专题04 全等三角形模型之半角模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题04 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.半角模型 1 18 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点A旋转到时（如图1），易证．    (1)当绕点A旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？ 请直接写出猜想：________________________．(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．(3)图3中若，，求的面积． 例2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）在正方形中，点E、F分别在边上，且，连接．(1)如图1，试判断之间的数量关系，并写出证明过程．(2)如图2，连接，与、分别相交于点M、N，若正方形的边长为6，，求的长；(3)判断线段三者之间的数量关系并证明你的结论﹒ 例3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图1，在等腰三角形中，，，、在斜边上，且． (1)将绕点按顺时针方向旋转得，连接（如图2）． ①试说明的理由；②求证：；(2)如图3，若原题中点仍在线段上，而点在的延长线上时，试判断、、之间的数量关系并说明理由． 例4．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，将的顶角与的D点重合，它的两边分别与所在直线相交于点M、N．(1)当绕点D旋转与边相交时（如图1），连接．证明：； (2)当绕点D旋转与射线相交时（如图2），连接．猜想线段之间的关系，并加以证明；(3)当绕点D旋转与射线相交时（如图3），连接．线段之间又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，不需证明． 例5．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例6．（2023·广东深圳·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______． 例7．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）观察猜想： (1)如图1，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为______，数量关系为______； 数学思考：(2)如图2，在中，，，D、E为上两点，且，求证：． 拓展延伸：(3)如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长． 例8.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例9．（23-24八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______． （2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论． （3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）． 1．（2024·福建南平·二模）已知正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 3．（23-24八年级下·广西贺州·期末）如图，已知正方形的边长为6，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为 ． 4．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为 ． 5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有，，，四点，且，以为边作等边，连接，；若，，则的长是 ． 6．（2024·吉林·二模）已知： 正方形 中，，它的两边分别交， 于点， ， 于点 ， 连结 ， 则下列结论 ① ； ②； ③； ④ 当 时， ，其中结论一定正确的序号是 ． 7．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝_____． 8．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小萌通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小萌把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形． 想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM．… 请你参考上面的想法，帮助小萌证明PA＝PM（一种方法即可）． 9．（2024·辽宁·沈阳八年级阶段练习）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，AN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分点． （1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，求BN的长； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？　 　（直接回答：“是”或“不是”）若是说明理由，当AM＝2，MN＝4，则BN＝　 　． 10．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：___________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 11．（23-24八年级上·江西赣州·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 12．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为　 　． （2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN的周长． 13．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明）(1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 14．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图1，点、别在正方形的边、上，，连接．(1)求证：下面提供解题思路，请填空： 如图2，把绕点顺时针旋转________度至，可使与重合．由，则知、、三点共线，从而可证________从而得． (2)当绕点旋转到如图3的位置时，线段，和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． (3)如图4，四边形不是正方形，但满足，，，且，，，求的长． 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点． (1)如果在如图1所示的位置时，写出线段之间的数量关系，并证明你的结论． (2)请问当绕点A旋转到如图2所示的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请说明理由．    16．（23-24七年级下·山东济南·期末）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 17．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 18．（2024八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.半角模型 1 18 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点A旋转到时（如图1），易证．    (1)当绕点A旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？ 请直接写出猜想：________________________．(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．(3)图3中若，，求的面积． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）根据全等三角形的性质得出，，由题意求出的面积即可得出答案． 【详解】（1）解：猜想：， 证明如下：如图2，在的延长线上，截取，连接，    ∵四边形是正方形，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，  ∴， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴；故答案为： （2）解：，证明如下：如图3，在上截取，连接，    在和中，，∴， ∴，， ∴，即， ∵，∴， 在和中，，∴，  ∴， ∴，∴； （3）解：∵，∴，， ∵四边形是正方形，，  ∴， ∴的面积为：，∴．即的面积为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 例2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）在正方形中，点E、F分别在边上，且，连接．(1)如图1，试判断之间的数量关系，并写出证明过程．(2)如图2，连接，与、分别相交于点M、N，若正方形的边长为6，，求的长；(3)判断线段三者之间的数量关系并证明你的结论﹒ 【答案】(1)，见解析；(2)；(3)．见解析 【分析】此题考查了三角形全等、勾股定理，解题的关键是构造辅助线，熟悉三角形全等的证明． （1）延长，使，证明和，求得； （2）设，则，在中，根据勾股定理列式计算即可求解；（3）三者之间的数量关系：，证明和，根据勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：，见解析；延长至，使，连接，如图所示： ∵四边形为正方形，∴，， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：设，则，由（1）可知，， 在中，根据勾股定理可得，，解得：，∴； （3）解：三者之间的数量关系为．证明见解析， 证明：延长至，使，连接，在上截取，连接，，如图， 由（1）可知，，即， 在和中，，∴， ∴，，又∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴．即． 例3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图1，在等腰三角形中，，，、在斜边上，且． (1)将绕点按顺时针方向旋转得，连接（如图2）． ①试说明的理由；②求证：；(2)如图3，若原题中点仍在线段上，而点在的延长线上时，试判断、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①理由见解析，②见解析(2)，理由见解析 【分析】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键（1）①根据旋转的性质及各角之间的关系即可证明； ②根据选择得出，再由全等三角形的判定和性质及勾股定理即可证明； （2）将绕点按顺时针方向旋转得，连接，证明方法同②一致即可证明． 【详解】（1）证明：①如图2，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，则， 在中，，， ，； ②由旋转可得，， 在和中，，，， ，中，，； （2） 理由：如图，将绕点按顺时针方向旋转得，连接， 则，，， ，， 在和中，，，∴ ，， 中，，． 例4．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，将的顶角与的D点重合，它的两边分别与所在直线相交于点M、N．(1)当绕点D旋转与边相交时（如图1），连接．证明：； (2)当绕点D旋转与射线相交时（如图2），连接．猜想线段之间的关系，并加以证明；(3)当绕点D旋转与射线相交时（如图3），连接．线段之间又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）由三角形内角和求得，，如图1，将绕点逆时针旋转到，证明三点共线，，进而可得，即； （2）如图2，将绕点顺时针旋转到，证明求解过程同理（1）； （3）如图3，将绕点逆时针旋转到，证明求解过程同理（1）． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ∴，， 如图1，将绕点逆时针旋转到，          ∴，，， ∵，∴三点共线， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴； （2）解：，证明如下：如图2，将绕点顺时针旋转到， 同理（1）可得，，，， ∴，∴，∴； （3）解：；如图3，将绕点逆时针旋转到， 同理（1）可得，，，， ∴， ∴三点共线，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识．熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例5．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN，根据等边三角形的性质及各角之间的等量关系可得：∠NBM=∠NBH，然后依据全等三角形的判定定理可得△NBM≌△NBH，由全等三角形的性质可将x、m、n放在△NCH中，即可确定三角形的形状． 【详解】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN， 由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM，，， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°， ∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN =30°，∴∠NBM=∠NBH， 在△NBM与△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x， ∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°， ∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题， 例6．（2023·广东深圳·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转至，连接ME，过M作于Q，过A作 于F，由旋转的性质得，设，则 ，，证明，得，最后利用勾股定理来解答． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接ME，过M作于Q，过A作 于F， ∵，，，AB＝，∴，， ∴，， ∴，． 在中，．∵，∴. 设，∴ ，，∴． ∵，，∴，∴． ∵．在和中，∴， ∴，由勾股定理得：， ∴，∴，即 ．故答案为：． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形有判定和性质，勾股定理，旋转的性质，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键． 例7．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）观察猜想： (1)如图1，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为______，数量关系为______； 数学思考：(2)如图2，在中，，，D、E为上两点，且，求证：． 拓展延伸：(3)如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据，，，运用证明，根据全等三角形性质即可得出结论；（2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据定理可得，可得，再在中，利用勾股定理即可得；（3）将绕点顺时针旋转得到，先根据定理可得，从而可得，再以是直角三角形分两种情况：①和②，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：与位置关系是，数量关系是． 理由：在中，，，， ∵绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴，即， 又，∴，∴，， ∴，即 ，故答案为：． （2）证明：如图，把绕点顺时针旋转得到，连接，    则．∴，，．∴， ∵，，∴， 在和中，，∴．∴， 又∵，∴，． （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，    ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴， ∵以、、为边的三角形是直角三角形，∴以、、为边的三角形是直角三角形， ∴是直角三角形，若，且，， ，，，综上，的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 例8.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例9．（23-24八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______． （2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论． （3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）． 【答案】（1）4；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，进而得到，，再利用，即可求出的周长； （2）将绕点A顺时针旋转，旋转角度为的度数，得到，由旋转的性质可知，，，，，利用“”证明，得到，即可证明猜想； （3）在上截取，先证明，得到，，再证明，得到，即可证明猜想． 【详解】解：（1）正方形的边长为2，，，， ，的周长为故答案为：4； （2） 证明：如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角度为的度数，得到， 由旋转的性质可知，，，，， ，，， ，点H、B、F三点共线， 在和中，，， ，； （3）， 理由如下：在上截取， ，，， 在和中，，，，， ，， ， 在和中，，， ，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，线段的和与差，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 1．（2024·福建南平·二模）已知正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握图形的旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由旋转性质可证明，从而；设，则可得，由勾股定理建立方程即可求得x． 【详解】由旋转的性质可得：，，，， 四边形是正方形，，， ，，即，， 在和中，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：解得：故选B． 2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ，， 在和中，，， ， ，即是直角三角形，， ， 即与的面积之和为21，故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 3．（23-24八年级下·广西贺州·期末）如图，已知正方形的边长为6，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】根据旋转的性质可得，，AE=CM=2，、、三点共线，可证得，设，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠DAE=∠DCF=∠DCM=90°，逆时针旋转得到， ，，，AE=CM=2， 、、三点共线，，，， 在和中，，，， 设，，且，，， ，， 在中，由勾股定理得，即，解得：，．答案：5． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握图形的旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，运用截长补短法构造全等三角形是关键． 在上截取，得与全等；再证明与全等，得，设，用表示，在中由勾股定理列出的方程便可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接． ，， ，．，即． 又，． ，．，设， ，，，，， ，，解得，，，故答案为：． 5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有，，，四点，且，以为边作等边，连接，；若，，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】设则把绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得，，，再证明得到，过点作于，如图，由于，则，所以点与点重合，然后在中，利用含度的直角三角形三边的关系以及勾股定理求得，从而得到的长． 【详解】解：设则为等边三角形， ，，， 把绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， 在和中，，，， ，，，过点作于，如图， ，点与点重合，即， 在中，，即，．故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 6．（2024·吉林·二模）已知： 正方形 中，，它的两边分别交， 于点， ， 于点 ， 连结 ， 则下列结论 ① ； ②； ③； ④ 当 时， ，其中结论一定正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；延长至，使．证明，，根据全等三角形的性质进而即可判断①，根据不一定成立，即可判断②；证明，进而得出，，得出，根据等角的余角相等即可判断③，进而根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④，即可求解． 【详解】解：延长至，使． ∵四边形是正方形，，， 在和中，， ∴，，， ，，，， 在和中，，，∴ ∴，故①正确； ∵不一定成立，∴不一定成立，故②不正确； ∵∴， 又∵，∴ ∴，∴∴ 又∵，∴，故③正确； 当 时，∴，∴是等腰直角三角形 ∴由①可得，∴，故④正确故答案为：①③④． 7．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝_____． 【答案】 【分析】将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，即可构建出直角三角形CGH，由勾股定理可求出GH的长度，再证明△FAG≌△GAH即可． 【详解】解：将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合， ∵△ACH由△ABF旋转得到，∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH ∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=45°，∠ACB=45°∴∠HCG=90° 在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH=， ∵∠FAG=45°∴∠BAF+∠GAC=45°∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45° 在△FAG和△GAH中，AF=AH， ∠FAG=∠GAH ，AG=AG ∴△FAG≌△GAH∴FG= GH=故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的旋转，通过旋转后构建出直角三角形和全等三角形是解题的关键，解题的关键是注意旋转是一种全等的变化，旋转前后对应边和对应角相等． 8．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小萌通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小萌把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形． 想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM．… 请你参考上面的想法，帮助小萌证明PA＝PM（一种方法即可）． 【答案】（1）∠AQB＝75°；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）利用想法1证明：如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ＝AM，∠OAC＝∠MAC，等量代换得到∠MAC＝∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论； 利用想法2证明：在BA上取一点N，使得BN＝BP，连接CM；要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM． 【详解】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP＝∠CAQ＝15°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝75°； （2）如图2，利用想法1证明；∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ， ∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC， ∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠PAC＝60°，∴∠PAM＝60°， ∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴PA＝PM． 如图3，利用想法2证明：在BA上取一点N，使得BN＝BP，连接CM； ∵∠B=60°，∴△BPN是等边三角形，∴PN=BP=BN，∠BNP=60°，∴∠ANP=120°． ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠ACB=60°，∴AB−BN=BC−BP，即AN=PC．　 ∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， 在△APB与△AQC中，∴△APB≌△AQC，∴BP=CQ．∴PN=CQ． ∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴CQ＝CM，∠ACM＝∠ACB=60°， ∴PN=CM，∠PCM=∠ACB+∠ACM=120°=∠ANP． 在△ANP与△PCM中，∴△ANP≌△PCM．∴PA=PM． 【点睛】本题考查等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质是解题关键． 9．（2024·辽宁·沈阳八年级阶段练习）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，AN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分点． （1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，求BN的长； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？　 　（直接回答：“是”或“不是”）若是说明理由，当AM＝2，MN＝4，则BN＝　 　． 【答案】（1）或；（2）是，理由见解析； 【分析】(1)分两种情况讨论，根据勾股分割点定义可求BN的长； (2)过点A作AD⊥AB，且AD=BN，由题意可证△ADC≌△BNC，可得CD=CN，∠ACD=∠BCN，可求∠MCD=∠MCN，则可证△MDC≌△MNC，可得MN=DM，根据勾股定理可得BN2+AM2=MN2，则点M，N是线段AB的勾股分割点，将的值代入即可求得的值； 【详解】(1) AM＝3，MN＝5，分两种情况： ①当MN为最大线段时，∵点 M、N是线段AB的勾股分割点， ∴BN=， ②当BN为最大线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点， ∴BN=，综上所述：BN的长为或； (2) 点M，N是线段AB的勾股分割点；理由如下，如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN， ∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，∴△ADC≌△BNC(SAS)，∴CD=CN，∠ACD=∠BCN， ∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，∴∠MCD=∠MCN，且CD=CN，CM=CM， ∴△MDC≌△MNC(SAS)，∴MN=DM，在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2， ∴BN2+AM2=MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点； 当时，故答案为：是， 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：___________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析， 【分析】（1）延长到，使，连接．证明，则，，，证明，得出，由此可得，；（2）思路和作辅助线的方法同（1）； （3）根据（1）的证法，可得出，，那么． 【详解】解：（1）延长至，使，连接， ∵，，，∴， ∴，，∴，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∵，且∴，故答案为：． （）解：（）中的结论仍成立， 证明：如图所示，延长至，使， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，即， 在和中，，∴， ∴，即． （），证明：如图所示，在上截取使，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， 在和中，  ，∴，∴， ∵，且，∴． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形． 11．（23-24八年级上·江西赣州·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 【答案】（1），；（2），证明见解析；；（3），证明见解析； 【分析】（1）先证明是等边三角形，得出再证明，得出，，进而，分别计算Q和L的值，并计算比值即可； （2）延长到E，使，连接，先得出，再证明，得出，，进而得出，再证明，即可得出； （3）在上截取，连接，先证明，得出，，进而得出，再证明，得出，即可得出；先求出，再求出的周长即可得出答案． 【详解】解：（1），；理由如下： ，，是等边三角形，， ，，， 是等边三角形，，， 在和中，， ，，， ，； ，，，，是等边三角形， ，的周长， 等边的周长，； （2），理由如下：如图2，延长到E，使，连接， 是等边三角形，， ，，， ，即， ， 在和中，，，， ，，， ，即， 在和中，，， ，，；根据（1）可得 （3），理由如下：如图3，在上截取，连接， 由（2）知：，， 在和中， ，，， ，， 在和中，，， ，，； ②．如图3，等边的周长为L， ，的周长 ．故答案为． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 12．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为　 　． （2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN的周长． 【答案】（1）4；（2）MN＝NM+DN，理由见解析；（3）6+4 【分析】（1）求出MN＝BM+DN，证明△MNC的周长＝BC+CD即可解决问题； （2）延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，首先证明△ABE≌△ADN，然后证明△MAN≌△MAE，根据全等三角形的性质可得结论；（3）如图3，延长BA，CD交于G，解30度直角三角形求出DG和AG，进而得到BC和CD，然后根据（2）中结论计算即可． 【详解】解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM， ∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN， ∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8， ∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4； （2）结论：MN＝NM+DN．理由：如图2中，延长CB至E，使BE＝DN，连接AE， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE， 在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE， ∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM， 在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN； （3）如图3，延长BA，CD交于G，∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠GAD＝30°， ∵AD＝2，∴DG＝1，AG＝，∵∠DAN＝15°，∴∠GAN＝45°，∴AG＝GN＝， ∴BG＝2+，∴BC＝2BG＝4+2，CG＝BG＝2+3， ∴CD＝CG﹣DG＝2+2，由（2）得，MN＝BM+DN， ∴△CMN的周长＝CM+CN+MN＝CN+DN+CM+BM＝BC+CD＝4+2+2+2＝6+4． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 13．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明）(1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，，∴A与点C重合，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，，∴A与点C重合，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴． 14．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图1，点、别在正方形的边、上，，连接．(1)求证：下面提供解题思路，请填空： 如图2，把绕点顺时针旋转________度至，可使与重合．由，则知、、三点共线，从而可证________从而得． (2)当绕点旋转到如图3的位置时，线段，和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． (3)如图4，四边形不是正方形，但满足，，，且，，，求的长． 【答案】(1)90； (2)线段，和之间的等量关系为：，证明见解析 (3)四边形不是正方形，但满足，，，且，，，求 【分析】（1）把绕点顺时针旋转90度至，可使与重合．由，则知、、三点共线，从而可证，从而得； （2）在上截取，连接，证明，可得，再证明，可得，即可解答；（3）在上取点P，使，连接，证明，可得，，再证明，可得，设，则，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，把绕点顺时针旋转90度至，可使与重合． 此时，，， ∴，∴、、三点共线， ∵，，∴， ∴， ∵，∴，∴，∴；故答案为：90； （2）解：线段，和之间的等量关系为：． 证明：如图，在上截取，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴， ∴，， ∴，∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 即，∴； （3）解：如图，在上取点P，使，连接， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∵，，， 设，则，， 在中，，∴，解得：，即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 15．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点． (1)如果在如图1所示的位置时，写出线段之间的数量关系，并证明你的结论． (2)请问当绕点A旋转到如图2所示的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请说明理由．    【答案】(1)，见解析；(2)，见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．（1）在的延长线上，截取，连接，则可证明，可得到，可证明，可得结论；（2）在上截取，连接，首先证，可得，证，得到，由此求得的数量关系． 【详解】（1）解：在的延长线上，截取，连接，           ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴． （2）解：，理由如下：如图2所示，在上截取，连接， ∵四边形是正方形，∴， 又∵，∴，∴； ∵，∴， ∴，又∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，即． 16．（23-24七年级下·山东济南·期末）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1)；证明见解析(2)，证明见解析(3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法．（1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可；（2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可；（3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【详解】（1）解：，证明：延长到，使， ，， 在和中，，，，， ，，，， 在和中，，，， ，； （2）解：，证明：延长到，使，连接， ，， ，，， ，，， 在和中，，，，， ，，，， ，， 在和中，，，， ，； （3）解：，证明：在上截取，连接， ，，， ，，，， 在和中，，， ，，，， 在和中，，，， ，． 17．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么． 【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接， ，， 在与中， ，，， ， 在与中，， ，，即； （2）线段、、之间的数量关系是，在上截取，连接， ，，，， 在与中，， ， ， 又∵，， 在与中，，， ∵，∴． 【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 18．（2024八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 ． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10 【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，∵， ，，， ∵，， ， 在和中，∵，，， ，；故答案为：． （2）解：结论仍然成立；理由：如图2，延长到点G．使．连接， ，， 在和中，∵，，，， ，，， 在和中，∵，，， ，； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中，， ，，． ，，， ． 在与中，，，， 的周长． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$