 同理可证：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10° 故答案为：40°；20°；10°． （2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC ∵和的角平分线交于点， ∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC ∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=° 同理可证：∠A2=∠A1=°，∠A3=∠A2=°∴∠A2015=°故答案为：°． 【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并依此找出规律． 11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示） 【答案】 【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可． 【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°， ∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=，∠BCP=， ∴∠PBC+∠BCP= ∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）= 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数． 12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ． 【答案】36° 【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果． 【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°， 又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°， ∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键． 13．（2023·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．    (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据尺规作图法可作的平分线；（2）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：∵，，∴， ∵是的平分线，∴， ∵，是的平分线， ∴，∴． 【点睛】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和相关知识是解题的关键． 14．（2023·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由. 【答案】  成立，见解析. 【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案 【详解】解：成立． 理由如下：∵在中，角平分线AD、BE、CF相交于点O， 由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，． 由三角形的外角性质得，， ， 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题关键． 15．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？ 【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=∠A；理由见解析 【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案． 【详解】(1)∠BOC=∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， 又∵ BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB． ∴ ∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°．∴ ∠BOC=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)= 90°+∠A． (2)∠BOC=∠A． ∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE， ∴ ∠A=∠ACE-∠ABC， ∠BOC=∠OCE-∠OBC 又∵ BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE． ∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC= (∠ACE-∠ABC)= ∠A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键． 16．（2023春·八年级单元测试）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α； （3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC， ∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC， ∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC， ∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC， ∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°； （2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF， ∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°， ∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α； （3）如图， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β， ∴∠ADB=∠ACB=β．故答案为：β． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 17．（2023·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知. （1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）； ②的度数为 （用含的代数式表示）； （2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；②；(2) （3） 【详解】：（1）①；②； （2）∵和分别平分和∴, ∴   即 （3）由轴对称性质知： 由（1）②可得 ∴． 18．（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数 （3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数 【答案】（1）110°（2）90°+m°（3）×180°-（此结果形式可以不同，只要正确皆可） 【详解】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可； （2）（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可． 试题解析：解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．∵BP、CP是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）==×140°=70°，∴∠P=180°－70°=110°． （2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCD=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°=m+180°．∵BQ，CQ是角平分线，∴∠DBC=2∠QBC，∠BCE=2∠BCQ，∴∠QBC+∠BCQ=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）=90°+m．在△BCQ中，∠Q=180°－（∠QBC+∠BCQ）=180°-（90°+m）=90°-m． （3）由（2）得：∠DBC+∠BCD=m+180°，∠RBC+∠BCR=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）．在△BCR中，∠R=180°－（∠RBC+∠BCR）=180°-（m+180°）= ． 点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键． 19．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】（1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】（2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义： （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则． （3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解：（1），， 平分，平分，，， ，即； （2）平分，平分，，， ，，，， ，， ，， ，即，； （3）、分别平分、，，， 、分别平分、，，， 、分别平分、，，， ，，， ，， 又，，， 即， ， 又∵，，， ， ． 20．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，BO、CO分别是中和的平分线，则与的关系是______（直接写出结论）； （2）如图2，BO、CO分别是两个外角和的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3）；证明见解析；（4）的大小不会变化始终为45°，证明见解析． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB求出∠1+∠2的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数；（2）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证2∠1+2∠2＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+180°，再根据三角形内角和定理可证2∠BOC＝180°﹣∠A，即∠BOC＝90°﹣∠A；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （4）利用（3）中的解题思路证得∠P的大小不会变化始终为45°． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，∵，BO、CO分别是、的角平分线， ∴，∴；答案：； （2）． 证明：如图2，∵BO平分，∴． 同理可证：．∴， ∵，， ∴， ∴；故答案是：； （3）； 证明：∵CO平分，BO平分∴ ∵是的外角∴ ∵是的外角∴∴；故答案是：； （4）的大小没有变化．证明：∵的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，∴，， ∵是的外角，∴， ∵是的外角，∴，∴； ∵∴∴的大小不会变化始终为45°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（双外角） 11 17 模型1双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，分别平分， 并相交于点 O，， 则 例2．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 例3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 例4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（2023·吉林长春·七年级校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 例2．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出______； 【变式思考】（2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点O，点F在的延长线上，作的平分线交的延长线于点G．若，猜想与的关系，并说明理由． 例3．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 模型3.双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（2023.广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ． 例2．（2024春·江苏·八年级统考期末）⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论．⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数． 例3．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（    ）    A． B． C． D． 例4．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 1．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在中，点到的三边距离相等，连接、，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）如图，在中，分别平分和，且相交于点O，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·重庆·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（　　）    A．45° B．48° C．60° D．66° 5．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（　　）    A． B． C． D． 6．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（    ） A．30° B．45° C．55° D．60° 8．（2023秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，中，，，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则的度数为 ． 9．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记，，则以下结论①，②，③，④，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）    10．（2023秋·浙江八年级课时练习） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得 （1）若，则 ， ， （2）若，则 ． 11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示） 12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ． 13．（2023·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E． (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．    14．（2023·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由. 15．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？ 16．（2023春·八年级单元测试）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 17．（2023·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知. （1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）； ②的度数为 （用含的代数式表示）； （2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）． 18．（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数 （3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数 19．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】（1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】（2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 20．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，BO、CO分别是中和的平分线，则与的关系是______（直接写出结论）； （2）如图2，BO、CO分别是两个外角和的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$