第三章 图形的相似（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

第三章 图形的相似（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（  ） A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 2．（本题3分）（九年级上·河北保定·期中）如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D． 3．（本题3分）（九年级上·福建泉州·期末）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A．B．C．D． 4．（本题3分）（九年级上·四川达州·期末）点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），若AB＝2，则BD＝（　　） A． B． C．﹣1 D．3﹣ 5．（本题3分）（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（   ）    A．6 B．3 C．4 D．8 6．（本题3分）（河北·一模）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 7．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 8．（本题3分）（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）（江苏宿迁·一模）如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）（九年级上·四川宜宾·期中）若 ，则的值为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（广东佛山·模拟预测）如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 12．（本题3分）（九年级上·江苏泰州·期末）若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF面积比 ． 13．（本题3分）（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）若，且，则的值为 ． 14．（本题3分）（辽宁大连·一模）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为m，根据题意，可列方程为 ． 15．（本题3分）（九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为 ． 16．（本题3分）（九年级上·全国·单元测试）如图所示，已知点，分别是的边，的中点，，相交于点，，则的长为 ． 17．（本题3分）（九年级·浙江·期中）如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ．    18．（本题3分）（浙江绍兴·模拟预测）如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（九年级·浙江温州·阶段练习）如图，在正方形中，是上的点，且，为的中点． 求证：．    20．（本题6分）（24-25九年级上·全国·单元测试）在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 21．（本题8分）（全国·单元测试）已知：． (1)求代数式式的值； (2)如果，求a，b，c的值． 22．（本题8分）（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 23．（本题9分）（山东潍坊·期末）如图，中，D，E分别是、上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 24．（本题9分）（九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 25．（本题10分）（2024·安徽·三模）如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求的值（用含k的代数式表示）． 26．（本题10分）（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足． (1)如图1，若平分，，，，求的面积； (2)如图2，若，取中点为，连接，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的相似（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（  ） A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 【答案】C 【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比值相等，即，则为成比例线段． 【详解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意； B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意； C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意； D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意； 故选C． 2．（本题3分）（九年级上·河北保定·期中）如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可． 【详解】解： A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA； B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA； C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为，则△ABC∽△DCA； D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当时，不能判断△ABC∽△DCA． 故选择：D． 3．（本题3分）（九年级上·福建泉州·期末）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 4．（本题3分）（九年级上·四川达州·期末）点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），若AB＝2，则BD＝（　　） A． B． C．﹣1 D．3﹣ 【答案】D 【分析】根据黄金分割点的定义和AD>BD得出AD=AB，代入数据即可得出BD的长. 【详解】解：由于D为线段AB=2的黄金分割点， 且AD>BD， 则AD=×2=()cm ∴BD=AB−AD=2−()= 故选D． 5．（本题3分）（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（   ）    A．6 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（本题3分）（河北·一模）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长． 【详解】如图，∵FB∥PA，GD∥PA， ∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA． ∴．   ∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米， ∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米， ∴． ∴AE=5DE， 即8+DE=5DE， 解得：DE=2． 即此时影长为2米． 故选：B． 7．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点A落在点处， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：B． 8．（本题3分）（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．（本题3分）（江苏宿迁·一模）如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解． 【详解】解：设CH与GF交于点M， 正方形， ，， ， ， ， ， 四边形DHMG是矩形， ， ，，正方形的边长是x， ， ， ， 整理得， 故选：D． 10．（本题3分）（九年级上·四川宜宾·期中）若 ，则的值为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】由，得a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f， 所以= =0.5， 故选A. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（广东佛山·模拟预测）如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 【答案】或或 【分析】 由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】 解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 12．（本题3分）（九年级上·江苏泰州·期末）若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF面积比 ． 【答案】1：4 【分析】由题意直接根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行求值即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， 故答案为：1：4 13．（本题3分）（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质进行计算．设，利用比例性质得到，，，所以，求出后得到、、的值，然后计算代数式的值． 【详解】设，则，，． ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14．（本题3分）（辽宁大连·一模）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为m，根据题意，可列方程为 ． 【答案】或 【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，然后根据题意列出方程即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m， 由题意得：， 即， 故答案为：或． 15．（本题3分）（九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据相似三角形性质得到，把，，代入，即得的值． 【详解】∵， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：3． 16．（本题3分）（九年级上·全国·单元测试）如图所示，已知点，分别是的边，的中点，，相交于点，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】利用三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质，即可解决问题． 【详解】解：∵AE＝EC，AF＝FB． ∴EF∥BC，EF＝BC， ∴, ∴FG：GC＝EF：BC＝1：2， ∵FG＝1， ∴GC＝2， ∴FC＝1＋2＝3， 故答案为：3． 17．（本题3分）（九年级·浙江·期中）如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，分两种情况：与对应；与对应，根据相似三角形的性质分别作答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】设运动时间为时，以点，，为顶点的三角形与相似时， 则，，， 与对应，， ∴， 即， ∴； 与对应时，， ∴， 即， ∴， ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或， 故答案为：或． 18．（本题3分）（浙江绍兴·模拟预测）如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点． 【详解】解：∵平面直角坐标系中有正方形和正方形，点和点的坐标分别为，， ∴，，， （1）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 如图所示：连接，交轴于点， 点即为两个正方形的位似中心， 设所在直线解析式为：，把，代入得： 故， 解得：， 故； 当时，即，解得，即点坐标为，， 两个正方形的位似中心的坐标是：，． （2）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 如图所示：连接，，，并延长交于点， 设所在直线解析式为：，把，代入得： 故， 解得：， 故； 设所在直线解析式为：，把，代入得： ， 故， 联立直线BH、AG得方程组： ， 解得：， 故， 综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或． 故答案为：，或． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（九年级·浙江温州·阶段练习）如图，在正方形中，是上的点，且，为的中点． 求证：．    【答案】答案见解析 【分析】根据，为的中点，可以得出，即可求证． 【详解】证明：，为的中点， ， 又， ． 20．（本题6分）（24-25九年级上·全国·单元测试）在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置； （2）利用所画图形得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）解：的各顶点坐标分别为：，，． 21．（本题8分）（全国·单元测试）已知：． (1)求代数式式的值； (2)如果，求a，b，c的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解一元一次方程，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，代入化简即可； （2）设，代入求出k的值，进而可求出a，b，c的值． 【详解】（1）∵， ∴设，代入，得 ； （2）∵， ∴设，代入，得 ， 解得， ∴． 22．（本题8分）（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【答案】12.8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得的长度即可． 【详解】如图所示，设线段与线段交于点G． ∵， ∴，四边形、是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 答：醒狮雕塑的高度为． 23．（本题9分）（山东潍坊·期末）如图，中，D，E分别是、上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】（1）由，可得出，结合可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可得出及，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出，再利用相似三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 24．（本题9分）（九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）由平行线的性质得到，再由相似三角形的判定定理证明即可； （2）先得到，再证明，据此根据相似三角形对应边成比例进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（本题10分）（2024·安徽·三模）如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明，可得，证明，可得； （2）证明，，，可得，证明，可得，即可得到结论； （3）连接交于点G．证明为的垂直平分线，，，可得，求解，可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，M为的中点， ∴， ∴ 又，， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （3）解：连接交于点G． ∵， ∴， ∴ 又， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∵，， ∴， ∴，即． 26．（本题10分）（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足． (1)如图1，若平分，，，，求的面积； (2)如图2，若，取中点为，连接，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，得到，由等角的余角相等推出，进而得到，设，，在中与，在中，利用勾股定理求出，，即得到，，由计算即可求解； （2）如图，倍长至点，连接，由（1）得，证明，推出，进而得到，再证明为等腰直角三角形，求出，证明为的中位线，推出，即可证明结论； （3）过点B作，使得，连接，交于点Q，连接，证明，得到，当三点共线时，即点D与点Q重合，有最小值，即有最小值，由，得到，再证明，易证，推出，推出，求出，在求出，，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图， 设，， 在中，， ， 在中，， ， ，即，， ； （2）解：，证明如下： 如图，倍长至点，连接， 由（1）得， ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 中点为，点G为中点， 为的中位线， ， ， ； （3）解：如图，过点B作，使得，连接，交于点Q，连接， ，， ， ， ， ， ，即， 如图，当三点共线时，即点D与点Q重合，有最小值，即有最小值， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$