专题02圆的有关性质（13大类型提分练+30道压轴题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题02圆的有关性质（13大类型提分练+30道压轴题） 类型一、圆的有关概念与性质辨析 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（    ） A．①③④ B．② C．②④ D．①④ 类型二、点与圆的位置关系 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定 5．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知的半径为3，点P在外，则的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是（　　） A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．无法确定 类型三、垂径定理 7．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，弦垂直平分半径，垂足为，若的半径为，则弦的长等于（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，将半径为的沿折叠，与垂直的半径交于点且，则折痕的长为(   )    A． B． C． D． 类型四、垂径定理的应用 10．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（    ）cm A．8 B．6 C．12 D．10 11．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆弧形桥拱的跨度拱高则拱桥的半径为（    ） A．9m B．10m C．12m D．13m 12．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 类型五、垂径定理的有关计算与证明 13．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O的半径为7，是的弦，点P在弦上，若， ，求的长． 14．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 15．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，直径，弦，弦，垂足分别为．    (1)求弦的长； (2)如果，求的度数． 类型六、圆心角问题 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的两条弦，且，点分别在和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点在上，于点于点．求证．    类型七、圆周角定理 19．（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是的弦，的半径为3．为上一点，连接、，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．6 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，，交于点A，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数． 类型八、圆周角的性质与推论 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为     A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，， 求及的度数．    类型九、圆内接四边形 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，点在上，的半径为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在的内接四边形中，，点在上．    (1) ； (2)求的度数． 类型十、圆的有关最值问题 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 29．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 30．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为 ． 类型十一、圆的有关作图设计问题 31．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图． (1)在下图中画出经过这三个点的圆的圆心O； (2)如下图，在上确定一点D，使． 32．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系． 【构造模型】 （1）如图①，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（简要说明作图方法，并保留作图痕迹） 【应用模型】 已知是的内接三角形． （2）如图②，若的半径，，求的最大值并说明理由． （3）如图③，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 类型十二、圆的有关角的计算与证明 33．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点A和点E是上位于的两侧的点，，，垂足为D，、的延长线交于点G，的延长线交于点F． (1)判断的形状并说明理由； (2)若，，求的直径的长． 34．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 类型十三、圆的有关新定义与探究问题 35．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 36．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】 （1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为(    ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，点为的重心，连接，若固定边，使顶点在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，则线段的长度的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图1，已知分别是圆形纸片的直径、弦，以弦为折线将弓形纸片折叠至如图2所示的弓形纸片的位置，与直径交于点D，若，则（） 图1图2 A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，内接于，，，点D为弧上一动点，直线于E，当点D由B点沿弧运动到点C时，点E经过的路线长为（    ） A． B．27 C． D． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是半的直径，点C是的中点，点D为的中点，连接，于点E．若，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知中，，点为边上任一点，以为圆心，为半径的与交于点，连接并延长交于点，连接，若，当最大时，若的半径为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 7．（17-18九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接，过D点作于H，连接，在点C移动的过程中，的最小值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A在以为直径的上，且，连结、，以A为边作等边，以为边作正方形，连结．若为，为，为，则等于（　　） A．16 B． C．15 D． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知以点M为圆心，为半径作，与 x 轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接．给出4个说法：①；②；③当线段取得最大值时，点D的坐标为；④当点C在优弧上运动时，点D的运动路径长为．其中正确的是（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是的中点．连接，当取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 12．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题 13．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 14．（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D当线段最短时，的面积为 ． 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的内接三角形，，点为线段的中点，连接，则的最大值是 ．    17．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点分别在轴上和函数的图象上，，，，则的最大值为 ． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，垂足为是上一点，过、三点的圆交于点，若，则 ． 19．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知半径为，弦，则弦所对圆周角的度数为 ． 20．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．    三、解答题 21．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交BC于点F，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求： (1)点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？ (2)是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，中，，，，则与是邻等三角形． (1)如图2，中，点D是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由． (2)如图3，以点为圆心，为半径的交轴于点，是的内接三角形，．求的度数和的长． 25．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，为直径，P为上一点，，过点P的弦，Q为弧上一动点（与点B、C不重合），，垂足为H．连接．    (1)求的长； (2)在点Q的运动过程中，的值是否发生变化？若变化求出取值范围，若不变化，求出比值． 26．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)请写出一个“勾系一元二次方程”：_________________； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，已知、是半径为的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为_______.    27．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 28．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， 是的中点， ∴， ∴①， 又∵②， ， ， 又， ， ，即， 根据证明过程，完成下列步骤： ① ，② ． （2）【理解运用】如图1，是的两条弦，， 点是的中点，于点，则的长为_____． （3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．    29．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E． (1)若，请用含的代数式表示； (2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02圆的有关性质（13大类型提分练+30道压轴题） 类型一、圆的有关概念与性质辨析 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； （3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意； 正确的命题有2个， 故选：B．． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（    ） A．①③④ B．② C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意； ②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意， ∴其中正确的是②． 故选：B． 类型二、点与圆的位置关系 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵，的半径为3， ∴半径， ∴点P与的位置关系为：点P在圆外． 故选：B． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知的半径为3，点P在外，则的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系； 根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4， 故选：D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是（　　） A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理．根据矩形的性质和勾股定理求出的长，再根据点与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∴， ∵的半径为4， ∴， ∴点C与外边， 故选：C． 类型三、垂径定理 7．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，弦垂直平分半径，垂足为，若的半径为，则弦的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．连接，由垂直平分，求出的长，再利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，利用垂径定理求出的长，即可确定出的长． 【详解】解：连接，    ∵垂直平分， ∴， ， 为的中点， 则． 故选：C． 8．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，再求出，根据勾股定理得出，最后根据垂径定理即可得出． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，将半径为的沿折叠，与垂直的半径交于点且，则折痕的长为(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，延长交于点，连接，根据，求出，由折叠可知，从而的求出，再用勾股定理求出，从而利用得解，利用垂径定理作出辅助线是解题的关键． 【详解】延长交于点，连接，    依题意得：，即 为的中点， ∵的半径为， ∴， ， ， 由折叠可知：， ， 在中， ． 故选：B． 类型四、垂径定理的应用 10．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（    ）cm A．8 B．6 C．12 D．10 【答案】D 【分析】 设圆心为O点，连接，交于C，则，由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：设圆心为O点，连接、、，交于C，如图， 由题意得：，，E为的中点， 则， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即该球的半径是． 故选：D． 【点睛】 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 11．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆弧形桥拱的跨度拱高则拱桥的半径为（    ） A．9m B．10m C．12m D．13m 【答案】D 【分析】设圆心是半径为连接根据垂径定理得再根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心是，半径连接则三点共线， 是拱高， 在中，根据勾股定理，得 即拱桥的半径为：13 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 类型五、垂径定理的有关计算与证明 13．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O的半径为7，是的弦，点P在弦上，若， ，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理是解题的关键．由题意知，，作于，连接，则，由垂径定理可得，，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解： 如图，作于，连接，则，    ∵， ， ∴， 由垂径定理可得，， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， 故答案为：5． 14．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明． 【详解】连接， ∵分别与小圆相切于点D、E， ∴，，， ∵是大圆的弦， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，直径，弦，弦，垂足分别为．    (1)求弦的长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）垂径定理，得到，勾股定理求出的长即可； （2）垂径定理得到，，证明，得到，进而得到，再根据平角即可得出结果． 本题主要考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直径，弦， ∴， ∴， ∴； （2）∵直径，弦，弦， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型六、圆心角问题 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的两条弦，且，点分别在和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角或弧的度数的一半． 根据圆内接四边形对角互补求得的度数，即可求得的度数，进而求得的度数，的度数，则的度数即可求解． 【详解】解：在圆内接四边形中，， 则的度数是， 又∵， ∴的度数=的度数， ∴的度数是， ∴． 故选：A． 17．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出，计算，根据，计算，选择答案即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键． 18．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点在上，于点于点．求证．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆的对称性及全等三角形的性质和判定，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 连接，根据定理得出，由全等三角形的性质得出，进而可得出结论． 【详解】证明：连接，，    ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 类型七、圆周角定理 19．（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是的弦，的半径为3．为上一点，连接、，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，圆周角圆心角关系．根据题意连接，可知，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵的半径为3， ∴在中应用勾股定理得：， 故选：C． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，，交于点A，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，，   ， ， ， ， ， ， 故选：B． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了半圆（或直径）所对的圆周角是直角，圆周角定理；根据圆周角定理得到，，由得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 类型八、圆周角的性质与推论 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形为矩形， ， 为的直径，， 的半径为， ， 点为的中点， ， ， ，， ，， 设，，其中， 则， 解得：或 舍去， 即，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 故选：A． 24．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，， 求及的度数．    【答案】， 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形外角的性质，现根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再由同弧所对的圆周角相等得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 类型九、圆内接四边形 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键．连接，由圆周角定理可得，，从而可求得，再由圆的内接四边形对角互补得到即可． 【详解】解：如图，连接， ∵同弧所对的圆周角相等，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 故选C 26．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，点在上，的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点B作交延长线于E，在优弧上取一点D，连接，由圆周角定理可得，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，由此推出，则，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，在优弧上取一点D，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴圆O的半径为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线求出的长是解题的关键． 27．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在的内接四边形中，，点在上．    (1) ； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案； （2）连接，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在的内接四边形中，， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，   ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 类型十、圆的有关最值问题 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得，，利用弦最长等于直径即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点N，连接，   点为的中点，， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 在中， ， 当最大时，最大， 的半径为5， 弦最长等于直径是10， ， ． 故选：B． 29．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 【答案】A 【分析】取点，连接，连接交于E，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，取点，连接，连接交于E，   是的中点，O是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， 当点P与点E重合时，最小为， 的最小值为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 30．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】根据矩形的性质得，，即，，即可得． 【详解】解：如图，设点M为DE的中点，点N为FC的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值， ∵DE=4，四边形DEFG为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三条边的关系，中线长定理，解题的关键是掌握中线长定理． 类型十一、圆的有关作图设计问题 31．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图． (1)在下图中画出经过这三个点的圆的圆心O； (2)如下图，在上确定一点D，使． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 【分析】本题考查网格作图，圆周角定理，直径所对的圆周角是90°，确定圆心； （1）根据得到为直径，再作的垂直平分线，与的交点即为圆心； （2）先确定矩形，再过作与圆交点即为所求点D． 【详解】（1）如图，经过这三个点的圆的圆心O； （2）如图，即为所求点D，使． 32．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系． 【构造模型】 （1）如图①，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（简要说明作图方法，并保留作图痕迹） 【应用模型】 已知是的内接三角形． （2）如图②，若的半径，，求的最大值并说明理由． （3）如图③，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）当点在的延长线上时，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求；当点在的延长线上时，以点为圆心， 长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求； （2）由三角形两边之和大于第三边可得，连接并延长至，使得，连接，当最长时，即时，最长，由此可求出最终结果； （3）第1步：作的垂直平分线交于点；第2步：以点为圆心，为半径作；第3步：以为圆心，的长为半径画弧交于点；第4步：连接交于点． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求；当点在的延长线上时，以点为圆心， 长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求；    （2）， 如图，连接并延长至，使得，连接， ， 为定角， 为定角， 当最长时，即时，最长， ， ， ， 最长为 （3）如图，第步：作的垂直平分线交于点； 第步：以点为圆心，为半径作； 第步：以为圆心，的长为半径画弧交于点； 第步：连接交于点． 则． 【点睛】本题考查圆的综合，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握尺规作图的方法，定弦定角与圆的关系是解题的关键． 类型十二、圆的有关角的计算与证明 33．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点A和点E是上位于的两侧的点，，，垂足为D，、的延长线交于点G，的延长线交于点F． (1)判断的形状并说明理由； (2)若，，求的直径的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）圆周角定理，得到，同角的余角相等，得到，等弧所对的圆周角相等，得到，进而得到，即可得出结论； （2）等角的余角相等，得到，进而得到，进而求出的长，勾股定理，求出的长，连接，设半径，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形． 为直径， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）中，， 又 ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，． 连接，设半径，则， 在Rt中，， ． 的直径． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，以及等弧所对的圆周角相等，是解题的关键． 34．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）连接，则，由，根据垂径定理得，则，所以，由，求得，由，得，求得，则，于是得到问题的答案； （2）连接，则，由，，得，，由，得，则，所以，而，可求得，由切线的性质得，则，所以，则． 【详解】（1）解：如图1，连接，则， ∴， ∵于点D，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30，45； （2）解：如图2，连接，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点P， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴PE的长是 【点睛】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°、切线的性质定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 35．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【详解】（1）解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； （2）解：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． （3）解：连接，，作于E，作的延长线交于F，如下图：    ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，10构成直角三角形，10是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 36．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】 （1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 【答案】[提出问题] 甲自己射门好，理由见解析；[经验感知]（1）作图见解析；（2）；[理解应用] （1）C；（2） 【分析】[提出问题]根据同弧所对的圆周角，以及三角形外角的性质可得，，然后作答即可； [经验感知]（1）由题意知，过三点，分别作的垂直平分线，交点即为圆心，然后作圆即可； （2）如图4，连接，于，是的切点，四边形是矩形，，则，是等边三角形，然后根据圆周定理求最大射门角的度数即可； [理解应用]（1）如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，由，可知四点共圆，如图5，则，然后作答即可； （2）如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角，，，均为等腰直角三角形，，，设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的值，根据，计算求解即可． 【详解】[提出问题]解：甲自己射门好，理由如下： 如图2，记与过两点的圆的交点为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴甲自己射门好； [经验感知]（1）如图4，即为所求； （2）如图4，连接，于， ∵是的切点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴最大射门角的度数为； [理解应用]（1）解：如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，， 由勾股定理得，， ∴， ∴四点共圆，如图5， ∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大， 故选：C； （2）解：∵，，， ∴， 如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 由题意知，，， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， 设的半径为，则，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴射门角（）最大，此时的长度为米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．理解题意，熟练掌握圆的知识是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为，连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设鼓面圆的圆心为，连接、，则， ，， ， 是等边三角形， ， 的半径为， 的直径为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，点为的重心，连接，若固定边，使顶点在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，则线段的长度的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，作的外接圆，延长交于，因此点在上运动，由三角形重心的性质得到是的中点，当时，长最大，求出，推出，得到，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作的外接圆，延长交于，   ， 的大小不变， 点在上运动（不与重合）， 是的重心， 是的中点， 当时，长最大， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 不与重合， ， ， 是的重心， ， ， ， 故选：D． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图1，已知分别是圆形纸片的直径、弦，以弦为折线将弓形纸片折叠至如图2所示的弓形纸片的位置，与直径交于点D，若，则（） 图1图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，折叠问题，关键是由圆周角定理得到的度数的度数． 由圆周角定理得到的度数，求出的度数，而的度数的度数，即可求出的度数的度数的度数． 【详解】解：∵是圆的直径， ∴的度数， ∵的度数， ∴的度数， ∵的度数的度数， ∴的度数的度数的度数． 故选：B． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，内接于，，，点D为弧上一动点，直线于E，当点D由B点沿弧运动到点C时，点E经过的路线长为（    ） A． B．27 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轨迹、圆周角定理、解直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质以及长公式等知识，当点在以为直径的圆上当点在点时，此时和重合；当沿运动到点和点重合时，连接，则点经过的路径是以为直径的圆上弦所对的优弧的长，进而求解，求出点的轨迹是解题的关键. 【详解】解：作圆的直径,连接,取的中点,连接,如图所示： ∵为的直径, 为的中点， 故当点在以为直径的圆上当点在点时，此时和重合； 当沿运动到点和点重合时，连接, 由圆周角定理得： 故点经过的路径是以为直径的圆上弦所对的优弧的长， 由弧长公式得：， 故选：. 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是半的直径，点C是的中点，点D为的中点，连接，于点E．若，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理； 连接，，，在上取一点，使得，连接，证明和是等腰直角三角形，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，、． ∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 在上取一点，使得，连接， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知中，，点为边上任一点，以为圆心，为半径的与交于点，连接并延长交于点，连接，若，当最大时，若的半径为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，可证明，得，则，可知当最大时，则最大，再由，，证明，说明的形状不变，则为定值，再由，推导出，可知当时，，此时的值最大，所以于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，则最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状不变， ∴为定值， ∵， ∴， ∴当时，，此时的值最大， ∴， 故选：A． 7．（17-18九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接，过D点作于H，连接，在点C移动的过程中，的最小值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小； 【详解】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：D． 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据菱形的性质得出，根据相同的圆周角所对的弦相等，得出，即可判断①正确； ②根据菱形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，，从而得出，，但不能确定，判断②错误； ③先证明，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据即可判断③正确． 【详解】解：①∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 不能确定，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，故③正确； 综上分析可知，①③正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆周角和弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和菱形的性质． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A在以为直径的上，且，连结、，以A为边作等边，以为边作正方形，连结．若为，为，为，则等于（　　） A．16 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】过点作交于点，根据圆周角定理及正方形的性质推出、、在同一条直线上，根据等边三角形的性质解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， 是等边三角形，，为， ，， ， 为的直径，四边形是正方形， ，， ， 、、在同一条直线上， 在中，，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟记圆周角定理、等边三角形的性质是解题的关键． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知以点M为圆心，为半径作，与 x 轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接．给出4个说法：①；②；③当线段取得最大值时，点D的坐标为；④当点C在优弧上运动时，点D的运动路径长为．其中正确的是（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了周角角定理，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，作△ODA的外接圆⊙E，并从中确定D的运动轨迹是圆上的一条弧是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，，故①正确；由圆周角定理得，由平等线的性质可得，故②正确；由，可得当是直径时，有最大值，由等腰直角三角形的性质可求出点的坐标故③正确；先确定点的运动轨迹，可求点的运动路径为，故④错误，即可求解 【详解】解：∵点D是的中点，点O在的中点， ∴，故①正确； 如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴当取得最大值时，线段取得最大值，如图2，    ∵为直径， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴D的坐标为，故③正确； 如图3，作的外接圆，连接，    ∵， ∴， ∵当点C在上运动时， ∴点D在上运动， ∴点D的运动路径长，故④错误； 故选：A． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是的中点．连接，当取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识的应用，折叠的性质，三角形三边关系，连接、，由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时，最小，设的弧度为，求出所对圆心角为，证明，求出后再减去即可． 【详解】解：如图，连接、， ， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时，最小， 设的弧度为， 的弧度为， ， 的弧度为， 由折叠的性质可得：的弧度为， 的弧度为：， 点是的中点， 的弧度为：， 的弧度为：，即所对圆心角为， ， 半径为5， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 12．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、动点线段最值问题等知识，解题的关键是确定点P的位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 二、填空题 13．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 14．（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵，轴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ∴，， ∴当点三点共线时，有的最小值为； 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D当线段最短时，的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，则点在以为直径的圆上运动，如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，由题意知，，由勾股定理得，，则，证明，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短， 由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理．确定点的运动轨迹是解题的关键． 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的内接三角形，，点为线段的中点，连接，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，连接，，，，则是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而得出点在以为直径的圆上运动，以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时，由勾股定理计算出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，，   ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点为线段的中点，， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点分别在轴上和函数的图象上，，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；根据与轴的夹角为，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则，根据勾股定理求得的长，进而证明是直角三角形，求得的长，根据，即可求得的最大值 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接， 与轴的夹角为， 在上， ，， ， 中, 过点作于点，如图 则 当三点共线时，取得最大值， 最大值为 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，垂足为是上一点，过、三点的圆交于点，若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查圆中求角度，涉及直角三角形性质、圆周角定理等知识，首先根据，，得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案，灵活运用圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 在中，，则， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知半径为，弦，则弦所对圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、圆内接四边形的性质，连接、，过作的垂线，得到，，，求出得到，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、，过作的垂线，垂足为C，   ， 半径为，弦，， ，，， 在中，， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 综上所述：弦所对圆周角的度数为或， 故答案为或． 20．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，圆周定理，等边三角形的性质，连接，，延长交于点，连接，由折叠性质可知：，则，从而有，通过弧度和差可得，所以，再由周长即可求解．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】如图，连接，，延长交于点，连接，    由折叠性质可知：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴的周长， 的周长， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交BC于点F，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论； （2）过点F作于点M．则，通过证明可得，设，则，利用勾股定理可求解的值，再结合角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图，过点F作于点M．则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， ∵平分，， ∴． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求： (1)点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？ (2)是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值． 【答案】(1)经过1秒的面积等于平方厘米； (2)经过秒相切； (3)线段的最小值 【分析】（1）首先设经过x秒的面积等于平方厘米，然后利用面积列出方程，求解即可； （2）首先假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，然后根据相切的性质和勾股定理，列出方程，求解即可； （3）首先由得出，将其转化为点M在以为直径的圆在内的弧上，则当B，M，O三点共线时最小，即可得解. 【详解】（1）设经过x秒的面积等于平方厘米，则，，, 由题意，得 ∴ 化简得： ∴． 答：经过1秒的面积等于平方厘米； （2）假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，如图设其切点为H， ∵与圆P相切， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： 由于点P的运动时间最大为2秒，故x2舍去 所以经过秒相切； （3）∵ ∵， ∴ ∴点M在以为直径的圆在内的弧上，如图所示： ∴当B，M，O三点共线时最小 ， ∴ 即线段的最小值． 【点睛】此题主要考查勾股定理、切线的性质、一元二次方程的应用和圆的综合问题，解题关键是利用动点构建方程，求解即可． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由为的直径得，通过证明，得到，又由，从而得到； （2）设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元二次方程得到的长，由（1）知，从而得到，又由，得到． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ， ， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：，（舍去）， ， 由（1）得：， ， ， ， 的长为 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键． 24．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，中，，，，则与是邻等三角形． (1)如图2，中，点D是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由． (2)如图3，以点为圆心，为半径的交轴于点，是的内接三角形，．求的度数和的长． 【答案】(1)与是邻等三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，进行判断作答即可； （2）如图3，作于，连接，则，，，由圆周角定理可得，如图3，作于，在中，，则，由勾股定理得，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是邻等三角形，理由如下： ∵点D是的中点， ∴，， ∵， ∴与是邻等三角形． （2）解：如图3，作于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 如图3，作于，在中，， ∴， 由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角、弦相等，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角、弦相等，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 25．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，为直径，P为上一点，，过点P的弦，Q为弧上一动点（与点B、C不重合），，垂足为H．连接．    (1)求的长； (2)在点Q的运动过程中，的值是否发生变化？若变化求出取值范围，若不变化，求出比值． 【答案】(1)的长为； (2)的值不发生变化， 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）连接，求得的半径，在和中，利用勾股定理求解即可； （2）连接，利用垂径定理求得，证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 即的长为； （2）解：的值不发生变化，． 理由如下： 连接，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)请写出一个“勾系一元二次方程”：_________________； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，已知、是半径为的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为_______.    【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（）根据题意即可求解； （）由一元二次方程根的判别式，即可判断； （）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解； 本题考查了一元二次方程，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定义． 【详解】（1）由题意可知：，， ∴“勾系一元二次方程”可以为：， 故答案为：； （2）∵关于的一元二次方程是“勾系一元二次方程”，且， ∴， ∵， ∴必有实数根； （3）作于，延长交于，连接，，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是“勾系一元二次方程”， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)∠ACD=38° (3) 【分析】（1）设D在原来弧上的对应点为，连接、，根据折叠的地性质得出，，在根据垂径定理得出，设， 根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设D在原来弧上的对应点为，连接，易得，则，根据圆内接四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后根据三角形内角和即可求解； （3）过点C作于点H，易得，则，，通过证明，得出，则，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设D在原来弧上的对应点为，连接、， ∵点D和点关于对称， ∴，， ∵点D与圆心O重合， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴求出半径为．    （2）解：设D在原来弧上的对应点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴， ∴．    （3）解：过点C作于点H， ∵，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握折叠前后对应角相等，圆内接四边形对角互补． 28．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， 是的中点， ∴， ∴①， 又∵②， ， ， 又， ， ，即， 根据证明过程，完成下列步骤： ① ，② ． （2）【理解运用】如图1，是的两条弦，， 点是的中点，于点，则的长为_____． （3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．    【答案】（1）相等的弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等；（2）2；（3），见解析；（4）或 【分析】（1）根据圆的性质即可求解； （2）由“问题”呈现结论即可求解； （3）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）分两种情况讨论，由（1）结论可求解． 【详解】（1）解：由证明过程可知， （相等的弧所对的弦相等）； （同弧所对的圆周角相等）； 故答案为：相等的弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等； （2）由题意得：，即， ， ， ， 故答案为：2； （3）， 证明：在上截取，连接、、、，如图3，    是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即； （4）如图4，当点在下方时，过点作于点，    是圆的直径， ， ，圆的半径为10， ， ， ， ， ， ， 当点在上方时，， 同理得， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 29．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E． (1)若，请用含的代数式表示； (2)如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②6 【分析】（1）如图所示，连接，利用圆周角定理得到，再由等边对等角结合三角形内角和定理即可得到； （2）①由，得到，设，由（1）得：，则，由此证明，即可证明；②如图，作，，垂足分别为M、N设，则，，证明，得到，由三线合一定理得到，则，证明四边形为矩形，得到，再由三线合一定理得到，即可推出． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴； （2）解：①∵， ∴， 设，由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，作，，垂足分别为M、N， 设，则，， ∵ ∴， ∴ ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，    ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理等等，通过作出辅助线，利用三线合一定理进行求解是解题的关键． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识． （1）①连接根据垂径定理逆定理证明，再证明是等边三角形可得可得 从而可得结论；②连接延长交于点根据等边三角形的性质得可得，故可得正六边形； （2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到，再根据是中点得到，得根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可得到五边形即为所求． 【详解】（1）①连接    ∵ ∵过圆心 ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； ②如图，正六边形即为所作；    （2）如图，正五边形即为所求作．    ( 86 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