期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、循环周期问题 1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，…，请你推算的个位数字是（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 2．现有一列数，其中，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（   ） A．1989 B． C．2055 D． 3．将一列有理数，2，，4，，6，…如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数______，在A、B、C、D、E中的______位置．    A．30，A B．，B C．，C D．28，B 4．一列有理数按照以下规律排列： …… 根据以上你发现的规律，请问第2024个数是 ． 5．将一列有理数，2，，4，，如图所示有序排列，4所在位置为峰1，所在位置为峰2…． （1）处在峰5位置的有理数是 ； （2）2024应排在A，B，C，D，E中 的位置上． 6．将一串有理数按以下列规律排列，则第2023个数排在对应于A，B，C，D中的 字母位置（填字母）． 类型二、阴影部分面积 1．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，若图1中阴影部分周长与图2中阴影部分的周长之差已知，则能求出哪条线段的长（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．如图，大小两个正方形的边长分别是4和3，叠放在一起后两个阴影部分的面积分别为，则的值为（　　） A．2 B．7 C．14 D．25 3．将图（1）中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号、5号五个正方形和6号长方形，将它们拼在周长为150的长方形图（2）中，若图（1）的大长方形周长为96，则图（2）阴影部分的周长为 ． 4．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 5．如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3．    (1)求小长方形的长（用含的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形与阴影图形的周长之和，若能，请求出来，若不能，请说明理由． 6．两个边长分别为a和b的正方形按如图1放置，记未叠合部分（阴影）的面积为．在图1大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），记两个小正方形叠合部分（阴影）的面积． (1)用含a，b的代数式分别表示，． (2)若，，求的值． (3)若，求图3中阴影部分的面积． 类型三、收费问题 1．某市出租车的收费标准如下（不足1千米按1千米计算）： 里程 收费 3千米及3千米以内 元 3千米以上，单程，每增加1千米 元 3千米以上，往返，每增加1千米 元 (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即回到学校，他怎样坐车比较合算？算一算需付多少元出租车费． 2．为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ (4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议． 3．某市对出租车运价进行调整，下表是调价前与调价后运价的收费标准的对照表： 调价前 调价后 车起步价 车行程在2千米以内（含2千米）收7元 车行程在1千米以内（含1千米）收3元 车行程1~1.5千米（含1.5千米）收4元 车行程1.5~2.0千米（含2.0千米）收5元 车千米价 车行程超过2千米后，每增加1千米加收1.6元 车行程超过2千米后，每增加1千米加收1.5元 根据上表提供的信息，解决如下问题： (1)如果某乘客乘出租车行驶了20千米的路程，那么调价前和调价后应付费多少元？调价后的收费标准对顾客是否有利？ (2)按调价后的收费标准收费，如果乘出租车行驶的路程为千米，应付费为元，请写出乘坐出租车的付费情况； (3)某人乘坐出租车到千米远的某地办事，去时从原地一次乘车到目的地；回时，分千米、千米两次乘车回到原地．按调价后的收费标准，去时与回时乘车方式的付费相比较，哪一种更省钱？请说明理由． 4．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实施阶梯水价：如果每月用水不超过8吨，按每吨元收费；如果每月用水量超过8吨，则超出部分按每吨元收费，设每月用水量为x吨． (1)当每月用水量不超过8吨时，用含x的代数式表示用水费用为 _______元； (2)当每月用水超过8吨时，需交水费多少元？（用含x的代数式表示） (3)若小红家8月份用水12吨，则需交水费多少元？ 5．徐州某商业区停车场24小时营业．24小时内小型车收费上限为60元其收费方式如下表所示： 停车时间段 2小时内收费（含2小时） 超过2小时后收费 7：30-19：30 2元/半小时 3元/半小时 最高不超过45元/次·车位 19：30-次日7：30 1元/半小时 最高不超过15元/次·车 不足半小时，按半小时收费；跨时段停车按上述标准分时段累计收费． 小李自驾一辆小型车去该商业区，需将车停在该停车场． (1)若停车2小时，则应付停车费______元； (2)若在7：30-19：30之间停车小时，请计算应付停车费多少元； (3)小李在10：30进场停车，停了小时后离场，为整数．若小李驾车离场时间介于当日的19：30~24：00间，则小李此次停车的费用为多少元？ 6．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注：水费按一个月结算一次）：请根据价目表的内容解答下列问题： 每月用水量（m3） 单价（元/m3） 不超出26m3的部分 3 超出26m3不超出34m3的部分 4 超出34m3的部分 7 (1)填空：若该户居民1月份用水20立方米，则应收水费 　　元；若该户2月份用水30立方米，则应收水费 　　元； (2)若该户居民3月份用水x立方米（其中），则应收水费多少元？（结果用含x的代数式表示） (3)若该户居民3月份用水a立方米（其中），则应收水费多少元？（结果用含a的代数式表示） 类型四、销售打折问题 1．某商店的促销方式如下： 一次性所购物品的原价 优惠办法 不超过200元 没有优惠 超过200元，但不超过600元 200元部分没有优惠，超过200元部分打九折优惠 超过600元 所购物品可以协商打折优惠，但不低于七五折 (1)小张一次性所购物品的原价为500元，他实际付款__________元； (2)老王和小赵一起前往该商店购物，两人所购的物品各自付款需180元和425元，两人合在一起后共付款504元，问商店给他们打了几折？ 2．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价35元，且利润为进价的；乙种商品每件进价30元，进价比售价少． (1)求每件甲种商品的进价及每件乙种商品的售价分别是多少元？ (2)该商场购进甲、乙两种商品共100件，且乙种商品比甲种商品少，若全部卖出，求该商场的利润是多少元？ (3)在元旦期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价一律打九折 超过400元 售价一律打八折 按上述优惠条件，若小李第一天只购买甲种商品一次性付款210元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款360元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 3．每到秋冬季节，南方的热带水果纷纷成熟，受益于现代物流产业和保鲜技术的发达，过去在内地难得一见的热带水果也都进入了我们的超市中，某水果超市最近新进了一批新鲜荔枝，每斤元．为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周荔枝的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格(元) 售出斤数 (1)这一周超市售出的荔枝单价最高的是星期_________． (2)这一周超市出售此种荔枝的收益如何？(盈利或亏损的钱数) (3)超市为了促销这种荔枝，决定从下周一起推出两种促销方式； 方式一：购买不超过斤荔枝，每斤元，超出斤的部分，每斤打折； 方式二：每斤售价元． ①顾客买斤荔枝，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元(请用含的代数式表示) ②如果某顾客决定买斤荔枝，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 4．某种墨水笔的批发价为1.5元/支．开学季，文具批发店推出两种优惠活动（一次只能参加一种优惠活动）如下： 活动一：满减活动：购物金额满99元减10元；满199元减25元；满299元减60元； 活动二：打折活动：若一次购买100支以上，全部打8折． 某文具店老板批发了n支此款墨水笔． (1)若，用代数式表示在两种优惠活动下文具店老板需要支付的费用； (2)使用活动二批发此款墨水笔，会不会出现多买比少买花钱少的情况？说明理由． 5．某校为提升生态环境质量，面向全市招募绿化养护公司，已知A、B两家公司每月每平方米绿化养护费用均为10元，且各自推出了如下收费方案： 公司A：每月每平方米绿化养护费用均打八折； 公司B：每月绿化面积在200平方米以内（含200平方米）不打折，超过200平方米的部分每月每平方米打六折． 设该校每月绿化面积为x平方米． (1)请用含x的式子分别表示选择A、B两家公司每月所需的绿化养护费用； (2)如果该校目前每月的绿化面积是600平方米，请通过计算说明选择哪家公司比较合算 6．旭东中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格(元) 售出斤数 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期 ___________； (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？(盈利或亏损的钱数)； (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过斤百香果，每斤元，超出斤的部分，每斤打折； 方式二：每斤售价元． ①顾客买)斤百香果，则按照方式一购买需要 元，按照方式二购买需要 元； ②于老师决定买斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 类型五、数轴中的点重合问题 1．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 2．综合与探究： 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合； ②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____． (3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒． ①当时，求甲、乙两个小球之间的距离； ②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 3．折叠纸面，若在数轴上 表示的点与 表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上 表示的点与 表示的点重合． (2)若数轴上 、两点间的距离为在 的左侧)，且 、两点经折叠后重合，求 、 两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为 的正方形有一顶点 落在数轴上表示 的点处，将正方形在数轴上，向右滚动(无滑动)，正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动 次后，数轴上表示点 的数与折叠后的哪个数重合？    4．折叠数轴，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：    (1)数轴上9表示的点与　 　表示的点重合． (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？ 5．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系， 形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示数的点与表示数 的点重合，表示数的点与表示数 （用含a 的式子表示）的点重合； (2)操作2：在计算满足的x的值时，也可以通过折叠数轴的方法来解决：先在数轴上取表示的点，然后沿着该点折叠数轴，最后找到距离该点3个单位长度的点，读取数据得 ；利用该方法求出满足的x的取值范围为 ； (3)操作3：在数轴上A 、B 两点对应的数分别为、20，数轴上一点C 对应的数为x，数 轴上一点D 与点C 始终保持18个单位长度（点D 位于点C 的左侧）．折叠数轴，使得 C、D 重合，且折叠后A 、B 两点之间的距离为10，求出x 的值． 6．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 类型六、数轴中的最值问题 1．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 2．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 3．点在数轴上所对应的数分别是，其中满足． (1)求的值． (2)数轴上有一点，使得，求点所对应的数． (3)点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出的最小值是______；的最小值是______；取最小值时，点对应的数的取值范围是______． 4．阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，； 当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 5．数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 6．表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看做，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)在数轴上，有理数5与所对应的两点之间的距离为________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数，使得，则________； (3)利用数轴分析，若为整数，，则满足条件的所有的值的和为_______； (4)若为有理数，则的最小值为_______． 类型七、代数式的新定义 1．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 2．年月日，神舟十五号载人飞船成功返回地球，结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出一个新定义：、的两个整式，如果，那么叫做的“神舟式”． (1)若，，当时，求、的值，请你判断此时是否为的“神舟式”，并说明理由； (2)若，是的“神舟式”，求整式． 3．定义：对于依次排列的多项式、、、（a、b、c、d是常数），当它们满足，且是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如，对于多项式、、、来说，因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是这组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子______； (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值及该组平衡数的平衡因子； (3)当a、b、c、之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平衡数，请说明理由． 4．阅读材料：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： 下列两位数，，中，是“迥异数”的为______； 计算 ______． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 5．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 6．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 类型八、方案问题 1．某商店1月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案． 方案1： 若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折优惠； 方案2： 用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折优惠． 已知小明1月1日前不是该商店的会员，在促销期间，他购买商品价格为x元． (1)请分别用含x的代数式表示两种购买方案下小明应该支付的费用； (2)若小明购买商品价格为元，你认为选择哪种购买方案较为合算？说明理由． 2．某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 3．某校组织学生到井冈山革命博物馆研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时、旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费320元． 方案二：5人免费，其余每人收费打九折 (1)当参加研学的总人数是时，请用含x的式子表示： ①用方案一共收费 ___________元． ②用方案二共收费 ___________元． (2)当参加旅游的总人数是80时，采用哪种方案省钱？请判断并说明理由． 4．云南成为全国首个“吃螃蟹”的省份，将中考体育从50分提升到100分，某校为适应新的中考要求，决定在网上订购一批某品牌排球和跳绳．在京东商城发现排球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个排球送一条跳绳；B网店：排球和跳绳都按定价的9折付款．已知要购买排球60个，跳绳a条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含a的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元（用含a的代数式表示）； (2)若时，通过计算比较此时在哪家网店购买省钱？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 5．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 6．如图，一块原边长分别为的矩形，现将原矩形一边增加1，另一边减少1，变化后的面积为或． (1)______，______，______；（用含的式子表示） (2)当时，变化后的面积会______；（增加或减少） (3)当时，有两种方案，第一种方案如图2，第二种方案如图3．请你比较这两种方案，确定哪一种方案变化后的面积比较大． 类型九、代数式的规律 1．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 2．如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 3．已知有下列两个代数式：①；②． (1)当时，代数式①的值是____________；代数式②的值是____________． (2)当时，代数式①的值是____________；代数式②的值是____________． (3)观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为___________． (4)利用你发现的规律，求的值． 4．，，，， (1)第5个式子是_____；第个式子是_____； (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）：． 5．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； 按照以上的规律，解决下列问题： (1)写出第等式：__________； (2)直接写出你猜想的第个等式，并证明该等式（用含字母的式子表示等式）． 6．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 4 … … 7 4 1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______；______． (2)【归纳规律】表中值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3；类似地，值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______． (3)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 类型十、数轴动点求t 1．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 2．【阅读理解】 若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是的“妙点”．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的“妙点”.又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的“妙点”，但点D是的“妙点”． 【知识应用】 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． (1)数3 (填“是”或“不是”）的“妙点”，数2 (填“是”或“不是”） 的“妙点”. (2)若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是的妙点，求x的值. (3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案） 3．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 4．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 5．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足． (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 6．如图，在数轴上点表示数，点示数， 点表示数， 的相反数是，且满足．    (1) ； ； ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、循环周期问题 1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，…，请你推算的个位数字是（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环性得出个位数字每四个数循环一次，根据尾数的循环得出结论是解题的关键． 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 2．现有一列数，其中，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（   ） A．1989 B． C．2055 D． 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列发现这列数按，，2024循环出现是解题的关键．根据任意相邻三个数的和为同一个常数可得出，，，，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为这列数中任意相邻三个数的和为同一个常数， 所以， 则，，， 又因为，，， 所以，，， 那么这列数按，，2024循环出现． 又因为余1， 所以． 则． 故选：B． 3．将一列有理数，2，，4，，6，…如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数______，在A、B、C、D、E中的______位置．    A．30，A B．，B C．，C D．28，B 【答案】B 【分析】观察题中数列的规律：峰n中，A位置的绝对值可以表示为：；B位置的绝对值可以表示为：；C位置（峰顶）的绝对值可以表示为：；D位置的绝对值可以表示为：；E位置的绝对值可以表示为：，进而即可求解． 【详解】观察发现：峰n中，A位置的绝对值可以表示为：； B位置的绝对值可以表示为：； C位置（峰顶）的绝对值可以表示为：； D位置的绝对值可以表示为：； E位置的绝对值可以表示为：； “峰6”，即，代入，此时峰顶的位置的绝对值为：； 由奇数峰峰顶的位置为正，偶数峰峰顶的位置为负，可确定“峰6”中峰顶的位置的有理数是； ∵， 又∵， ∴应排在B的位置． 故选B． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律问题，熟练掌握数字在峰图形中的分布规律，观察出每个峰图形中有几个数，是解题的关键． 4．一列有理数按照以下规律排列： …… 根据以上你发现的规律，请问第2024个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究；观察数据，发现发现从第1个数开始进行，三次一循环，进而即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， …… 发现从第1个数开始进行，三次一循环， ∵ ∴ 故答案为：． 5．将一列有理数，2，，4，，如图所示有序排列，4所在位置为峰1，所在位置为峰2…． （1）处在峰5位置的有理数是 ； （2）2024应排在A，B，C，D，E中 的位置上． 【答案】 24 C 【分析】此题主要考查数列的规律探索，认真观察数列的规律，并熟练运用常见的数列表示方法是解题的关键． 观察题中数列的规律：奇数前面是负号，偶数前面是正号，峰中，位置的绝对值可以表示为：；位置的绝对值可以表示为：；位置的绝对值可以表示为：；位置的绝对值可以表示为：；位置的绝对值可以表示为：；注意先判断绝对值的位置再判断符号，根据规律求解即可． 【详解】解：（1）观察发现：峰中，位置的绝对值可以表示为：； 位置的绝对值可以表示为：； 位置（峰顶）的绝对值可以表示为：； 位置的绝对值可以表示为：； 位置的绝对值可以表示为：； 处在峰5位置的有理数是； （2）根据规律，， 应排在的位置． 故答案为：（1）24；（2）． 6．将一串有理数按以下列规律排列，则第2023个数排在对应于A，B，C，D中的 字母位置（填字母）． 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据有理数的排列规律发现第2023个数的位置与第3个数的位置一样是解题的关键．观察有理数的排列顺序，将从开始的连续四个有理数看成一组即可解决问题． 【详解】解∶将从开始的连续四个有理数看成一组，且， 所以第2023个数所在位置与第3个数所在位置相同，而第四个数为，位于D位置，所以第2023个数也位于D位置， 故答案：D． 类型二、阴影部分面积 1．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，若图1中阴影部分周长与图2中阴影部分的周长之差已知，则能求出哪条线段的长（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．根据图示，分别求出图1中阴影部分周长与图2中阴影部分周长，然后计算它们的差即可求解． 【详解】解：由题意知，， 图1中阴影部分周长为 ， 图2中阴影部分为 ∴图1中阴影部分周长与图2中阴影部分周长为 ， 故选：C． 2．如图，大小两个正方形的边长分别是4和3，叠放在一起后两个阴影部分的面积分别为，则的值为（　　） A．2 B．7 C．14 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，根据图形得出空白面积（空白面积）大正方形面积小正方形面积，再将变形为，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵两个边长分别为4，3的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为， ∴空白面积（空白面积）大正方形面积小正方形面积． ∴， 故选：C． 3．将图（1）中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号、5号五个正方形和6号长方形，将它们拼在周长为150的长方形图（2）中，若图（1）的大长方形周长为96，则图（2）阴影部分的周长为 ． 【答案】126 【分析】本题考查了整式的加减的应用，设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号长方形的长为，宽为，根据由图（1）中大长方形周长为96得出，由图（2）号正方形的边长和号长方形的长重合得出，从而得出，表示出，，再由图（2）中阴影部分的周长为四边形的周长，进行计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图（1），设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号长方形的长为，宽为， 由图（1）中大长方形周长为96，可得， 解得：， 由图（2）可得：号正方形的边长和号长方形的长重合， ， ， ， 如图， 图（2）中长方形的周长为， ， ， ，由图可得：图（2）中阴影部分的周长为四边形的周长， ， 图（2）阴影部分的周长为， 故答案为：． 4．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 【答案】4x 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意，列式计算即可． 本题考查了列代数式，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意得：阴影部分周长和为： ， 故答案为：． 5．如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3．    (1)求小长方形的长（用含的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形与阴影图形的周长之和，若能，请求出来，若不能，请说明理由． 【答案】(1)小长方形的长为 (2)能；当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，整式的混合运算等知识点，确定各几何图形的长和宽是解题关键． （1）由图可知：小长方形的宽小长方形的长，据此即可求解； （2）由图可得阴影图形的长为,宽为，阴影图形的长为9，宽为，故阴影图形和阴影图形的周长之和为，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵小长方形的宽为3， ∴小长方形的长为, 答：小长方形的长为； （2）解：由图可得阴影图形的长为,宽为, 阴影图形的长为9，宽为, 阴影图形和阴影图形的周长之和为 , ∴阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，                 当时，． 答：当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为46． 6．两个边长分别为a和b的正方形按如图1放置，记未叠合部分（阴影）的面积为．在图1大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），记两个小正方形叠合部分（阴影）的面积． (1)用含a，b的代数式分别表示，． (2)若，，求的值． (3)若，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)19 (3)32 【分析】此题考查列代数式，代数式求值，整式混合运算，掌握整式的运算法则是解决此题关键． （1）根据面积公式的和差关系可得答案； （2）利用整式的运算法则计算，再代入a、b值计算即可； （3）根据面积公式的和差关系列出代数式，再整体代入计算可得答案． 【详解】（1）解：由图可得， ． （2）解：∵，， ∴． （3）解：由图可得， ， ． 类型三、收费问题 1．某市出租车的收费标准如下（不足1千米按1千米计算）： 里程 收费 3千米及3千米以内 元 3千米以上，单程，每增加1千米 元 3千米以上，往返，每增加1千米 元 (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即回到学校，他怎样坐车比较合算？算一算需付多少元出租车费． 【答案】(1)应付车费元 (2)王老师应该坐同一辆出租车往返比较划算，要付出租车费元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据小明家到外婆家，相距（不足1千米按1千米计算）千米，结合表格中的相关数据列式计算即可； （2）分两种情况：从学校到教育局，然后再从教育局到学校，按照单程计算出需要的花费；按照往返计算出需要的花费，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：应付车费元； （2）解：按照单程： （元）， 按照往返： （元）， ， 答：王老师应该坐同一辆出租车往返比较划算，要付出租车费元。 2．为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ (4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议． 【答案】(1)17，17 (2)43元 (3)88元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）用2月的数据减去1月的数据，求出1月份的用水量，用表格中最后一个数据减去第一个数据，再除以6求出平均用水量； （2）根据小高家2月份的水费为36元，求出一级用水价格，进而求出6月份需缴纳水费即可； （3）根据收费标准，列式计算即可； （4）提出一条节约用水的建议即可． 【详解】（1）解：（吨），（吨）； 故答案为：17，17； （2）解：小高家二月用水量为：（吨）， 由题意，得：一级用水价格为：（元）， 小高家6月用水量为：吨， ∴他家6月份需缴纳水费为（元）； （3）解：七月份用水量为：（吨）， （元）； （4）解：淘米水浇花（合理即可）． 3．某市对出租车运价进行调整，下表是调价前与调价后运价的收费标准的对照表： 调价前 调价后 车起步价 车行程在2千米以内（含2千米）收7元 车行程在1千米以内（含1千米）收3元 车行程1~1.5千米（含1.5千米）收4元 车行程1.5~2.0千米（含2.0千米）收5元 车千米价 车行程超过2千米后，每增加1千米加收1.6元 车行程超过2千米后，每增加1千米加收1.5元 根据上表提供的信息，解决如下问题： (1)如果某乘客乘出租车行驶了20千米的路程，那么调价前和调价后应付费多少元？调价后的收费标准对顾客是否有利？ (2)按调价后的收费标准收费，如果乘出租车行驶的路程为千米，应付费为元，请写出乘坐出租车的付费情况； (3)某人乘坐出租车到千米远的某地办事，去时从原地一次乘车到目的地；回时，分千米、千米两次乘车回到原地．按调价后的收费标准，去时与回时乘车方式的付费相比较，哪一种更省钱？请说明理由． 【答案】(1)调价前35.8元，调价后32元，调价后对顾客有利 (2)当时，；当时，；当时，；当时，． (3)去时乘车方式更省钱，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式： （1）分别根据调价前和调价后的收费标准计算，即可求解； （2）分四段根据调价后的收费标准计算，即可求解； （3）分别求出去时，回时应付的费用，再比较，即可求解． 【详解】（1）解：调价前（元）， 调价后（元）， 所以调价后对顾客有利． （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，． （3）解：去时乘车方式更省钱，理由如下： 去时应付费：， 回时应付费：， 所以， 即 因此去时乘车方式更省钱． 4．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实施阶梯水价：如果每月用水不超过8吨，按每吨元收费；如果每月用水量超过8吨，则超出部分按每吨元收费，设每月用水量为x吨． (1)当每月用水量不超过8吨时，用含x的代数式表示用水费用为 _______元； (2)当每月用水超过8吨时，需交水费多少元？（用含x的代数式表示） (3)若小红家8月份用水12吨，则需交水费多少元？ 【答案】(1) (2) (3)用水12吨需交水费元． 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值： （1）根据每月用水量不超过8吨时，按每吨元收费进行求解即可； （2）根据每月用水量超过8吨，则超出部分按每吨元收费进行求解即可； （3）把代入（2）所求结果中计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当x不超过8吨时，这个月的水费为元， 故答案为：； （2）解：当x超过8吨时， 这个月的水费为：元； （3）解：当时，， ∴用水12吨需交水费元． 5．徐州某商业区停车场24小时营业．24小时内小型车收费上限为60元其收费方式如下表所示： 停车时间段 2小时内收费（含2小时） 超过2小时后收费 7：30-19：30 2元/半小时 3元/半小时 最高不超过45元/次·车位 19：30-次日7：30 1元/半小时 最高不超过15元/次·车 不足半小时，按半小时收费；跨时段停车按上述标准分时段累计收费． 小李自驾一辆小型车去该商业区，需将车停在该停车场． (1)若停车2小时，则应付停车费______元； (2)若在7：30-19：30之间停车小时，请计算应付停车费多少元； (3)小李在10：30进场停车，停了小时后离场，为整数．若小李驾车离场时间介于当日的19：30~24：00间，则小李此次停车的费用为多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，停车费为元，当时，停车费为元，当时，停车费为元，当时，停车费为元． 【分析】本题考查的是分段收费的含义，有理数的混合运算的实际应用，列代数式，求解代数式的值；理解题意是解题的关键． （1）停车2小时，按照半小时2元收费即可； （2）在7：30-19：30之间停车小时，其中2小时按照半小时2元收费，2个半小时按照半小时3元收费，再求和即可； （3）先表示小李此次的停车费为小李此次停车的费用为：元，结合，再取整数计算即可． 【详解】（1）解：停车2小时，则应付停车费（元）； （2）在7：30-19：30之间停车小时，收费为： （元）； （3）小李在10：30进场停车，到19：30，停车9小时，小李驾车离场时间介于当日的19：30~24：00间，此时停车小时， ∵， ∴小李此次停车的费用为：元， ∵， ∴当时，停车费为元， 当时，停车费为元， 当时，停车费为元， 当时，停车费为元． 6．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注：水费按一个月结算一次）：请根据价目表的内容解答下列问题： 每月用水量（m3） 单价（元/m3） 不超出26m3的部分 3 超出26m3不超出34m3的部分 4 超出34m3的部分 7 (1)填空：若该户居民1月份用水20立方米，则应收水费 　　元；若该户2月份用水30立方米，则应收水费 　　元； (2)若该户居民3月份用水x立方米（其中），则应收水费多少元？（结果用含x的代数式表示） (3)若该户居民3月份用水a立方米（其中），则应收水费多少元？（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)60；94 (2)元 (3)（）元 【分析】（1）由，可计算应收水费为元；由，可计算应收水费为元； （2）依题意得：应收水费为； （3）依题意得：应收水费为． 【详解】（1）∵ ∴用水20立方米，则应收水费为元； ∵ ∴用水30立方米，则应收水费为元； 故答案为：60；94． （2）依题意得：应收水费为 元． 故应收水费元； （3）依题意得：应收水费为 元． 故应收水费元． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，列代数式，解题的关键在于明确对于不同用水量对应不同的单价． 类型四、销售打折问题 1．某商店的促销方式如下： 一次性所购物品的原价 优惠办法 不超过200元 没有优惠 超过200元，但不超过600元 200元部分没有优惠，超过200元部分打九折优惠 超过600元 所购物品可以协商打折优惠，但不低于七五折 (1)小张一次性所购物品的原价为500元，他实际付款__________元； (2)老王和小赵一起前往该商店购物，两人所购的物品各自付款需180元和425元，两人合在一起后共付款504元，问商店给他们打了几折？ 【答案】(1)470 (2)商店给他们打了八折 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用： （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出小张实际付款多少； （2）先求出老王和小赵所购物品的原价分别为：180元，元，再计算原价总和，进而可求出答案． 【详解】（1）因为， 所以元； （2）老王和小赵所购物品的原价分别为：180元，（元）， 原价总和为（元）， ， 答：商店给他们打了八折． 2．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价35元，且利润为进价的；乙种商品每件进价30元，进价比售价少． (1)求每件甲种商品的进价及每件乙种商品的售价分别是多少元？ (2)该商场购进甲、乙两种商品共100件，且乙种商品比甲种商品少，若全部卖出，求该商场的利润是多少元？ (3)在元旦期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价一律打九折 超过400元 售价一律打八折 按上述优惠条件，若小李第一天只购买甲种商品一次性付款210元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款360元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)甲种商品的进价是20元，乙种商品的售价是50元 (2)该商场的利润是元 (3)这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共15件或14件 【分析】此题考查了有理数运算的应用，读懂题意正确列式计算是解题的关键． （1）根据进价、售价、利润之间的关系列式进行计算即可； （2）先求出甲乙两种商品的件数，再求出甲乙两种商品的利润之和即可； （3）根据优惠措施分别求出第一天和第二天的购买甲、乙两种商品的件数，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲商品进价：（元） 乙商品售价：（元） 答：甲种商品的进价是20元，乙种商品的售价是50元 （2）由题意可知，甲商品与乙商品数量比为 则甲商品：（件） 乙商品：（件） （元） 答：该商场的利润是元 （3）第一天：（件） 第二天：（件）或 （件） 两天一共：（件）或（件） 答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共15件或14件 3．每到秋冬季节，南方的热带水果纷纷成熟，受益于现代物流产业和保鲜技术的发达，过去在内地难得一见的热带水果也都进入了我们的超市中，某水果超市最近新进了一批新鲜荔枝，每斤元．为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周荔枝的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格(元) 售出斤数 (1)这一周超市售出的荔枝单价最高的是星期_________． (2)这一周超市出售此种荔枝的收益如何？(盈利或亏损的钱数) (3)超市为了促销这种荔枝，决定从下周一起推出两种促销方式； 方式一：购买不超过斤荔枝，每斤元，超出斤的部分，每斤打折； 方式二：每斤售价元． ①顾客买斤荔枝，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元(请用含的代数式表示) ②如果某顾客决定买斤荔枝，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)六 (2)这一周超市出售此种荔枝盈利元 (3)①，；②选择方式一购买更省钱 【分析】（1）根据正负数的意义，可知星期六的价格最高； （2）利用价格乘以售出的数量，减去成本即可求解． （3）①根据题意分别列出代数式表示两种方式需要的费用即可求解； ②将，代入①中代数式进行计算，然后比较即可求解． 【详解】（1）这一周超市售出的荔枝单价最高的是星期六， 故答案为：六； （2）(元)， (元)， (元)； 所以这一周超市出售此种荔枝盈利元； （3）①方式一：元； 方式二：(元)； 故答案为：，； ②方式一：(元)， 方式二：(元)， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 【点睛】本题考查了正负数的应用及有理数的计算，列代数式，代数式求值．解题的关键是看懂图表了理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价． 4．某种墨水笔的批发价为1.5元/支．开学季，文具批发店推出两种优惠活动（一次只能参加一种优惠活动）如下： 活动一：满减活动：购物金额满99元减10元；满199元减25元；满299元减60元； 活动二：打折活动：若一次购买100支以上，全部打8折． 某文具店老板批发了n支此款墨水笔． (1)若，用代数式表示在两种优惠活动下文具店老板需要支付的费用； (2)使用活动二批发此款墨水笔，会不会出现多买比少买花钱少的情况？说明理由． 【答案】(1)按活动一需支付元；按活动二需支付元 (2)见解析 【分析】（1）根据两种活动方案计算费用即可； （2）通过计算购买100支与120支的费用情况，对比即可作出判断． 【详解】（1）解：由题意知：当时，（元）；当时，（元）， 当时， 按活动一需支付的费用为：元； 按活动二需支付的费用为：（元）； 即当时，按活动一需支付元；按活动二需支付元； （2）解：使用活动二批发此款墨水笔，会出现多买比少买花钱少的情况． 如购买100支，要支付费用：（元）；购买120支，要支付费用：（元）， 而， ∴使用活动二批发此款墨水笔，会出现多买比少买花钱少的情况． 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意并正确列出代数式是解题的关键． 5．某校为提升生态环境质量，面向全市招募绿化养护公司，已知A、B两家公司每月每平方米绿化养护费用均为10元，且各自推出了如下收费方案： 公司A：每月每平方米绿化养护费用均打八折； 公司B：每月绿化面积在200平方米以内（含200平方米）不打折，超过200平方米的部分每月每平方米打六折． 设该校每月绿化面积为x平方米． (1)请用含x的式子分别表示选择A、B两家公司每月所需的绿化养护费用； (2)如果该校目前每月的绿化面积是600平方米，请通过计算说明选择哪家公司比较合算 【答案】(1)公司A所需的绿化养护费用为元；公司B所需的绿化养护费用为元 (2)选择公司B比较合算 【分析】（1）直接根据题意列出代数式即可； （2）将分别代入A、B求值后比较即可． 【详解】（1）由题意知，选择公司A所需的绿化养护费用为元； 选择公司B所需的绿化养护费用为（元）． （2）把代入中，公司A所需的绿化养护费用为（元）． 把代入中，公司B所需的绿化养护费用为（元）， 因为， 所以选择公司B比较合算． 【点睛】本题考查了列代数式和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．旭东中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格(元) 售出斤数 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期 ___________； (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？(盈利或亏损的钱数)； (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过斤百香果，每斤元，超出斤的部分，每斤打折； 方式二：每斤售价元． ①顾客买)斤百香果，则按照方式一购买需要 元，按照方式二购买需要 元； ②于老师决定买斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)六 (2)227元 (3)①，；②方式一更省钱 【分析】本题考查了正负数的应用及有理数的计算，列代数式． （1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算总进价和总售价，比较即可； （3）①按照两种购买方式列出代数式即可；②将代入①中代数式，进而比较，即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：星期六的单价最高， 故答案为：六； （2）这一周超市出售此种百香果的收益为： (元)， 答：这一周超市出售此种百香果的收益为盈利元； （3）解：①方式一：元； 方式二：元； 故答案为：，； ②方式一：（元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 类型五、数轴中的点重合问题 1．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 【答案】(1)6 (2)小丽现在18岁，马老师现在35岁 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数形相结合是解此题的关键． （1）由数轴观察可得三根木棒长，再列式计算即可得出答案； （2）在数轴上，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数，利用数形相结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：由数轴观察可得：三根木棒长是， ∴木棒长为； （2）解：如图，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数， ∵马老师像小丽这么大时，小丽只有1岁；等小丽到马老师这年龄的时候，马老师已经52岁了． ∴马老师与小丽的3倍龄差为（岁）， ∴马老师与小丽的差为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽现在18岁，马老师现在35岁． 2．综合与探究： 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合； ②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____． (3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒． ①当时，求甲、乙两个小球之间的距离； ②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 【答案】(1)在数轴上把数表示见解析，用“＜”将它们连接起来为 (2)①6；② (3)①甲、乙两个小球之间的距离为3；②甲、乙两个小球之间的距离为 【分析】（1）根据数轴的点的表示解答即可； （2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设运动的时间为t，根据题意列出代数式即可． 【详解】（1）如图所示．      用“＜”将它们连接起来为． （2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为， ， 所以表示的点与表示6的点重合， 故答案为：6， 设点A表示的数为x，则点B表示的数为， 可得， 解得： 故答案为：； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2， 所以甲、乙两个小球之间的距离为． ②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为． 当时，甲、乙两个小球之间的距离为； 当时，甲、乙两个小球之间的距离为． 所以甲、乙两个小球之间的距离为． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，利用数轴比较有理数的大小，明确对折点所表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键． 3．折叠纸面，若在数轴上 表示的点与 表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上 表示的点与 表示的点重合． (2)若数轴上 、两点间的距离为在 的左侧)，且 、两点经折叠后重合，求 、 两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为 的正方形有一顶点 落在数轴上表示 的点处，将正方形在数轴上，向右滚动(无滑动)，正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动 次后，数轴上表示点 的数与折叠后的哪个数重合？    【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示5的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 4．折叠数轴，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：    (1)数轴上9表示的点与　 　表示的点重合． (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数各是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)M、N两点表示的数分别是，1014 (3) 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上点的距离，有理数混合运算，解决本题的关键是根据题意得到折痕所对应的数． （1）先求出和5的中点，进而得到结论； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示3的点处，正方形滚动2次后一个顶点落在表示5的点处，正方形滚动3次后一个顶点落在表示7的点处，即可求出正方形滚动100次后一边右端点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠数轴，在数轴上表示的点与5表示的点重合， ∴， ∴在数轴上表示的点与5表示的点的中点是2表示的点， ∴数轴上9表示的点与表示的点重合． 故答案为：． （2）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧）， ∴ ∴， ∴M点表示的数是，N点表示的数是1014． ∴M、N两点表示的数分别是，1014； （3）解：∵边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； 正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； 正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是； …… ∴正方形在数轴上向右滚动100次后落在数轴上一边的右端点表示的数是   ∵ ∴正方形滚动100次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的－197重合． 5．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系， 形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示数的点与表示数 的点重合，表示数的点与表示数 （用含a 的式子表示）的点重合； (2)操作2：在计算满足的x的值时，也可以通过折叠数轴的方法来解决：先在数轴上取表示的点，然后沿着该点折叠数轴，最后找到距离该点3个单位长度的点，读取数据得 ；利用该方法求出满足的x的取值范围为 ； (3)操作3：在数轴上A 、B 两点对应的数分别为、20，数轴上一点C 对应的数为x，数 轴上一点D 与点C 始终保持18个单位长度（点D 位于点C 的左侧）．折叠数轴，使得 C、D 重合，且折叠后A 、B 两点之间的距离为10，求出x 的值． 【答案】(1)8； (2)或； (3)或 【分析】（1）根据折叠点为数轴上表示3的点与表示的点的中点求出折叠点表示的数，进而根据两点的距离求出折叠点到数，数的距离，由此可得答案； （2）求出数轴上到表示的点的距离为3的点表示的数即可得到满足的x的值；同理先找出数轴上到表示的点的距离为8的点表示的数，再根据表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离小于等于8进行求解即可； （3）先求出折叠点表示的数为，进而求出折叠后点A和点B表示的数，再根据折叠后A、B两点的距离为10建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，折叠点表示的数为， ∵折叠点到的距离为， ∴表示数的点与表示数的点重合， 当时，同理可得表示数的点与表示数的点重合， 当时，表示数的点与表示数的点重合， 综上所述，表示数的点与表示数的点重合， 故答案为：8；； （2）解：∵， ∴读取数据得或； 同理可得当时，或， ∵表示的数轴上表示x的数与表示的数的距离， ∴表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离小于等于8， ∴； 故答案为：或；； （3）解：由题意得，点D表示的数为， ∵折叠后点D与点C重合， ∴折叠点表示的数为， ∵折叠前在数轴上A 、B 两点对应的数分别为、20， ∴折叠前， ∵折叠后， ∴折叠点一定在折叠前之间， ∴折叠后点A表示的数为，折叠后点B表示的数为， ∵折叠后， ∴或， ∴， 解得或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的折叠问题，数轴上两点距离，解绝对值方程，一元一次方程的应用，正确利用折叠点为折叠前后重合点的中点，从而表示出折叠点表示的数是解题的关键． 6．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①，② (2)①；②；5 (3)； 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程， （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可求得两点表示的数； （3）利用表示出对折点，再根据点和点之间的距离为10，利用数轴的定义即可表示出，利用方程思想，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数位， 故答案为：①，②； （2）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示7的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为8， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；5； （3）解：使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 类型六、数轴中的最值问题 1．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ； (2)的最小值是 ，此时的值为 ； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【答案】(1)4 (2)3，0 (3)或 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4． （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为． （2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3， 故答案为：3，． （3）解：由图可得， 只有当或时，的最小值是4.5， ∴当的最小值是4.5时，或． 2．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)； (2)符合条件的整数为或或或； (3)有最小值，最小值为，理由见解析． 【分析】（）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可； （）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值； （）根据绝对值的意义，同（）理即可解答； 本题考查了绝对值的意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 故答案为：； （2）令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，， ∴符合条件的整数为或或或； （3）有最小值，最小值为，理由如下： 令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，的值最小，最小值为． 3．点在数轴上所对应的数分别是，其中满足． (1)求的值． (2)数轴上有一点，使得，求点所对应的数． (3)点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出的最小值是______；的最小值是______；取最小值时，点对应的数的取值范围是______． 【答案】(1) (2)－8或6 (3) 【分析】本题主要考查几个非负数之和为0的问题、线段之和最小、线段之差最大等问题，难点在于需要分类讨论． （1）根据两个非负数之和为0，这两个数都为0，就可以解出x、y； （2）设M点所对应的值为m，再根据等式代入线段长，就可以求出m的值； （3）先确定取最小时，P的范围，再确定取最小值时P的范围，最终确定取最小值时P的取值范围． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：． （2）解：设M点的坐标为m， 当时，， 解得：； 当时，，不可能使，不合题意； 当时，， 解得：； ∴使得，点M所对应的数为或6． （3）解：当P在之间时，， 当P在A点左边时，， 当P点在B点右侧时，． 所以，的最小值是8． 因为D点是的中点， 所以D点所对应的数为， 的中点所对应的数为， 当P点为时，， 当P点对应的数小于时，， 并且P点在D点左侧，． 当P点对应的数大于0时，． 所以的最小值为， 只有和都取最小时，才取取最小值， 也就是当时，取最小值． 即取最小时，． 故答案为：8；；． 4．阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，； 当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 【答案】(1)，，； (2)，或； (3)，． 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式可得点和之间的距离是，进而由可得，解方程即可求解； （）由绝对值的性质可得当，时，取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的性质，掌握数轴上两点间的距离计算方法及绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 当时，， ∴或， ∴或， 故答案为：，或； （3）解：∵，， ∴当，时，取最小值， ∴，， 故答案为：，． 5．数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 【答案】(1)、之间 (2)点 (3)之间 (4)①，；②，；③， 【分析】本题考查了绝对值的性质、数轴上两点之间的距离，采用分类讨论是解此题的关键． （1）分三种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点点点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （2）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在点时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在之间时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点点点的右边时，， 当点在、之间时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； （2）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在点时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在点时，才能使P到三点的距离之和最小 （3）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在之间时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在之间时，才能使P到四点的距离之和最小； （4）解：①由（1）可得：当时，有最小值，最小值为， 的最小值，此时x的范围是； ②由（2）可得：这是在求点到，，三点的最小距离， 当时，有最小值，最小值为； ③由（3）可得：这是在求点到，，，四点的最小距离， 当时，由最小值，最小值为． 6．表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看做，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)在数轴上，有理数5与所对应的两点之间的距离为________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数，使得，则________； (3)利用数轴分析，若为整数，，则满足条件的所有的值的和为_______； (4)若为有理数，则的最小值为_______． 【答案】(1)8 (2)2或 (3) (4)2809 【分析】‘’（1）根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）根据绝对值的性质可得或，解两个方程即可得到答案； （3）根据表示与和2的距离之和为5，再结合数轴即可得到答案； （4）将原式变形为，计算出当时，的值最小为105，同理可得：当时，的值最小为103，当时，的值最小为101，…，当时，的值最小为1，最后代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 在数轴上，有理数5与所对应的两点之间的距离为， 故答案为：8； （2）解：， 或， 解得：或， 故答案为：2或； （3）解：表示与和2的距离之和为5，且， 所有符合条件的整数有：、、、0、1、2， 满足条件的所有的值的和为， 故答案为：； （4）解： ， 在中， 当时，，， ， 当时，，， ， 当时，，， ， 当时，的值最小为105， 同理可得：当时，的值最小为103， 当时，的值最小为101， …， 当时，的值最小为1， 当时，的值最小， 此时 ， ， 故答案为：2809． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的应用、解一元一次方程、有理数的加法，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 类型七、代数式的新定义 1．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴a与b是关于3的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于3的友好数， ∴，即：， ∴， ∵x为正整数， ∴，；，；，；，；，； ，；，；，；，．．． ∴非负整数的值为：． 2．年月日，神舟十五号载人飞船成功返回地球，结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出一个新定义：、的两个整式，如果，那么叫做的“神舟式”． (1)若，，当时，求、的值，请你判断此时是否为的“神舟式”，并说明理由； (2)若，是的“神舟式”，求整式． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)． 【分析】（）将，代入代数式求值，根据神舟式的定义，进行判断即可； （）利用神舟式的定义，列式计算即可； 本题考查有理数的四则运算和整式的加减运算，熟练掌握运算法则及理解“神舟式”的定义是解题的关键． 【详解】（1）是的“神州式”， 理由：当时，，， 所以， 所以是的“神州式”； （2）因为是“神州式”，所以， 所以， ， ． 3．定义：对于依次排列的多项式、、、（a、b、c、d是常数），当它们满足，且是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如，对于多项式、、、来说，因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是这组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子______； (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值及该组平衡数的平衡因子； (3)当a、b、c、之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平衡数，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)当时，，，，是一组平衡数，理由见解析 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据定义计算M的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可； （3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式． 【详解】（1） ； 故答案为：． （2）∵是一组平衡数， ∴的结果为常数． ， ∴， 解得； ∴该组平衡数的平衡因子． （3）当时，，，，是一组平衡数． 理由：因为，，，是平衡数， ∴结果为常数． ， ∴， ∴当时，，，，是一组平衡数． 4．阅读材料：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： 下列两位数，，中，是“迥异数”的为______； 计算 ______． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 【答案】(1)①和， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能理解“迥异数”定义是本题的关键． （1）①由“迥异数”的定义可得； ②根据的定义计算可得． （2）根据题意知，新两位数与原两位数的和为，从而得出，解答出的值，即可求迥异数的值． 【详解】（1）（1）根据定义得，个位数字与十位数字不同，这三者中，符合题意，故填，． 由题意知，，即“迥异数”为，对调个位数字与十位数字后变为，则，，所以中． （2）由题意知，新两位数与原两位数的和为，， 即，解答， 所以迥异数为． 5．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解 (2)①是② 【分析】（1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的2倍减1的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； （2）解：①是“同心有理数对”， ． ， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了新定义，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． 6．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见详解 【分析】本题考查了多项式的新定义， （1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案； （2）根据题意可知，是7的整数倍，推出，根据要求推一下是否是7的整数倍即可． 【详解】（1）解：（1）①因为，是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为，不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式； 故答案选：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“7倍系数多项式”， 是7的整数倍， 设为整数，且， 则， 多项式的系数之和为：， ， ， 为7的倍数，即为7的倍数， 当多项式是关于，的“7倍系数多项式”，多项式也是关于，的“7倍系数多项式”． 类型八、方案问题 1．某商店1月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案． 方案1： 若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折优惠； 方案2： 用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折优惠． 已知小明1月1日前不是该商店的会员，在促销期间，他购买商品价格为x元． (1)请分别用含x的代数式表示两种购买方案下小明应该支付的费用； (2)若小明购买商品价格为元，你认为选择哪种购买方案较为合算？说明理由． 【答案】(1)方案1应该支付的费用为：元；方案2应该支付的费用为：元 (2)选择方案2较为合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算的应用．熟练掌握列代数式，有理数的混合运算的应用是解题的关键． （1）由题意知，方案1应该支付的费用为：元；方案2应该支付的费用为：元； （2）将时，分别代入计算两个方案的费用，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案1应该支付的费用为：元； 方案2应该支付的费用为：元； （2）解：当时， 方案1应该支付的费用为（元）， 方案2应该支付的费用为（元）， ∵， ∴ 选择方案2较为合算． 2．某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 【答案】(1)这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨 (2)从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用： （1）根据计算这天冷库冷冻食品进出的总和的符号可确定此题结果． （2）分别求出两种方案总费用，可比较出哪种方案更好． 【详解】（1）解：．   故这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨． （2）解：方案一：费用为（元），   方案二：费用为（元）， 由于， 所以从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适． 3．某校组织学生到井冈山革命博物馆研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时、旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费320元． 方案二：5人免费，其余每人收费打九折 (1)当参加研学的总人数是时，请用含x的式子表示： ①用方案一共收费 ___________元． ②用方案二共收费 ___________元． (2)当参加旅游的总人数是80时，采用哪种方案省钱？请判断并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)方案二省钱，见解析 【分析】此题考查了列代数式，代数式求值， （1 ）根据两个方案的收费方法求解即可； （2 ）把代入两个代数式，进而比较即可． 【详解】（1）方案一的收费为：元， 方案二收费为：元； （2）方案二省钱，理由如下： 把代入（元）， 把代入（元）， ∵， ∴方案二省钱． 4．云南成为全国首个“吃螃蟹”的省份，将中考体育从50分提升到100分，某校为适应新的中考要求，决定在网上订购一批某品牌排球和跳绳．在京东商城发现排球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个排球送一条跳绳；B网店：排球和跳绳都按定价的9折付款．已知要购买排球60个，跳绳a条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含a的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元（用含a的代数式表示）； (2)若时，通过计算比较此时在哪家网店购买省钱？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1) (2)A网店 (3)在A网店购买60个排球配送，60条跳绳，再在B网店购买40条跳绳，付款9480元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，读懂题意，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）根据两种优惠方案，列出代数式即可； （2）将代入（1）种代数式，进行求解即可； （3）在A网店购买60个排球配送，60条跳绳，再在B网店购买40条跳绳，即可． 【详解】（1）解： A店购买可列式：元， 在网店B购买可列式：元； 故答案为：； （2）当时， 在A网店购买需付款：（元）， 在B网店购买需付款：（元）， ∵， ∴当时，应选择在A网店购买合算； （3）由（2）可知，当时，在A网店付款9600元，在B网店付款10260元，在A网店购买60个排球配送60条跳绳，再在B网店购买40条跳绳， （元）， 又∵， ∴省钱的购买方案是：在A网店购买60个排球配送，60条跳绳，再在B网店购买40条跳绳，付款9480元． 5．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)＞，＞ (2) (3)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ， 且， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 6．如图，一块原边长分别为的矩形，现将原矩形一边增加1，另一边减少1，变化后的面积为或． (1)______，______，______；（用含的式子表示） (2)当时，变化后的面积会______；（增加或减少） (3)当时，有两种方案，第一种方案如图2，第二种方案如图3．请你比较这两种方案，确定哪一种方案变化后的面积比较大． 【答案】(1)；； (2)减少 (3)方案2变化后面积大 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算等知识点，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意分别表示出、、即可； （2）根据（1）得到的代数式，分别比较和，和的大小即可解答； （3）根据（1）得到的代数式，分别比较和的大小即可解答． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，，． （2）解：面积减小了，理由如下： ①， ， ， ， 变化后面积减小了． ②， ， ， ， 变化后面积减小了． 综上：变化后面积减小了． （3）解：方案1：， 方案2：， ， ， ∴， ∴，即方案2变化后面积大． 类型九、代数式的规律 1．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键． （1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出的值； （2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出； （3）代入即可求出结论． 【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要个三角形． ∵， ∴， ∴． 故答案为：16； （2）解：由（1）可知：． 故答案为：； （3）解：当时，， ∴摆成第2021个图案需要个三角形． 2．如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)10，13，16 (2) (3)6070 【分析】本题考查了图形类规律探索题，根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，用此规律求解在第n个图形中的火柴棒的个数 （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据（1）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个，则第n个图形中应用的火柴棒数为． （3）将代入求解即可． 【详解】（1）第3个图形中，火柴棒的根数是； 第4个图形中，火柴棒的根数是； 第5个图形中，火柴棒的根数是； 填表如下； 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 10 13 16 （2）∵每增加一个正方形火柴棒数增加3， ∴第n个图形中应有的火柴棒数为：； 故答案为：； （3）当时，解得：． 答：第2023个图形需要的火柴棒根数为6070根． 3．已知有下列两个代数式：①；②． (1)当时，代数式①的值是____________；代数式②的值是____________． (2)当时，代数式①的值是____________；代数式②的值是____________． (3)观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为___________． (4)利用你发现的规律，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3) (4) 【分析】此题考查了有理数乘法的应用，正确理解题意得到并解决问题是解题的关键． （1）将数值代入计算即可； （2）将数值代入计算即可； （3）由（1）和（2）得； （4）根据（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ， （2）当时， ， ， （3）由（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为， （4） ． 4．，，，， (1)第5个式子是_____；第个式子是_____； (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，数字类规律探究： （1）根据题干给定的式子，得到相应的规律，作答即可； （2）利用（1）中规律，裂项相加即可； （3）原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 5．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； 按照以上的规律，解决下列问题： (1)写出第等式：__________； (2)直接写出你猜想的第个等式，并证明该等式（用含字母的式子表示等式）． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据题目中给出的等式寻找规律得到每一部分的规律总结出整个式子的规律，通过规律即可得到第个等式； （）根据上面得到的规律，将规律数替换成，使之由特殊到一般规律即可； 本题了数与代数式中的规律，读懂题意，找出等量关系以及利用整式的乘法公式进行化简证明是解题的关键． 【详解】（1）由第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 则第个等式：； 故答案为：； （2）由第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 则第个等式：； ； 则第个等式：； 证明：左边， 右边， 左边右边 所以等式成立． 6．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 4 … … 7 4 1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______；______． (2)【归纳规律】表中值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3；类似地，值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______． (3)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1) (2)减少3 (3)，说明见解析 【分析】此题考查整式的加减计算，已知字母的值求代数式的值： （1）将x值分别代入求出式子的值即可； （2）将与的值相减即可判断变化情况； （3）当时，；当时，，得到，由此得到结论． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故答案为：； （2）， ∴x的值每增加1，的值就减少3， 故答案为：减少3； （3）当时，x的值每增加1，代数式的值就增加k． 当时，x的值每增加1，代数式的值减少 理由如下：当时，， 当时，， ． 类型十、数轴动点求t 1．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)2或10 (2)秒或20秒或15秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题： （1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况； （2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果； 正确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设点是【，】的好点， ， 当在、之间时， ， ， ， 表示的数为， 当在右边时， 设表示的数为， ， ， 故答案为：2或10； （2）解：当是【A，】好点时， 即， ， ； 当是【，A】好点时， 即， ， ； 当是【A，】好点时， 即， ， ， 当A是【，】好点时， 即， ， ； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 2．【阅读理解】 若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是的“妙点”．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的“妙点”.又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的“妙点”，但点D是的“妙点”． 【知识应用】 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． (1)数3 (填“是”或“不是”）的“妙点”，数2 (填“是”或“不是”） 的“妙点”. (2)若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是的妙点，求x的值. (3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案） 【答案】(1)不是；不是 (2)的值为或 (3)，，时 【分析】本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，两点之间的距离，绝对值及有理数的绝对值，一元一次方程的实际应用． （1）根据题意直接计算和到点M、N的距离即可判断； （2）根据题意可得，两边同时平方再解方程即可； （3）根据题意可求得的取值范围为，，，，然后分别列出P，A和B分别为其余两点的“妙点”时的方程求解即可． 【详解】（1）解： 点M所表示的数为，点N所表示的数为4， 数3到点M的距离为，到点N的距离为， 1和5不是2倍关系， 数3不是的“妙点”； 数2到点M的距离为，到点N的距离为， 数2是的“妙点”，不是的“妙点”， 故答案为：不是，不是． （2）解：点Q是的妙点， ， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 的值为或； （3）解：由题可知：， 电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止， 即， ，， ①为“妙点”时，则 ； ②为“妙点”时，则， ； ③为“妙点”时，则， （舍去）； ④为“妙点”时，则， ； ⑤为“妙点”时，则， （舍去）； ⑥为“妙点”时，则， ； ，，时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”． 3．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5 (2)当时，；当时， (3)不变， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法． （1）根据最小的正整数时1，即可得出b的值，根据绝对值和平方的非负性，即可得出a和c是值； （2）根据题意进行分类讨论，①当时，②当时即可求解； （3）先得出t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，再得出和的表达式，计算即可． 【详解】（1）解：∵最小的正整数是1， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，5； （2）解：①当时，， ∴ ， ②当时，， ∴ ； （3）解：∵，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不变，恒为2． 4．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 【答案】(1)14；1 (2) (3)2 【分析】本题考查数轴哦上两点间的距离，中点的定义， （1）利用提供的方法解题即可； （2）按照两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法推导出一般公式； （3）运用两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法解决问题即可． 【详解】（1）解：， P点所表示的数为， 古答案为：14；1； （2）； ∵P是的中点， ∴， ∴P表示的数为． （3）t秒后C点所表示的数为：，D所表示的数为， ， ∵M是的中点， ∴， ∴点M所表示的数为， ∴， ∴M的速度为． 5．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足． (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 【答案】(1)，4 (2) (3)点N表示的数为或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）易得，设经过x秒后，点P和点Q相遇，根据相遇时，两点的路程和等于，列出方程求出x的值，即可得出点C表示的数； （3）根据题意得出，，，然后进行分类讨论：①当时， ②当时． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， 设经过x秒后，点P和点Q相遇， ， 解得：， ∴点C表示的数为； （3）解：根据题意可得：点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为， ，，， ①当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； ②当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； 综上：点N表示的数为或． 6．如图，在数轴上点表示数，点示数， 点表示数， 的相反数是，且满足．    (1) ； ； ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2) (3)不变，定值为 【分析】本题主要考查数轴的特点，掌握绝对值的非负性，数轴上两点之间距离，中点的计算，数轴上动点的运用与线段数量关系，整式的加减运算等知识的综合是解题的关键． （1）根据非负性即可求解； （2）根据折叠后重合，可得折点为，再根据折点的计算方法即可求解； （3）分别用含的式子表示出的值，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的相反数为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与重合，即重合， ∴折点为， ∴与A点重合的点是， 故答案为：； （3）解：点表示的数是，向左的速度为每秒1个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒2个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒4个单位长度，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴ ， ∴的值不变，定值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$