专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板拼接模型 10 14 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 例3．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 【答案】34 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，由角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理可得：，，从而得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，分别平分和，∴，， 根据三角形内角和定理可得：，， ∴由得：， ∵，，∴，∴，故答案为：． 例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． （1）在中，，在中，， 两不等式相加得，∴即 （2）应用上题的结论：，， ∴． 例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数； （3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）． 【答案】（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°- 【分析】（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论；（2）设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解；（3）设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在“对顶三角形”与中，∴， ∵，∴，∵，∴， 又∵∴； （2）∵比大20°，+=+， ∴设=x， =y，则=x+20°，=y-20°， ∵，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y， ∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-= x+y- x-20°=y-20°， ∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°； （3）∵，是的角平分线， ∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-， ∵和的平分线和相交于点P， ∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P， ∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)= x+y=45°-，即：∠P=45°-． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键． 模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，，， ，，故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 例2．（2023·重庆·八年级期中）如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据题意可知，，然后结合三角形内角和定理即可推出的度数． 【详解】解：如图． ∵为直角三角形，，∴， ∵，，∴．故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于得出，． 例3．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可；（2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可； （4）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换，即可． 【详解】（1）为直角三角形，，∴， ∵，，∴， ∴，故答案为：．       （2）∵，∴， ∵，，∴， ∴，故答案为：． （3）由（1）和（2）得，， ∵，∴，∴． （4），理由见下：由题意得，，∴，， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角和定理． 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，三角形内角和定理，由图可得，，进而由三角形内角和定理即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，， ∴，故答案为：． 例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）将一副三角板按如图所示放置，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，能求出各个角的度数是解此题的关键．根据等腰直角三角形求出，根据平行线求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选：C． 例3．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】如图，由题意得：，根据平行线的性质求出，进而可求出，即可判断③④；根据三角形的内角和定理、平行线的性质和角的和差求出，即可判断①；求出，进而可判断②． 【详解】解：如图，由题意得：，∵，∴，    ∵， ∴， ∴，，故结论③错误； ∵，∴，∴平分，故结论④正确； ∵，∴，∴，故结论①正确； ∵，∴，∴，故结论②正确；故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的相关知识和平行线的判定和性质是解题的关键． 例4．（23-24七年级下·四川资阳·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 【答案】(1)(2)或或(3) 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据角的和差解题即可； （2）分为三种情况：，，画图计算解题即可； （3）根据三角形的内角和得到,然后利用外角代入计算即可解题． 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）①当时, 如图所示, ， ，即 ， ②当时， 如图所示，过点作，∴， ∴， ∴，， ∴；∴； 当时， 如图所示，如图，则； 综上所述，的度数为或或； （3）当,, 保持不变，理由如下： 如图, 设分别交、于点,在中,, ∵,∴， ∵,∴. 1．（2023·海南·七年级校考期中）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于F，那么图中的度数是（    ）度． A．75 B．90 C．100 D．105 【答案】A 【分析】由题意可得：，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图所示的图形是把一副常用三角板拼在一起， 所以，所以．故选：A． 【点睛】本题以三角板为载体，主要考查三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 2．（2023·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，得到∠B＝∠AED，然后根据三角形的外角的性质得到，∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C，又因为∠B+∠C＝60°，得到20°+∠C+∠C＝60°，即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE．∴∠B＝∠AED， ∵∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C， ∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝60°，即20°+∠C+∠C＝60°，∴∠C＝20°，故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质以，三角形内角和定理及三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质是解决问题的关键． 3．（2023·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由外角定理知，，将已知角代入求解即可． 【详解】解：如图，，， ∵，∴，故选：A．    【点睛】本题考查三角形外角定理，观察图形，由角的位置关系导出角之间数量关系是解题的关键． 4．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）如图，这是一副三角板叠放在一起的示意图，则图中等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板上角的度数的特点及三角形内角与外角的关系解答． 【详解】解：如图，      ∵，，∴故选：B． 【点睛】主要考查了三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 5．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）是的平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平分，且，可得，然后根据邻补角的意义可知，再根据邻补角定义直接求得． 【详解】解：∵是的平分线，∴， ∴，∴，故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和和外角性质，解题关键是明确三角形的内外角的关系，然后可求解．三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；三角形的外角：三角形的一个外角大于不相邻两内角的和． 6．（2023·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示，已知△ABC为直角三角形，若沿图中虚线剪去∠B，∠1+∠2 =270°，则∠B等于（    ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】C 【分析】根据四边形内角和为360°可得∠1+∠2+∠A+∠C＝360°，可得∠A+∠C＝90°，再根据直角三角形的性质可得∠B． 【详解】解：∵四边形的内角和为360°，∴∠A+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣270°＝90°． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝180°－（∠A+∠C）＝90°，故选：C． 【点睛】考查了多边形内角和，三角形内角和定理，熟练掌握四边形内角和与三角形内角和是关键． 7．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板与一个直尺按如图所示的方式摆放，若，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得到，结合得到得度数． 【详解】∵，，∴， ∵，∴，故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，补角，熟练掌握性质是解题的关键． 8．（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，点P是AB边上的一个动点（不与顶点A、B重合）．则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，再利用三角形的外角可得，结合，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴；故选B 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题关键． 9．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当，且点E在直线的上方时，他发现若 ，则三角板有一条边与斜边平行． 【答案】或或 【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题． 【详解】解：有三种情形：①如图1中，当时． ∵， ∴， ∵， ∴． ②如图2中，当时，，可得． ③如图3中，当时，延长交于M． ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型． 10．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 【答案】230 【分析】由平行线的性质可得，再运用三角形内角和定理、邻补角的定义可得． 【详解】解：如图， ∵，∴， ∴，∴， ∴．故答案为：230． 【点睛】本题考查了多边形的内角、平行线的性质及邻补角，熟练掌握多边形的内角和定理及邻补角定义是解题的关键． 11．（2023·山东临沂·八年级统考期末）如图，在等边中，将沿虚线剪去，则 °． 【答案】240 【分析】根据等边三角形的性质可得，再让四边形的内角和减去即可求得答案． 【详解】∵是等边三角形∴ ∴∴故答案是： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和、外角和定理以及四边形的内角和是．因为涉及到的知识点较多，所以解题方法也较多，需注意解题过程要规范、解题思路要清晰． 12．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．    【答案】/260度 【分析】在和中，分别利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，∴， 在中，，∴， ∴,故答案为：． 【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于分别求得和的度数． 13．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 【答案】540° 【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论． 【详解】连接ED，∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE， ∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°， 即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案为：540°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键． 14．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，的度数是 ． 【答案】/360d度 【分析】根据三角形外角的性质得出，进而在四边形中，根据四边形内角和即可求解． 【详解】解：如图所示，∵， 在四边形中，，故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15．（2023·山西晋城·七年级统考期末）综合与探究：将两块三角尺按图1摆放，固定三角尺，将三角尺绕点C按顺时针方向旋转，其中，，设旋转角为 ． (1)当时（如图2），求的值； (2)当时（如图3），与相交于点F，求的值； (3)当时，连结（如图4），直线与相交于点F，试探究的大小是否改变？若不改变，请求出此定值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)大小不变，其值为． 【分析】（1）由可得，则可求解； （2）由可得，根据三角形内角和可求，则可求α的值； （3）根据三角形内角和和外角等于不相邻的两个内角和，列出关系式可求的值． 【详解】（1）解：∵，∴， 又∵，∴，即； （2）解：∵，∴， 又∵，∴， ∴，即； （3）解：大小不变，其值为． ∵，，，∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 16．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F． (1)若，则　 ．(2)、、有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【分析】（1）在中利用三角形内角和求出，再在中利用三角形内角和即可得出答案； （2）在中利用三角形内角和表示出，再在中利用三角形内角和即可得出答案. 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴， ∵，∴．故答案为：； （2）， 理由：∵，∴， ∵∴ ， ∵，∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形三个内角的和等于． 17．（2023·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（，）放置在上（点在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点和点，我们来研究与是否存在某种数量关系． (1)特例探究：若，则________度，________度． (2)类比探究：、、的关系是 ___________________． (3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，探究、、的关系(只要求直接写出结论)：____________________． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，进而即可求解； （2）根据三角形内角和定理得出，进而得出；（3）设交于，根据三角形内角和定理，对顶角相等，得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，，，故答案为：，； （2）结论：． 证明：，， ，．故答案为：； （3）结论：∠，理由是：设交于，如图： ，，即， ，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 18．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得结论；（4）如图4，同理计算可得结论． 【详解】（1）在中，，在中，， ∵，∴故答案为： （2）设，， ∵，分别平分，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为： （3）由（2）可知：， ∵，∴，∴， ∴， （4）如图4，延长、交于点，设，， ∴，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 7 模型3. 三角板拼接模型 10 14 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 例3．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． 例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）． 模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 例2．（2023·重庆·八年级期中）如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于（　 ） A． B． C． D． 例3．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中的度数是 ． 例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）将一副三角板按如图所示放置，若，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）    例4．（23-24七年级下·四川资阳·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 1．（2023·海南·七年级校考期中）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于F，那么图中的度数是（    ）度． A．75 B．90 C．100 D．105 2．（2023·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 3．（2023·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）如图，这是一副三角板叠放在一起的示意图，则图中等于（    ）      A． B． C． D． 5．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）是的平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示，已知△ABC为直角三角形，若沿图中虚线剪去∠B，∠1+∠2 =270°，则∠B等于（    ） A．70° B．80° C．90° D．100° 7．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板与一个直尺按如图所示的方式摆放，若，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，点P是AB边上的一个动点（不与顶点A、B重合）．则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当，且点E在直线的上方时，他发现若 ，则三角板有一条边与斜边平行． 10．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 11．（2023·山东临沂·八年级统考期末）如图，在等边中，将沿虚线剪去，则 °． 12．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．    13．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 14．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，的度数是 ． 15．（2023·山西晋城·七年级统考期末）综合与探究：将两块三角尺按图1摆放，固定三角尺，将三角尺绕点C按顺时针方向旋转，其中，，设旋转角为 ． (1)当时（如图2），求的值；(2)当时（如图3），与相交于点F，求的值； (3)当时，连结（如图4），直线与相交于点F，试探究的大小是否改变？若不改变，请求出此定值；若改变，请说明理由． 16．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F．(1)若，则　 ．(2)、、有什么数量关系？请说明理由． 17．（2023·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（，）放置在上（点在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点和点，我们来研究与是否存在某种数量关系． (1)特例探究：若，则________度，________度． (2)类比探究：、、的关系是 ___________________． (3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，探究、、的关系(只要求直接写出结论)：____________________． 18．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$