专题突破：相似三角形的应用问题（4大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

专题突破：相似三角形的应用问题 常用方法 构造相似三角形：利用已知条件构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解。 题型一 利用相似测量距离 【例1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在河两岸分别有，两村，现测得，，在一条直线上，，，在一条直线上，，米，米， 米，则，两村间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-2】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24九年级下·山东济南·开学考试）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D，测得，则树高 ． 【变式1-5】（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为 ． 【变式1-6】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【变式1-7】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，小亮蹲在地上，小芳站在小亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部、小芳的头顶及小亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，．然后测出两人之间的距离，小芳与楼之间的距离（，，在一条直线上），小芳的身高，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．请帮他们求出住宅楼的高度． 题型二 利用影子、标杆测量物体的高度 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【变式2-1】（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：丈尺，尺寸)，则竹竿的长为(    ) A．四丈 B．五丈 C．四丈五尺 D．五丈四尺 【变式2-2】（2023·广西南宁·模拟预测）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为的直立竹竿的影长是，此时，测得树的影长为，则树高为 ． 【变式2-4】（2024·浙江湖州·模拟预测）土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 【变式2-5】（九年级上·宁夏银川·期中）如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．求出古塔的高度．    【变式2-6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 题型三 利用镜面反射测量物体的高度 【例3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ． 【变式3-2】（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是 m． 【变式3-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度． 【变式3-4】（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 题型四 多次应用三角形相似解决测高问题 【例4】（2024·辽宁·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔O的高度为 ． 【变式4-1】（九年级上·山西太原·阶段练习）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB1.2厘米，托架斜面长BD6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OBOE2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为 cm． 【变式4-2】（23-24九年级上·福建南平·期末）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米． (1)请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． (2)“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【变式4-3】（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    【变式4-4】（陕西宝鸡·一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度． 【变式4-5】（九年级上·全国·专题练习）雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：相似三角形的应用问题 常用方法 构造相似三角形：利用已知条件构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解。 题型一 利用相似测量距离 【例1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出长，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在直角三角形纸板中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在河两岸分别有，两村，现测得，，在一条直线上，，，在一条直线上，，米，米， 米，则，两村间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．由证得，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，即， ∵米，米， 米， ∴， 解得（米）， 故选：D． 【变式1-2】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 由题意可知目标偏离的距离为或，且，根据，得出，得出，即，求出，继而求出即可． 【详解】解：依题意得：由题意可知目标偏离的距离为或，且 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴ 故选：A． 【变式1-4】（23-24九年级下·山东济南·开学考试）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D，测得，则树高 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：和均为直角， ， ， ， ，，， ． 故答案为：8． 【变式1-5】（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， 外径为， ， ． 故答案为：1． 【变式1-6】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 【变式1-7】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，小亮蹲在地上，小芳站在小亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部、小芳的头顶及小亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，．然后测出两人之间的距离，小芳与楼之间的距离（，，在一条直线上），小芳的身高，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．请帮他们求出住宅楼的高度． 【答案】． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答． 过点作，垂足为，交于点，由相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的对应边成比例可得出的长，最后与相加得到的长． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，，，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 答：住宅楼的高度为． 题型二 利用影子、标杆测量物体的高度 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 【变式2-1】（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：丈尺，尺寸)，则竹竿的长为(    ) A．四丈 B．五丈 C．四丈五尺 D．五丈四尺 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，标杆影长五寸尺， ∴， 解得，45尺四丈五尺．即竹竿的长为四丈五尺， 故选C． 【变式2-2】（2023·广西南宁·模拟预测）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴旗杆的高为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为的直立竹竿的影长是，此时，测得树的影长为，则树高为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了相似三角形的运用．熟练掌握相似三角形的对应边成比例，是解答此题的关键． 设这棵树的高度是x米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：设这棵树的高度是x米， 根据题意得：， 解得：； 即这棵树的高度为11米． 故答案为：11． 【变式2-4】（2024·浙江湖州·模拟预测）土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，知，故（尺），即第二时刻的影长为尺． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：尺，尺， ∴（尺）； ∴第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 【变式2-5】（九年级上·宁夏银川·期中）如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．求出古塔的高度．    【答案】米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴，即， 即， ∴（米）， ∴古塔的高度为16.2米． 【变式2-6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 【答案】小明的身高是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点C作交于点M，过点E作交于点N，设小明的身高为米，米，根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：过点C作交于点M，过点E作交于点N， 设小明的身高为米，米，则米，米， 由题意得：，，米， ，， ，， 即， ， 解得， 则，解得： 经检验，是所列分式方程组的解， 答：小明的身高是米． 题型三 利用镜面反射测量物体的高度 【例3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可求解． 【详解】解：依据题意,得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ． 【答案】12.8 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ， 即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 【变式3-2】（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是 m． 【答案】36 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，由反射角等于入射角可知，， 由题意可知，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：36． 【变式3-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式3-4】（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，结合镜面反射角度相等，证明，列出比例式，求解即可． 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴该古城墙的高度是． 题型四 多次应用三角形相似解决测高问题 【例4】（2024·辽宁·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔O的高度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意可得，，证得，，可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ，， ，， ①+②得，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：9． 【变式4-1】（九年级上·山西太原·阶段练习）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB1.2厘米，托架斜面长BD6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OBOE2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为 cm． 【答案】 【分析】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性质求出DT，BT，AD，即可求出GH的长． 【详解】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K． ∵OB=OE=2.5cm，BE=2.4+0.82=4(cm)，OK⊥BE， ∴BK=KE=2(cm)， ∴OK(cm)， ∵∠OBK=∠DBT，∠OKB=∠BTD=90°， ∴△BKO∽△BTD， ∴， ∴， ∴BT=4.8(cm)，DT=3.6(cm)，AT=1.2+4.8=6(cm)， ∴AD=(cm)， ∵DT∥GH， ∴△ATD∽△AHG， ∴， ∴， ∴(cm)． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级上·福建南平·期末）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米． (1)请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． (2)“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】(1) (2)，可多次测量，取测量数据的平均值 【分析】本题考查相似三角形的应用； （1）根据相似三角形的对应边成比例的建立方程，解出长，然后计算即可． （2）根据有理数的减法计算，然后提出减小误差的方法即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 解得， 答：大雁塔的高度 为 米. （2）误差为(米). 减小误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值(合理即可). 【变式4-3】（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    【答案】发现：，理由见详解；探究：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】发现：证明，得到，即可证明； 探究：过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理求出的值，再证明，利用相似比求出的值，即可获得答案． 【详解】解：发现：， 理由如下：连接，如下图，    ∵立杆相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 探究：如下图，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【变式4-4】（陕西宝鸡·一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度． 【答案】8米 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵CD∥EF∥AB， ∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG， ∴，， 又∵CD＝EF，CD=DF ∴ ∵DF＝1.6m，FG＝2m， ∴ 解得，AB＝8． 答：这棵大树的高度是8m． 【变式4-5】（九年级上·全国·专题练习）雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB． 【答案】13.6m． 【分析】由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到，，可得，求得BD＝21m，得到，解得AB＝13.6m，从而求解． 【详解】解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m， ∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m， ∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴，， ∴，即， 解得：BD＝21m， ∴， 解得：AB＝13.6m． 即该校旗杆的高度AB为13.6m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$