专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板拼接模型 11 16 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 例3．（2023·广东深圳·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个； （3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）． 例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． 例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．        (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　　   模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 例3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2023春·山东济宁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中的度数是 ．    例2.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（　　）    A．15° B．20° C．25° D．30° 例3．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 例4．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______时，； (2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数； (3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明． 1．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（    ）．    A． B． C． D． 5．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（    ）    A． B． C． D． 6．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（     ） A．30° B．25° C．20° D．10° 7．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（    ） A．540° B．500° C．460° D．420° 8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（　　） A． B． C． D． 9．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为(   ) A．60° B．50° C．40° D．30° 10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．    11．（2023春·广东·七年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证： 12．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知， ． 13．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别是上的点，点F在的延长线上，，，求的度数． 14．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．    (1)解：∵，． ∴ ． ∵ ________， ∴________， ∴________． (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和． (3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________． 15．（2024·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________ A．90°          B．135°            C．270°             D．315° （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______ （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________ （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由． 16．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．    (1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，． (2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由． 17．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习） (1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； (2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数； (3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由； (4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.“8”字模型 2 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板拼接模型 11 16 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 【答案】35 【分析】本题考查对顶角、邻补角，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理以及对顶角相等进行计算即可． 【详解】解：∴，而，∴， ∵，∴．故答案为：35． 例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 例3．（2023·广东深圳·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个； （3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可得出、、、的数量关系； （2）分别以点、、为交点，观察图形，即可得出答案； （3）根据（1），得出，，再两式相加，结合角平分线的定义，可得，再把，代入计算即可得到答案； （4）根据（1），得出，，然后整理，得出，，再结合角平分线的定义，得出，即，然后等量代换，得出，进而即可得出结论． 【详解】解：（1）结论为：，理由如下： ∵， 又∵，∴； 故答案为： （2）交点有点、、，以为交点有1个，为与， 以为交点有4个，为与，与，与，与， 以为交点有1个，为与， 综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为： （3）由（1）可知：，， ∵和的平分线和相交于点，∴，， 得：，∴， 又∵，，∴，∴； （4）关系：， 由（1）可知：，， ∴，， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴，即， ∴，整理得，． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质是解题的关键． 例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． （1）在中，，在中，， 两不等式相加得，∴即 （2）应用上题的结论：，， ∴． 例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   【答案】(1)见解析(2)①；②；③ 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据题干的结论列出，相加得到，继而得到，即可证明结论； （2）①如图所示，分作的角平分线交于H，根据（1）的结论得到，再由角平分线的定义和平角的定义证明，，再根据题干的结论可推出；②如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知，，同理可得，，则由四边形内角和定理可得；③由题干的结论可得，由角平分线的定义得到，再求出，由题干的结论可知，由此可得． 【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∴， 由题干的结论得：，∠， ∴，∴， ∴，即； （2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知， ∵分别平分，∴， ∵∴， ∴，同理可得，由题干的结论可得，∴；       ②如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知，，同理可得，， ∴； ③由题干的结论可得， ∵平分，平分的外角，∴， ∵，∴， 由题干的结论可知，∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据邻补角求得，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，∴，故选：A． 【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】解：，， ，故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 例3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1，∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2023春·山东济宁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】先根据三角形内角和定理得到，再由对顶角相等得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，，，    ，，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算、对顶角的性质及三角形内角和定理，将实际问题转化成数学问题是解题的关键． 例2.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（　　）    A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】解：∵，∴． ∵是的外角，∴．故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 例3．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由题意知，，则，进而可判断①的正误；由，可得，则与互为补角，进而可判断②的正误；由，可得，则，，进而可判断③的正误；由题意知，，即，由，可得，则，进而可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，，∴，①不一定正确，故不符合要求； ∵，∴， ∴与互为补角，②一定正确，故符合要求；∵，∴， ∵，∴，③一定正确，故符合要求； 由题意知，，即， ∵，∴，∴，④一定正确，故符合要求；故选：B． 【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 例4．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______时，； (2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数； (3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明． 【答案】(1)15(2)旋转角的所有可能的度数是：，，，， (3)，证明见解析 【分析】（1）当时，，则，即可解答． （2）分五种情况考虑：，，，，，即可分别求出旋转角； （3）利用三角形的内外角的相等关系分别得出：及，由的内角和为，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴，即旋转角°故答案为：15 （2）解：当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况： ①当时，如下图，由（1）知旋转角； ②当时，如下图，与重合，∴，即旋转角为； ③当时，如下图，∴，∴， ∴， ∴，即旋转角为； ④当时，如下图，延长交于点M， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴，在同一直线上，即点A，B，D共线， ∴，即旋转角为； ⑤当时，如下图， ∵，∴，即旋转角为； 综上所述，旋转角的所有可能的度数是：，，，，． （3）（3）当，，保持不变； 理由如下：在中，， ，，， ，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 1．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意得：，，    ，，．故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 2．（2023春·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：，， ，，， ，，故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， ，，．故选：C 4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，用三角形的外角性质得到，据此求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵是的外角，∴， ∴，观察四个选项，选项D符合题意，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，不等式的性质，掌握“三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角”是解题的关键． 5．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形内角和为可得，再根据直角三角形的性质可得，进而可得的和． 【详解】解：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题是一道根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力． 6．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（     ） A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】A 【分析】延长交于H，利用“8”字形求出，利用外角的性质得到，由此求出的度数，进而得到答案． 【详解】解：延长交于H， ∵ ，∴， ∴， ∵，∴，选A． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键． 7．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（    ） A．540° B．500° C．460° D．420° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理可得，根据平角的定义和四边形内角和可得，同理可得，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，∴， ∵，，∴ ∵∴， 同理可得：，∴，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于是解题的关键． 8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用内外角之间的关系可得． 【详解】解：∵三角形的内角和等于， ∴可得和的邻补角之和等于， ∴，故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于,解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 9．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为(   ) A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，进而可求出∠ABD＋∠ACD的度数． 【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°， 在△DBC中，∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大． 10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．    【答案】/250度 【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出，，，，再根据，进行求解即可得出最后结果． 【详解】解：如图，进行标注，    是的一个外角，， 是的一个外角，，即， 是的一个外角，， ， 是的一个外角， ， ，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键． 11．（2023春·广东·七年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证： 【答案】见解析 【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC． ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC． ∵∠3是三角形的外角，∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1， ，即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，∴∠E＝（∠A＋∠C）． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键． 12．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知， ． 【答案】/240度 【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】连接，， ∴ 又， ∴ ．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 13．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别是上的点，点F在的延长线上，，，求的度数． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，∴ 由三角形的外角性质可得． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解答本题的关键． 14．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．    (1)解：∵，． ∴ ． ∵ ________， ∴________， ∴________． (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和． (3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________． 【答案】(1)，，(2)(3) 【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； （2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； （3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； 【详解】（1），．． ，，； （2），．． ，； （3）． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 15．（2024·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________ A．90°          B．135°            C．270°             D．315° （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______ （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________ （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由． 【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，证明见解析 【分析】（1）先求出∠B+∠A的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案； （2）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案； （3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根据四边形内角和等于360°，即可得到结论； （4）由折叠的性质得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，结合平角的定义和三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°， ∴∠B+∠A=180°-90°=90°，∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．故选：C； （2）∵△ABC中，∠A=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°， ∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．故答案是：220°； （3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A， ∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．故答案是：∠1+∠2=180°+∠A； （4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：如图： ∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF， ∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）， 又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A． 【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，四边形内角和等于360°以及折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 16．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．    (1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，． (2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由． 【答案】(1)，(2)不变，理由见解析 【分析】（1）如图，记与的交点为点，与的交点为点，由，可得，再利用角的和差关系可得答案；如图，记与的交点为，求解，由角的和差关系可得答案； （2）如图3，设分别交、于点、，在中，可得，结合，，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，记与的交点为点，与的交点为点，            ，     ，，   ，即， 如图，记与的交点为， ， ，， ，即， （2）当，，保持不变，理由如下： 如图3，设分别交、于点、，在中，， ，， ，，． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质的应用，熟练的利用旋转的性质与三角形的外角的性质解题是关键． 17．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习） (1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； (2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数； (3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由； (4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由） 【答案】(1)见解析(2)(3)；理由见解析(4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解； （3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4)同法即可解决问题． （1）证明：在AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°， 在COD中，∠C+∠D+∠COD=180° ∠AOB=∠COD∠A+∠B=∠C+∠D （2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∠1=∠2，∠3=∠4 由(1)的结论得 2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC∠P=(∠ABC+∠ADC) ∵∠ABC=35°，∠ADC=15°∠P=25° （3）解：如图3∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE ∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3)∠P+∠1=∠ABC+∠4 2∠P=∠ABC+∠ADC ∠ABC=35°，∠ADC=29°∠P=(∠B+∠D)=×(35°+29°)=32° （4）解:同法可得，∠P=故答案为：∠P= 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常见题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$