专题03 相似三角形（期末复习讲义）九年级数学上学期湘教版

该初中数学相似三角形期末复习讲义通过表格梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点细化比例线段、相似三角形判定与性质等位似内容，结合易错点提示构建知识脉络，体现几何直观与空间观念的培养。 讲义亮点在于分层练习设计，动态几何与相似题型引导学生用数学思维建立方程，位似与坐标系结合提升运算能力，例题变式覆盖不同难度，助力学生发展推理意识，教师可据此实施精准复习教学。

专题03 相似三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平行线分线段成比例 1. 能运用平行线截得的比例线段解题。 2. 会构造平行线转化比例关系。 1. 常出现在综合题中（30%），与相似三角形结合考查。 2. 易错点：比例线段对应错误（如AD/DB≠AE/EC）。 相似三角形的性质 1. 理解对应边成比例、对应角相等。 2. 掌握相似比与面积比的关系（面积比=相似比的平方）。 1. 常与几何计算结合（如求线段长度或面积）。 2. 易错点：忽略相似比的顺序（如△ABC∽△DEF时，AB/DE=BC/EF）。 相似三角形的判定 1. 掌握五种判定方法（AA、SAS、SSS、HL、平行线截比例）。 2. 能根据图形特征选择最优判定方法。 1. 高频考点（80%概率出现），常以选择题、证明题形式考查。 2. 易错点：混淆判定条件（如误用SSA）。 相似三角形的实际应用 1. 解决测量问题（如影长测高、镜面反射）。 2. 建立相似模型解决工程或比例问题。 1. 压轴题常见（10%），侧重数学建模能力。 2. 易错点：单位不统一或实际意义忽略（如高度为负值）。 位似图形与位似变换 1. 理解位似的定义（形状相同、对应点连线交于一点）。 2. 能根据位似比作图或计算坐标。 1. 选择题或作图题（20%），中考偶有考查。 2. 易错点：位似中心位置判断错误（如内外位似混淆）。 知识点01 比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 示例：已知线段a=2cm，b=4cm，c=3cm，d=6cm，验证是否成比例： ∵ a/b=2/4=1/2，c/d=3/6=1/2 ∴ a/b=c/d 易错点：混淆比例顺序（如a/b≠b/a）或单位不统一时直接比较。 知识点02 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 示例：如图，若DE∥BC，则有 易错点：对应线段写错（如误用AD/AB=AE/AC）。 知识点3 相似图形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点4 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 示例：判定△ABC∽△DEF： ① 若∠A=∠D且∠B=∠E（AA） ② 若AB/DE=AC/DF且∠A=∠D（SAS） ③ 若AB/DE=BC/EF=AC/DF（SSS） △ABC∽△DEF，相似比k=2，AB=6，则DE=3； 面积比为k²=4，若S△ABC=16，则S△DEF=4 易错点：误用SSA判定或忽略角相等条件。混淆相似比与面积比（面积比是k²，非k）。 知识点5 位似 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 示例：以O为位似中心，将△ABC放大2倍： 连接OA、OB、OC并延长至A'、B'、C'，使OA'/OA=2，OB'/OB=2，OC'/OC=2 易错点：位似中心位置判断错误（内外位似混淆）或缩放方向画反。 题型一 平行线分线段成比例综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 当题目中出现平行线与三角形或多边形相交时，优先考虑平行线分线段成比例定理（基本定理或推论）。 怎么做？ 标注已知比例线段，确定对应关系。 若需构造辅助线，通常过关键点作平行线。 列比例式时，确保分子分母对应同一组平行线截得的线段。 易｜错｜点｜拨 错误比例对应：如误用 AD/AB = AE/AC（正确应为 AD/DB = AE/EC）。 忽略分类讨论：当图形未明确平行线位置时，需考虑多解可能。 【典例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】 ， 即 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活应用定理，找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·江西·期末）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    【答案】 【分析】本题主要考查解平行线分线段成比例，掌平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据，是的中点，得到，再证，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，是的中点， ， ， ， ． 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型二 相似三角形判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 判定相似：优先选择AA（两角相等），其次SAS（两边成比例且夹角相等）。 性质应用：相似比=对应边之比，面积比=相似比的平方。 怎么做？ 通过角度或边长关系证明相似。 利用相似比转化线段长度或面积。 易｜错｜点｜拨 误用SSA判定：未验证夹角相等导致错误。 相似比顺序错误：如△ABC∽△DEF时，误认为 AB/DE = BC/DF（需对应边一致）。 【典例1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据得到和，根据相似三角形的性质得到，由于D为边的四等分点，可证得，根据三角形的面积公式证得，再次利用相似三角形的性质得到，据此进行计算四边形的面积即可． 【详解】解：连接， 、 ，即 、 、 ． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【答案】（1）理由见解析；（2）①；② 【分析】（1）由矩形的性质可证，得到，由旋转的性质可得，即得，即得到，即可得四边形是平行四边形，得到，即可求证； （2）①连接，由勾股定理得，由旋转得，，进而可得，即得，再根据直角三角形的性质即可求解；②过点A作于E，于H，设与相交于点F，由三角形的面积可得，进而由勾股定理得，得，再由旋转和等腰三角形的性质可得，即得，得到，即得到，，即可得，得，得到，由三线合一得，即得到，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）①如图，连接， ∵，，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵点是的中点， ∴； ②如图，过点作于，于，设与相交于点，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为4． 【变式3】（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】（1），，（2）①   ②见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 可推出结论； （2）①证明 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；②由①知 ，得出．再结合（1），即可推出结论． 【详解】【观察发现】（1）解：嘉嘉得出，理由如下： ， ． ， ， ， ． 又， ． ， ． 故答案为：，，； 【探究应用】（2）①解：，， ， ； ②证明：由①知 ， ， ． 由（1）得， ， ． 题型三 位似变换与坐标系 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 位似图形需满足：对应点连线交于一点（位似中心），且对应边平行。 坐标系中位似：以原点为中心时，缩放后坐标按比例变化（k>0同侧，k<0异侧）。 怎么做？ 确定位似中心和比例k。 根据k值缩放图形或计算坐标。 易｜错｜点｜拨 内外位似混淆：未区分同侧放大（k>0）与异侧缩小（k<0）。 忽略负比例：k=-1时，图形关于位似中心对称，坐标需变号。 【典例1】（24-25八年级下·广西百色·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、含有角的直角三角形以及勾股定理，过点作轴于点，求即可． 【详解】解：过点作轴于点 四边形是菱形 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 【变式2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，，直线经过点且垂直于轴． (1)画出直线； (2)画出关于对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见详解 (2)画图见详解， (3) 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换，根据坐标求三角形面积，找好对应的坐标是解体的关键． （1）根据题意直线经过点且垂直于轴画出直线即可； （2）先根据轴对称的性质，指出对应点，再依次连接即可，根据所找的点可以得出点的坐标； （3）用矩形的面积减去三个小三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图． （2）解：如图，点的坐标． （3）解：． 题型四 动态几何与相似 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 动点问题中，相似三角形常用于转化比例关系。 怎么做？ 设时间为t，表示动点位置及线段长度。 利用相似比建立方程，注意t的范围限制。 易｜错｜点｜拨 忽略几何约束：如三角形两边和大于第三边，需检验解的合理性。 漏解：未考虑多解情况（如点P在两侧位置不同）。 【典例1】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．设再经过t秒与相似，分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设再经过t秒与相似， 根据题意得：， ∴， ∵， 当时，， 此时， 解得：； 当时，， 此时， 解得：； 综上所述，再经过或秒与相似． 故答案为：或 【典例2】（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 【答案】或 【分析】本题是相似三角形动点问题，相似三角形的性质．先由，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，用t表示出的长，再由时，，时，，分别得出及，最后求解即可； 【详解】解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动， ， ∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动， ， 若时，，即， 整理得：， 解得：， 则当时，与相似； 若时，，即， 解得：， 则当时，与相似； 综上所述：当秒或秒时，与相似， 故答案为：或． 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，．动点D以的速度从点B出发向点C运动，动点E从点C出发向点A运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．若点D，E同时出发，求当与相似时，点E的运动速度． 【答案】或或 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是分类讨论． 在中，，，，勾股定理求出，设两点的运动时间是，根据题意，分为当时，当时和当时求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设两点的运动时间是， 根据题意得，，，，， 当时， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时， 则，， ∵， ∴． ∴， ∴，， 解得：， ∴； 综上，或或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9， 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东·期末）若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，运用设参法，解题关键是准确应用比例性质设参，易错点是设参后计算或比例变形失误，解题思路是通过设，（）代入各选项分析． 【详解】解：∵， ∴设 ，（）． A．，不成立； B．，成立； C．，不成立； D．（当 时），且当 时分式无意义，不成立； 故选：B． 3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 5．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论． 【详解】证明：等腰中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级下·山东·期末）如图，中，，，的平分线交于E、交于F，下列结论中错误的是 （    ） A． B．是等腰三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，根据同角的余角相等，有两组对应角相等的两个三角形相似，等角对等边，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵的平分线交于E、交于F， ∴， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形；故选项B正确，不符合题意； 无法得到；故选项C错误，符合题意； 故选C． 2．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出，设，则，，据此计算即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解“相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比”是解题关键．根据面积比，可得相似比为，周长比也为，然后分为较小三角形的周长和为较大三角形的周长两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设相似比为，则面积比为， 解得（负值舍去），即周长比也为， 若为较小三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 若为较大三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 综上所述，另一个三角形的周长是或． 4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】(1)15 (2)米，图见解析 (3)还需要测出线段（或线段）的长度． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，灵活运用相似三角形解决实际问题是解题的关键 （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知的长，则只需要求出的长即可，再可证明，得到，则只需要知道的长即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，即，解得：米． ∴利用方案A测得旗杆的高度为15米； （2）解：补全测量示意图如下所示，过点C作， ， 又， ， ， ，， ， ∴， ，即，解得：米， ∴旗杆的高度为15米． （3）解：如图所示，根据题意可知的长， ∵ ∴， ∴，则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵ ， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵ ， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 5．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，，垂足分别为H，G，I，构造，，，由等腰三角形和相似三角形对应边成比例得出，，以及，再由勾股定理求出和关于的表达式，通过比较建立关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，作，，，垂足分别为H，G，I， ，， ， 又 ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ，，， ， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平行线分线段成比例 1. 能运用平行线截得的比例线段解题。 2. 会构造平行线转化比例关系。 1. 常出现在综合题中（30%），与相似三角形结合考查。 2. 易错点：比例线段对应错误（如AD/DB≠AE/EC）。 相似三角形的性质 1. 理解对应边成比例、对应角相等。 2. 掌握相似比与面积比的关系（面积比=相似比的平方）。 1. 常与几何计算结合（如求线段长度或面积）。 2. 易错点：忽略相似比的顺序（如△ABC∽△DEF时，AB/DE=BC/EF）。 相似三角形的判定 1. 掌握五种判定方法（AA、SAS、SSS、HL、平行线截比例）。 2. 能根据图形特征选择最优判定方法。 1. 高频考点（80%概率出现），常以选择题、证明题形式考查。 2. 易错点：混淆判定条件（如误用SSA）。 相似三角形的实际应用 1. 解决测量问题（如影长测高、镜面反射）。 2. 建立相似模型解决工程或比例问题。 1. 压轴题常见（10%），侧重数学建模能力。 2. 易错点：单位不统一或实际意义忽略（如高度为负值）。 位似图形与位似变换 1. 理解位似的定义（形状相同、对应点连线交于一点）。 2. 能根据位似比作图或计算坐标。 1. 选择题或作图题（20%），中考偶有考查。 2. 易错点：位似中心位置判断错误（如内外位似混淆）。 知识点01 比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 示例：已知线段a=2cm，b=4cm，c=3cm，d=6cm，验证是否成比例： ∵ a/b=2/4=1/2，c/d=3/6=1/2 ∴ a/b=c/d 易错点：混淆比例顺序（如a/b≠b/a）或单位不统一时直接比较。 知识点02 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 示例：如图，若DE∥BC，则有 易错点：对应线段写错（如误用AD/AB=AE/AC）。 知识点3 相似图形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点4 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 示例：判定△ABC∽△DEF： ① 若∠A=∠D且∠B=∠E（AA） ② 若AB/DE=AC/DF且∠A=∠D（SAS） ③ 若AB/DE=BC/EF=AC/DF（SSS） △ABC∽△DEF，相似比k=2，AB=6，则DE=3； 面积比为k²=4，若S△ABC=16，则S△DEF=4 易错点：误用SSA判定或忽略角相等条件。混淆相似比与面积比（面积比是k²，非k）。 知识点5 位似 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 示例：以O为位似中心，将△ABC放大2倍： 连接OA、OB、OC并延长至A'、B'、C'，使OA'/OA=2，OB'/OB=2，OC'/OC=2 易错点：位似中心位置判断错误（内外位似混淆）或缩放方向画反。 题型一 平行线分线段成比例综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 当题目中出现平行线与三角形或多边形相交时，优先考虑平行线分线段成比例定理（基本定理或推论）。 怎么做？ 标注已知比例线段，确定对应关系。 若需构造辅助线，通常过关键点作平行线。 列比例式时，确保分子分母对应同一组平行线截得的线段。 易｜错｜点｜拨 错误比例对应：如误用 AD/AB = AE/AC（正确应为 AD/DB = AE/EC）。 忽略分类讨论：当图形未明确平行线位置时，需考虑多解可能。 【典例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【变式2】（25-26九年级上·江西·期末）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 题型二 相似三角形判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 判定相似：优先选择AA（两角相等），其次SAS（两边成比例且夹角相等）。 性质应用：相似比=对应边之比，面积比=相似比的平方。 怎么做？ 通过角度或边长关系证明相似。 利用相似比转化线段长度或面积。 易｜错｜点｜拨 误用SSA判定：未验证夹角相等导致错误。 相似比顺序错误：如△ABC∽△DEF时，误认为 AB/DE = BC/DF（需对应边一致）。 【典例1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 题型三 位似变换与坐标系 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 位似图形需满足：对应点连线交于一点（位似中心），且对应边平行。 坐标系中位似：以原点为中心时，缩放后坐标按比例变化（k>0同侧，k<0异侧）。 怎么做？ 确定位似中心和比例k。 根据k值缩放图形或计算坐标。 易｜错｜点｜拨 内外位似混淆：未区分同侧放大（k>0）与异侧缩小（k<0）。 忽略负比例：k=-1时，图形关于位似中心对称，坐标需变号。 【典例1】（24-25八年级下·广西百色·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，，直线经过点且垂直于轴． (1)画出直线； (2)画出关于对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 题型四 动态几何与相似 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 动点问题中，相似三角形常用于转化比例关系。 怎么做？ 设时间为t，表示动点位置及线段长度。 利用相似比建立方程，注意t的范围限制。 易｜错｜点｜拨 忽略几何约束：如三角形两边和大于第三边，需检验解的合理性。 漏解：未考虑多解情况（如点P在两侧位置不同）。 【典例1】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 【典例2】（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，．动点D以的速度从点B出发向点C运动，动点E从点C出发向点A运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．若点D，E同时出发，求当与相似时，点E的运动速度． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 2．（23-24八年级下·山东·期末）若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 5．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级下·山东·期末）如图，中，，，的平分线交于E、交于F，下列结论中错误的是 （    ） A． B．是等腰三角形 C． D． 2．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ． 4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为 ． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 5．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $