专题01 一元二次方程（3种经典基础练+4种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题01 一元二次方程（3种经典基础练+4种优选提升练） 一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2023秋•吉林期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•榆树市期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是　 A． B．3 C．或3 D．都不对 3．（2023秋•榆树市校级期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•九台区校级期中）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　 A．1，，8 B．，2，8 C．1，2， D．1，2，8 5．（2023秋•白城期中）若非零实数、、满足，则关于的一元二次方程一定有一个根为　　 A．3 B． C．0 D．无法确定 6．（2023秋•丰满区校级期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．1 B．2 C．0或2 D．0 7．（2023秋•朝阳区期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2023秋•吉林期中）一元二次方程的一次项系数是 　 　． 9．（2023秋•前郭县期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　 　． 10．（2023秋•农安县期中）若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为 　　． 11．（2023秋•长春期中）若是一元二次方程的一个根，则的值是 　 　． 12．（2023秋•吉林期中）若是方程的根，，则等于 　　． 解一元二次方程 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•榆树市校级期中）方程的解为　　 A．0 B． C． D．0， 2．（2023秋•朝阳区期中）方程的解是　　 A． B．， C． D．， 3．（2023秋•榆树市期中）一元二次方程的根的情况为　　 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根 4．（2023秋•农安县期中）用配方法解方程，则配方正确的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共9小题） 5．（2023秋•榆树市期中）方程的解是　 　． 6．（2023秋•船营区校级期中）一元二次方程的根的判别式的值为 　　． 7．（2023秋•南关区校级期中）等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是　　． 8．（2023秋•船营区校级期中）方程 有实数根，则的值可以是 　 　（写出一个即可）． 9．（2023秋•二道区校级期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　． 10．（2023秋•乾安县期中）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 　　． 11．（2023秋•白城期中）我们规定：对于任意实数，，，有，，，其中等式右边是通常的乘法和减法运算（如，，，若，，，则的值为 　 　． 12．（2023秋•绿园区校级期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　 　． 13．（2023秋•榆树市校级期中）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 　　 ． 三．解答题（共8小题） 14．（2023秋•船营区校级期中）解方程． 15．（2023秋•吉林期中）用配方法解方程：． 16．（2023秋•铁东区校级期中）请你用公式法解方程：． 17．（2023秋•乾安县期中）解方程：． 18．（2023秋•铁东区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）若1是该方程的一个根，求的值； （2）若一元二次方程有实数根，求的取值范围． 19．（2023秋•乾安县期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，，若，求的值． 20．（2023秋•长春期中）关于的一元二次方程． （1）证明该方程有实数根； （2）当时，该方程的两个根是等腰三角形的两边长，求该三角形周长． 21．（2023秋•榆树市期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两实根分别为与，若，求的值． 实际问题与一元二次方程 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•长岭县期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•朝阳区期中）某制造厂七月份生产零件25万个，第三季度生产零件91万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为，则下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•船营区校级期中）某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•农安县期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•榆树市校级期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条小路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，那么小路进出口的宽度应为多少米？设小路进出口的宽为米，则可列方程为（注：所有小路进出口的宽度都相等，且每段小路均为平行四边形）　　 A． B． C． D． 二．填空题（共3小题） 6．（2023秋•铁东区校级期中）某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：　 ． 7．（2023秋•农安县期中）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2019年底至2021年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2019年底至2021年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为 　 　． 8．（2023秋•朝阳区期中）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为 　　． 三．解答题（共4小题） 9．（2023秋•乾安县期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 10．（2023秋•船营区校级期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）是否存在时间使得的面积是？若存在请求出，若不存在，请说明理由． 11．（2023秋•二道区校级期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价元，据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 　 　件，每件商品盈利 　　元（用含的代数式表示）； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ （3）商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由． 12．（2023秋•榆树市期中）某超市销售一种商品，成本价为50元千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元．经市场调查，该商品每天的销售量（千克）与售价（元千克）满足一次函数关系，如图所示： （1）求与之间的函数表达式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得1350元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 一元二次方程的应用——增长率问题 一．解答题（共9小题） 1．（2021秋•长岭县期中）2017年，某贫困户的家庭年人均纯收入为3000元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2019年，家庭年人均纯收入达到了4320元． （1）求该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，2020年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到5100元？ 2．（2021秋•南关区期中）受益于国家支持新能源汽车发展的利好政策，某市一汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为5亿元，2020年利润为7.2亿元． （1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率； （2）若2021年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2021年的利润能否超过8.6亿元？ 3．（2023秋•新城区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率； （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？ 4．（2023秋•鹤山市期中）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车． （1）据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价元，平均每月全天包车数增加次，尽可能的减少租车次数，当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？ 5．（2023秋•永善县期中）老旧小区改造是党中央国务院提出的一项民生工程，是提升城市档次、增强人民群众获得感和幸福感的惠民工程．某市改造老旧小区，2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？ 6．（2023秋•鹿寨县期中）随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2021年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2019年底全市汽车拥有量为10万辆． （1）求2019年底至2021年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）按照这个增长速度，2022年底全市汽车拥有量为多少辆？ 7．（2023秋•黔东南州期中）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车64辆，4月份销售了100辆． （1）若该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城3月份售出多少辆自行车？ （2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进一批两种规格的自行车共100辆，已知型车的进价为500元辆，售价为700元辆，型车进价为1000元辆，售价为1300元辆．假设所购进车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商城购进型车不超过多少辆？ 8．（2023春•芝罘区期中）随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车 （1）据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？ 9．（2023秋•渝北区校级期中）某工厂共有300台机器出租，去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元台． （1）求每台机器租金的年增长率； （2）据预测，当机器的租金定为121元台时，该工厂可将机器全部租出；若每台机器的租金每增加1元，就要少租出2台．租出的机器该工厂每天每台需支出41元的维护费用，未租出的机器该工厂每天每台需支出20元的保管费用．当每台机器的租金上涨多少元时，该工厂每天的收益为25250元？ 一元二次方程的应用——商品销售问题 一．解答题（共9小题） 1．（2023秋•乾安县期中）超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每箱降价1元，每天可多售5箱，若设每箱降价元． （1）根据题意，填表： （2）若每天盈利1200元，则每箱应降价多少元？ 每箱利润（元 销售量（箱 利润（元 降价前 30 20 600 降价后 ⑩　　 ②　　 2．（2023秋•任丘市校级期中）某服装专卖店款衣服的进价为100元件，经市场调查发现，当款衣服的定价为140元件时，每天可售出20件，在此基础上，款衣服的定价每件降价3元，该服装店每天就会多售出6件，设款衣服每件降价元． （1）款衣服每件的利润为 　　元，每天的销量为 　　件；（用含的代数式表示） （2）若该服装专卖店每天销售款衣服获利1200元，为了更多地让利于顾客，款衣服的定价应为多少元？ （3）该服装专卖店每天销售款衣服的总利润可能达到1450元吗？请说明理由． 3．（2023秋•海州区校级期中）我市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种水果，计划以每千克60元的价格销售，现决定降价销售，当降价不大于4元时，水果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（x＞0）满足一次函数关系，其图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）y与x之间的函数关系式为 　 　，自变量x的取值范围是 　 　； （2）商贸公司要想获利2210元，求这种水果每千克应降价多少元？ 4．（2023秋•秦都区期中）陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．某商户从眉县购进一批猕猴桃进行销售（只按整箱销售不零售），每箱进价为80元，当销售价为120元箱时，每天可售出20箱，经市场调查发现，如果每箱猕猴桃每降价1元，那么平均每天可多售出2箱． （1）每箱猕猴桃降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （2）商家平均每天的盈利能达到1800元吗？请说明你的理由． 5．（2023秋•平川区期中）党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱．（1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量． （2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？ 6．（2023秋•莲池区校级期中）某厂家专门为产品生产包装盒，该厂有一种特制的矩形包装盒的原材料，长，宽为． （1）已知该公司2020年销售这种原材料制作的包装盒的销售额为5000万元，并预计2022年的销售额为7200万元，假设该厂在这两年中的销售额的增长率相同，设为，那么根据题意列出的方程为 　 　； （2）该厂技术工人先将矩形原材料剪去两个全等的正方形，又剪去了两个全等的矩形，剩余部分制成了底面积为的有盖包装盒（边缘损耗忽略不计），则剪去的正方形边长为 　　； （3）已知该矩形包装盒的生产成本为40元个，市场调研发现：如果以100元个销售，每天可以售出200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为24000元？ 7．（2022秋•九台区期中）某商店以20元千克的价格新进一批商品，经调查发现，销量（千克）与销售价格（千克）之间存在如图所示的函数关系． （1）求与的函数表达式； （2）要使销售利润达到800元，销售价格应定为每千克多少元？ 8．（2023秋•平川区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 9．（2023秋•中原区校级期中）新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 一元二次方程的应用——图形面积问题 一．解答题（共6小题） 1．（2023秋•盐都区期中）某小区有一块长，宽的矩形空地，如图所示．社区计划在这块空地上建一个小型的停车场，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． （1）求通道的宽是多少？ （2）该停车场共有65个车位，据调查发现：当每个车位的日租金为15元时，可全部租出；当每个车位的日租金每上涨1元时，就会少租出1个车位．当每个车位的日租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为1200元？ 2．（2023秋•梁子湖区期中）白龙蓝莓基地计划将如图所示的一块长80米，宽40米的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为存储区，其余空地为种植区，分别种植，，三种不同品种的蓝莓．存储区的一边与育苗区等宽，另一边长是20米，，，三种蓝莓每平方米的产值分别为100元、200元、300元． （1）设育苗区的边长为 ，用含的代数式分别表示下列各量： 品种的种植面积是 　 ，品种的种植面积是 　　，品种的种植面积是 　　； （2）育苗区的边长为多少时，，两种蓝莓的总产值相等； （3）若，两种蓝莓的种植面积之和不超过，求，，三种蓝莓的总产值之和的最大值是多少百元． 3．（2023秋•沙洋县期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场．中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1米宽的门，若两个鸡场总面积为96平方米， （1）求的长． （2）两个鸡场的总面积可以为110平方米吗，若行求出的长，若不行请说明理由． 4．（2023秋•蓬江区校级期中）今年朝阳区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在如图宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 5．（2023秋•乐昌市校级期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的宽． 6．（2023秋•中山市校级期中）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 一元二次方程的应用——动态几何问题 一．解答题（共4小题） 1．（2023秋•楚雄州期中）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． （1）如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ （2）如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 2．（2022秋•西安期中）如图，中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，同时动点从点出发以的速度向点移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为． （1）运动几秒时，为等腰三角形？ （2）为何值时，的面积等于面积的？ （3）在运动过程中，的长度能否为？试说明理由． 3．（2022秋•陆河县校级期中）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离是． 4．（2023秋•晋州市期中）如图，在矩形中，，为正数，点是的中点，点是线段上的一个动点（不与点重合），点是的延长线上的一个动点（不与点重合），且，连接，，与交于点．设，的面积为．的面积为，并设． （1）嘉淇认为，能用含有的式子表示，她的推理过程如下，请你补充完整： ，且 　　 （用含和的式子表示）， 　　（用含和的式子表示）． 　　（用含的式子表示）． （2）若，当时，求的长度（即的值）； （3）若，请结合值的不同范围，写出的长度是多少？（结合表格进行分析，直接填写表格下面的三个空即可） 的取值范围 的长度 不存在 ▲1 ▲2 ①　　； ②▲1处填写：　　； ③▲2处填写：　　． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程（3种经典基础练+4种优选提升练） 一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2023秋•吉林期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是一元二次方程，故本选项符合题意； ．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 2．（2023秋•榆树市期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A． B．3 C．或3 D．都不对 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 3．（2023秋•榆树市校级期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义可得，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 4．（2023秋•九台区校级期中）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　 A．1，，8 B．，2，8 C．1，2， D．1，2，8 【分析】方程整理为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【解答】解： ， 故二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、2、， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为． 5．（2023秋•白城期中）若非零实数、、满足，则关于的一元二次方程一定有一个根为　　 A．3 B． C．0 D．无法确定 【分析】把代入方程能得出，即可得出答案． 【解答】解：把代入方程，得， 即方程一定有一个根为， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解（根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 6．（2023秋•丰满区校级期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．1 B．2 C．0或2 D．0 【分析】根据二次项系数非零及方程的常数项为0，可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可求出的值． 【解答】解：关于的一元二次方程的常数项为0， ， 解得：， 的值为2． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的一般形式，牢记“一元二次方程的二次项的系数不等于0”是解题的关键． 7．（2023秋•朝阳区期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】去括号，移项，合并同类项即可． 【解答】解：， ， ， 即一元二次方程的一般形式是． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式，其中、、为常数，是解此题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2023秋•吉林期中）一元二次方程的一次项系数是 　　． 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，在一般形式中叫一次项，系数是，可直接得到答案． 【解答】解：一元二次方程， 一次项是， 一次项系数是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握确定一次项系数，需要注意符号问题． 9．（2023秋•前郭县期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则　　． 【分析】根据二次项系数非零及方程的常数项为0，可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可求出的值． 【解答】解：关于的一元二次方程的常数项为0， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的一般形式，牢记“一元二次方程的二次项的系数不等于0”是解题的关键． 10．（2023秋•农安县期中）若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为 　1　． 【分析】将代入方程得关于的方程，求解即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为1， 故将代入，得：， 解得：， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 11．（2023秋•长春期中）若是一元二次方程的一个根，则的值是 　2024　． 【分析】将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：将代入原方程得：， ， ． 故答案为：2024． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 12．（2023秋•吉林期中）若是方程的根，，则等于 　　． 【分析】根据题意可得：，从而可得，然后根据已知可得：，从而进行计算即可解答． 【解答】解：是方程的根， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 解一元二次方程 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•榆树市校级期中）方程的解为　　 A．0 B． C． D．0， 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：， 分解因式得：， 解得：或， 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．（2023秋•朝阳区期中）方程的解是　　 A． B．， C． D．， 【分析】先移项，再开方即可． 【解答】解：， ， 解得：，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法是直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 3．（2023秋•榆树市期中）一元二次方程的根的情况为　　 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根 【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【解答】解：△ 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 4．（2023秋•农安县期中）用配方法解方程，则配方正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 二．填空题（共9小题） 5．（2023秋•榆树市期中）方程的解是　　． 【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出． 【解答】解：即，所以或． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平方差公式在因式分解中的应用，比较简单． 6．（2023秋•船营区校级期中）一元二次方程的根的判别式的值为 　5　． 【分析】根据一元二次方程根的判别式△即可求出值． 【解答】解：，，， △． 所以一元二次方程根的判别式的值为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式． 7．（2023秋•南关区校级期中）等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是　12　． 【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是5和2，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出相应的值，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【解答】解：， ， ，， 等腰三角形的底和腰是方程的两根， 当另一个边时，不合题意舍去， 另一个边长为5， 这个三角形的周长是； 故答案为：12． 【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出相应的边的值，再根据周长公式进行计算． 8．（2023秋•船营区校级期中）方程 有实数根，则的值可以是 　　（写出一个即可）． 【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：．（答案不唯一）． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程直接开平方法是解题的关键． 9．（2023秋•二道区校级期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　． 【分析】由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于的不等式，解答即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 即：， 解得：， 故选答案为． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 10．（2023秋•乾安县期中）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 　2　． 【分析】先根据根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 11．（2023秋•白城期中）我们规定：对于任意实数，，，有，，，其中等式右边是通常的乘法和减法运算（如，，，若，，，则的值为 　4或　． 【分析】按照定义的新运算可得：，从而整理可得：，然后利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：，，， ， 整理得：， ， 或， ，， 的值为4或， 故答案为：4或． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程因式分解法，理解定义的新运算是解题的关键． 12．（2023秋•绿园区校级期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　且　． 【分析】根据在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△解答． 【解答】解：根据题意列出方程组： ， 解得：且， 故答案为：且． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 13．（2023秋•榆树市校级期中）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 　　． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设另一个根为，则 ， 解得． 故答案为． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 三．解答题（共8小题） 14．（2023秋•船营区校级期中）解方程． 【分析】根据公式法求解即可． 【解答】解：， △， ，． 【点评】考查了解一元二次方程公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定，，的值（注意符号）；②求出的值（若，方程无实数根）；③在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①；②． 15．（2023秋•吉林期中）用配方法解方程：． 【分析】方程整理后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解． 【解答】解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16．（2023秋•铁东区校级期中）请你用公式法解方程：． 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：，，， △， 则 ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 17．（2023秋•乾安县期中）解方程：． 【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为，再利用积为0的特点求解即可． 【解答】解：， ， 或， ，． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 18．（2023秋•铁东区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）若1是该方程的一个根，求的值； （2）若一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【分析】（1）把代入方程得到，然后解一次方程即可； （2）根据根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：（1）把代入方程得， 解得， 即的值为3； （2）根据题意得且△， 解得且， 即的取值范围为且． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解． 19．（2023秋•乾安县期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，，若，求的值． 【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明△即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形可得，将，的代入可得关于的一元二次方程，求解即可． 【解答】（1）证明：△ ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：该方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或1． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． 20．（2023秋•长春期中）关于的一元二次方程． （1）证明该方程有实数根； （2）当时，该方程的两个根是等腰三角形的两边长，求该三角形周长． 【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）根据时，该方程的两个根是等腰三角形的两边长，求得方程的两根，进一步确定该等腰三角形的腰为7，底边为2，再根据三角形周长公式即可求解． 【解答】解：（1）证明：△， 该方程有实数根． （2）当时，该方程化简，得：， 解得：，． ，， 该等腰三角形的腰为7，底边为2． 该三角形的周长为：． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 21．（2023秋•榆树市期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两实根分别为与，若，求的值． 【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再由得到，所以，然后解方程可得到满足条件的的值． 【解答】解：（1）方程化为， 根据题意得△， 解得； （2）由根与系数的关系得，， ， ， 即， ， 整理得，解得，， ， 应舍去， ． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 实际问题与一元二次方程 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•长岭县期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：长与宽和为60步，长比宽多步， 长为步，宽为步． 依题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2023秋•朝阳区期中）某制造厂七月份生产零件25万个，第三季度生产零件91万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为，则下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由该制造厂七月份的产量及该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率，可得出该制造厂八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，结合该制造厂第三季度生产零件91万个，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：该制造厂七月份生产零件25万个，且该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为， 该制造厂八月份生产零件万个，九月份生产零件万个． 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2023秋•船营区校级期中）某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设每件衬衫售价降低元，根据店里每星期衬衫的利润要达到3125元，列方程即可得到结论． 【解答】解：设每件衬衫售价降低元， 根据题意得，， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． 4．（2023秋•农安县期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【解答】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 5．（2023秋•榆树市校级期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条小路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，那么小路进出口的宽度应为多少米？设小路进出口的宽为米，则可列方程为（注：所有小路进出口的宽度都相等，且每段小路均为平行四边形）　　 A． B． C． D． 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【解答】解：设道路的宽应为米，由题意有 ， 故选：． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 二．填空题（共3小题） 6．（2023秋•铁东区校级期中）某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：　　． 【分析】利用经过两次降价后的出厂价原出厂价每次降价的百分率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2023秋•农安县期中）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2019年底至2021年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2019年底至2021年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为 　　． 【分析】利用2021年底全国拥有民用无人机驾驶执照的人数年底全国拥有民用无人机驾驶执照的人数年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2023秋•朝阳区期中）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为 　7　． 【分析】本题可设原正方形的边长为 ，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长． 【解答】解：设原正方形的边长为 ，依题意有 ， 解得：，（不合题意，舍去） 即：原正方形的边长． 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键． 三．解答题（共4小题） 9．（2023秋•乾安县期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 【分析】设：应该邀请个球队参加，由题意得：，即可求解． 【解答】解：设：应该邀请个球队参加， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 答：应邀请7个球队参赛． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，此类题目找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 10．（2023秋•船营区校级期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）是否存在时间使得的面积是？若存在请求出，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，根据勾股定理可得，然后再代入相应数据可得方程，再解即可； （2）设秒后的面积是，分两种情况：当时，当时，分别建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ①时， ， 解得：，； 时， ， ②时， ， ， ， 点从点出发沿以的速度向终点运动， ， 答：3秒或秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）不存在，理由如下： 设秒后的面积是， 当时， ． ， 整理得， △， 该方程无解， 当时，不存在时间使得的面积是； 当时， ， ， 解得：（舍去）， 当时，不存在时间使得的面积是； 综上所述，不存在时间使得的面积是． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 11．（2023秋•二道区校级期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价元，据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 　　件，每件商品盈利 　　元（用含的代数式表示）； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ （3）商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由． 【分析】（1）利用降价后每件商品的盈利降价前每件商品的盈利每件商品降低的价钱，可用含的代数式表示出降价后每件商品的盈利；利用日销量增加的数量每件商品降低的价钱，可用含的代数式表示出日销售增加的数量； （2）利用总利润每件商品的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合商场要尽快减少库存，即可得出每件商品应降价20元； （3）商场日盈利不能达到2300元，利用总利润每件商品的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，即可得出该方程没有实数根，即商场日盈利不能达到2300元． 【解答】解：（1）当每件商品降价元时，每件商品盈利元，日销售量增加件． 故答案为：；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又商场要尽快减少库存， ． 答：每件商品应降价20元． （3）商场日盈利不能达到2300元，理由如下： 依题意得：， 整理得：． △， 该方程没有实数根， 即商场日盈利不能达到2300元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△时，方程无实数根”． 12．（2023秋•榆树市期中）某超市销售一种商品，成本价为50元千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元．经市场调查，该商品每天的销售量（千克）与售价（元千克）满足一次函数关系，如图所示： （1）求与之间的函数表达式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得1350元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据“（售价进价）销售量每天获得利润”列出关于的一元二次方程，解之即可． 【解答】解：（1）设与的函数关系式为， 将、代入，得： ， 解得， 所以； （2）由题意，得：， 整理，得：， 解得，（舍去）， 答：每件商品的售价应定为65元． 【点评】本题主要考查一元二次方程和一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，并根据题意找到其蕴含的相等关系． 一元二次方程的应用——增长率问题 一．解答题（共9小题） 1．（2021秋•长岭县期中）2017年，某贫困户的家庭年人均纯收入为3000元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2019年，家庭年人均纯收入达到了4320元． （1）求该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，2020年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到5100元？ 【分析】（1）设该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，利用2019年家庭年人均纯收入年家庭年人均纯收入年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用2020年家庭年人均纯收入年家庭年人均纯收入年平均增长率），即可求出2020年家庭年人均纯收入，再将其与5100元比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为． （2）（元， ， 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到5100元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2021秋•南关区期中）受益于国家支持新能源汽车发展的利好政策，某市一汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为5亿元，2020年利润为7.2亿元． （1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率； （2）若2021年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2021年的利润能否超过8.6亿元？ 【分析】（1）设该企业从2018年到2020年年利润平均增长率为．根据题意得，解方程即可求得增长率； （2）根据该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率来解答． 【解答】解：（1）设该企业从2018年到2020年年利润平均增长率为．根据题意得： ， 解得， （不合题意，舍去）． 答：该企业从2018年到2020年年利润平均增长率为； （2）如果2021年仍保持相同的年平均增长率，那么2021年该企业年利润为： ， ， 答：该企业2021年的利润能超过8.6亿元． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 3．（2023秋•新城区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率； （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？ 【分析】（1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价元销售，利润为元，列出二次函数求最值解题． 【解答】解：（1）每天销售量的平均增长率为，根据题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 每天销售量的平均增长率为； （2）设将钥匙扣每件降价元销售，利润为元， ， ， 当时，， 将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是924.5元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题，分析题意列出等量关系是解题的关键． 4．（2023秋•鹤山市期中）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车． （1）据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价元，平均每月全天包车数增加次，尽可能的减少租车次数，当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？ 【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为，根据三月份的全天包车数为25次，五月份的全天包车数达到64次列出方程求解即可； （2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为， 根据题意可得， 解得：，（不合题意舍去）， 全天包车数的月平均增长率为； （2）根据题意可得：， 化简得：， 解得：，， 尽可能的减少租车次数， ， 当租金降价10元时，公司每月获得租金总额为8800元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键． 5．（2023秋•永善县期中）老旧小区改造是党中央国务院提出的一项民生工程，是提升城市档次、增强人民群众获得感和幸福感的惠民工程．某市改造老旧小区，2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？ 【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用2022年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在2023年可以改造个老旧小区，根据2023年改造老旧小区所需资金不多于2023年投入资金金额，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：， 不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为； （2）设该市在2023年可以改造个老旧小区， 依题意得：， 解得， 又为整数， 的最大值为18． 答：该市在2023年最多可以改造18个老旧小区． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 6．（2023秋•鹿寨县期中）随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2021年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2019年底全市汽车拥有量为10万辆． （1）求2019年底至2021年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）按照这个增长速度，2022年底全市汽车拥有量为多少辆？ 【分析】（1）设2019年底至2021年底我市汽车拥有量的年平均增长率为，2019年底全市汽车拥有量为10万辆，到2021年底全市汽车拥有量为14.4万辆，据此列出关于的一元二次方程，解方程即可； （2）在（1）的结论下，即可求得2022年讴全市汽车拥有量． 【解答】解：（1）设2019年底至2021年底我市汽车拥有量的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：2019年底至2021年底我市汽车拥有量的年平均增长率为． （2）2022年底全市汽车拥有量为：（万辆）， 答：2022年底全市汽车拥有量为17.28万辆． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解答本题的关键． 7．（2023秋•黔东南州期中）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车64辆，4月份销售了100辆． （1）若该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城3月份售出多少辆自行车？ （2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进一批两种规格的自行车共100辆，已知型车的进价为500元辆，售价为700元辆，型车进价为1000元辆，售价为1300元辆．假设所购进车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商城购进型车不超过多少辆？ 【分析】（1）设该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率为，根据该商城2月及4月自行车的销量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，即可得出结论； （2）设商城购进型车辆，则该商城购进型车辆，根据总利润每辆自行车的利润销售数量结合利润不低于26000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ， 答：该商城3月份售出80辆自行车； （2）设商城购进型车辆，则该商城购进型车辆， 根据题意得：， 解得：， 答：该商城购进型车不超过40辆． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 8．（2023春•芝罘区期中）随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车 （1）据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？ 【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为，根据三月份的全天包车数为25次，五月份的全天包车数达到64次列出方程求解即可； （2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为， 根据题意可得， 解得：，（不合题意舍去）， 全天包车数的月平均增长率为． （2）设租金降价元， 根据题意可得：， 化简得：， 解得：，， 尽可能的减少租车次数， ， 当租金降价10元时，公司每月获得租金总额为8800元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键． 9．（2023秋•渝北区校级期中）某工厂共有300台机器出租，去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元台． （1）求每台机器租金的年增长率； （2）据预测，当机器的租金定为121元台时，该工厂可将机器全部租出；若每台机器的租金每增加1元，就要少租出2台．租出的机器该工厂每天每台需支出41元的维护费用，未租出的机器该工厂每天每台需支出20元的保管费用．当每台机器的租金上涨多少元时，该工厂每天的收益为25250元？ 【分析】（1）设每台机器租金的年增长率为，根据“去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元台”列出方程并解答； （2）设每台机器的租金上涨元，该工厂每天的收益为25250元，则每天可租出台，利用日收益每台设备的日租金每天可租出数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出每台机器的租金． 【解答】解：（1）设每台机器租金的年增长率为， 由题意，得． 解得． 答：每台机器租金的年增长率为． （2）设每台机器的租金上涨元， 由题意，得． 整理，得． 解得． 答：当每台机器的租金上涨25元时，该工厂每天的收益为25250元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一元二次方程的应用——商品销售问题 一．解答题（共9小题） 1．（2023秋•乾安县期中）超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每箱降价1元，每天可多售5箱，若设每箱降价元． （1）根据题意，填表： （2）若每天盈利1200元，则每箱应降价多少元？ 每箱利润（元 销售量（箱 利润（元 降价前 30 20 600 降价后 ⑩　　 ②　　 【分析】（1）降价1元，可多售出5箱，降价元，可多售出箱，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数； （2）等量关系为：每箱商品的盈利可卖出商品的箱数，把相关数值代入计算得到合适的解即可． 【解答】解：（1）： 每箱利润（元 销售量（箱 利润（元 降价前 30 20 600 降价后 ① ② 故答案为：①；②； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：每箱应降价20元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利1200的等量关系是解决本题的关键． 2．（2023秋•任丘市校级期中）某服装专卖店款衣服的进价为100元件，经市场调查发现，当款衣服的定价为140元件时，每天可售出20件，在此基础上，款衣服的定价每件降价3元，该服装店每天就会多售出6件，设款衣服每件降价元． （1）款衣服每件的利润为 　　元，每天的销量为 　　件；（用含的代数式表示） （2）若该服装专卖店每天销售款衣服获利1200元，为了更多地让利于顾客，款衣服的定价应为多少元？ （3）该服装专卖店每天销售款衣服的总利润可能达到1450元吗？请说明理由． 【分析】（1）根据利润售价进价可得出利润，根据“款衣服的定价每件降价3元，该服装店每天就会多售出6件”可得出每天的销量； （2）根据获利1200元，可得出关于的方程，解之即可； （3）根据（2）中的式子可得出与的函数关系式，再根据二次函数的性质可得出的最大值，再跟1450元进行对比即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，款衣服每件的利润为：（元， 每天的销量为：（件； 故答案为：；； （2）根据题意可知，， 解得或， 为了更多地让利于顾客， 取20， （元， 款衣服的定价应为120元； （3）不可能，理由如下：设款衣服的总利润为元， ， ， 当时，的最大值为1250元， ， 该服装专卖店每天销售款衣服的总利润不可能达到1450元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，一元二次函数的应用，根据题意得出关于的关系式是解题关键． 3．（2023秋•海州区校级期中）我市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种水果，计划以每千克60元的价格销售，现决定降价销售，当降价不大于4元时，水果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（x＞0）满足一次函数关系，其图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）y与x之间的函数关系式为 　y＝10x+100　，自变量x的取值范围是 　0＜x≤20　； （2）商贸公司要想获利2210元，求这种水果每千克应降价多少元？ 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（3，130），（4，140）代入，求出k和b的值即可； （2）根据总利润＝单件利润×数量，列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（3，130），（4，140）代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100， ∵60﹣x≥40，x＞0， ∴0＜x≤20， 故答案为：y＝10x+100，0＜x≤20； （2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝2210， 整理得：x2﹣10x+21＝0， 解得：x1＝3，x2＝7， 答：这种水果每千克应降价3元或7元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 4．（2023秋•秦都区期中）陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．某商户从眉县购进一批猕猴桃进行销售（只按整箱销售不零售），每箱进价为80元，当销售价为120元箱时，每天可售出20箱，经市场调查发现，如果每箱猕猴桃每降价1元，那么平均每天可多售出2箱． （1）每箱猕猴桃降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （2）商家平均每天的盈利能达到1800元吗？请说明你的理由． 【分析】（1）设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）假设商家平均每天的盈利能达到1800元，设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程无解，进而可得出假设不成立，即商家平均每天的盈利不能达到1800元． 【解答】解：（1）设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每箱猕猴桃降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元； （2）商家平均每天的盈利不能达到1800元，理由如下： 假设商家平均每天的盈利能达到1800元，设每箱猕猴桃降价元，则每箱的销售利润为元，平均每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， △， 原方程无解， 假设不成立，即商家平均每天的盈利不能达到1800元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△时，方程没有实数根”． 5．（2023秋•平川区期中）党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱．（1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量． （2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？ 【分析】（1）利用每天的销售量每箱“特色农产品”的售价降低的钱数，即可求出结论； （2）设每箱“土特产”的售价降低了元，则每箱“特色农产品”的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可得出结论． 【解答】解：（1）（箱． 答：每天的销售为39箱； （2）设每箱“特色农产品”的售价降低了元，则每箱“特色农产品”的销售利润为元，每天可售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又为尽快减少库存， ． 答：每箱“特色农产品”的售价需降低20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2023秋•莲池区校级期中）某厂家专门为产品生产包装盒，该厂有一种特制的矩形包装盒的原材料，长，宽为． （1）已知该公司2020年销售这种原材料制作的包装盒的销售额为5000万元，并预计2022年的销售额为7200万元，假设该厂在这两年中的销售额的增长率相同，设为，那么根据题意列出的方程为 　　； （2）该厂技术工人先将矩形原材料剪去两个全等的正方形，又剪去了两个全等的矩形，剩余部分制成了底面积为的有盖包装盒（边缘损耗忽略不计），则剪去的正方形边长为 　　； （3）已知该矩形包装盒的生产成本为40元个，市场调研发现：如果以100元个销售，每天可以售出200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为24000元？ 【分析】（1）设该厂在这两年中的销售额的增长率为，则2022年的销售额可表示为，从而可得答案； （2）根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可． （3）首先设每个售价为元，利用销售量每个利润元列出方程求解，在解出的值后，要考虑尽可能减少库存进行取舍． 【解答】解：（1）设该厂在这两年中的销售额的增长率为，则． （2）设底面长为，宽为，正方形的边长为，根据题意得： ， 解得，，代入中，得：， 整理得：， 解得，（舍去）， 答：剪去的正方形的边长为． （3）设每个售价为元，则销售量为个，则， 整理得：， 解得：，， 但是要尽可能减少库存， 不符合题意，取， 答：该厂家将售价定为每个70元时，每天的销售利润为24000元． 【点评】本题考查的是长方体的展开图，一元二次方程的应用，确定相等关系，熟练利用一元二次方程解集增长率，面积，销售利润问题是解本题的关键． 7．（2022秋•九台区期中）某商店以20元千克的价格新进一批商品，经调查发现，销量（千克）与销售价格（千克）之间存在如图所示的函数关系． （1）求与的函数表达式； （2）要使销售利润达到800元，销售价格应定为每千克多少元？ 【分析】（1）当，销售量为60得出函数解析式；当时，利用待定系数法即可得到与的函数表达式； （2）根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价． 【解答】解：（1）当时，； 当时，设与的函数表达式为， 把，代入， 可得， 解得， ， 与的函数表达式为； （2）若销售利润达到800元， 若，则， 解得，， 若，则， 解得（不合题意）， 要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解方程即可． 8．（2023秋•平川区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】设每千克水果应涨价元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可． 【解答】解：设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额每千克盈利日销售量． 9．（2023秋•中原区校级期中）新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 【分析】销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解． 【解答】解：设每台冰箱的定价应为元，依题意得 解方程得 经检验符合题意． 答：每台冰箱的定价应为2750元． 【点评】本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 一元二次方程的应用——图形面积问题 一．解答题（共6小题） 1．（2023秋•盐都区期中）某小区有一块长，宽的矩形空地，如图所示．社区计划在这块空地上建一个小型的停车场，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． （1）求通道的宽是多少？ （2）该停车场共有65个车位，据调查发现：当每个车位的日租金为15元时，可全部租出；当每个车位的日租金每上涨1元时，就会少租出1个车位．当每个车位的日租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为1200元？ 【分析】（1）设通道的宽是 ，依题意，列式得，求解即可； （2）设每个车位的日租金上涨元，则出租的车位为个，，求解后注意题干条件进行筛选，作答即可． 【解答】解：（1）设通道的宽是 ， 由题意得：， 整理得， 解得：，（不合题意舍去）， 所以通道的宽是． （2）设每个车位的日租金上涨元，则出租的车位为个， 由题意得：， 解得：，， 因为要优惠大众，所以舍去． 所以设每个车位的日租金上涨5元，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为1200元． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2023秋•梁子湖区期中）白龙蓝莓基地计划将如图所示的一块长80米，宽40米的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为存储区，其余空地为种植区，分别种植，，三种不同品种的蓝莓．存储区的一边与育苗区等宽，另一边长是20米，，，三种蓝莓每平方米的产值分别为100元、200元、300元． （1）设育苗区的边长为 ，用含的代数式分别表示下列各量： 品种的种植面积是 　　，品种的种植面积是 　　，品种的种植面积是 　　； （2）育苗区的边长为多少时，，两种蓝莓的总产值相等； （3）若，两种蓝莓的种植面积之和不超过，求，，三种蓝莓的总产值之和的最大值是多少百元． 【分析】（1）利用矩形的面积长宽，即可用含的代数式表示出，，三种蓝莓的种植面积； （2）由，两种蓝莓的总产值相等，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）由，两种蓝莓的种植面积之和不超过，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设，，三种蓝莓的总产值之和为元，利用，，三种蓝莓的总产值品种蓝莓的种植面积品种蓝莓的种植面积品种蓝莓的种植面积，可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）根据题意得：品种的种植面积是； 品种的种植面积是； 品种的种植面积是． 故答案为：，，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：育苗区的边长为20米时，，两种蓝莓的总产值相等； （3）根据题意得：， ， 解得：． 设，，三种蓝莓的总产值之和为元，则， 即， ， 当时，随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值． 答：，，三种蓝莓的总产值之和的最大值是4096百元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含含的代数式表示出，，三种蓝莓的种植面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 3．（2023秋•沙洋县期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场．中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1米宽的门，若两个鸡场总面积为96平方米， （1）求的长． （2）两个鸡场的总面积可以为110平方米吗，若行求出的长，若不行请说明理由． 【分析】（1）设的长为米，则边的长为米，根据图形面积列方程解答； （2）由两个鸡场的总面积可以为110平方米列得，计算判别式得结果小于零，得到方程无根，即面积不能为110平方米． 【解答】解：（1）设的长为米，则边的长为米， 由题意，得， 解得：，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， 符合题意， 答：的长为8米； （2）由题意得， 整理得， △， 方程无实数根， 两个鸡场的总面积不可以为110平方米． 【点评】此题考查了一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式，正确理解题意列得方程是解题的关键． 4．（2023秋•蓬江区校级期中）今年朝阳区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在如图宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【分析】设道路宽为米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了米，进而即可列出方程，求出答案． 【解答】解：设道路的宽米， 则， 解得：，（舍去）， 答：道路的宽是2米． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 5．（2023秋•乐昌市校级期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的宽． 【分析】设这个茶园的宽为时，则另一边的长度为，根据茶园的面积为，列出方程并解答． 【解答】解：设这个茶园的宽为时，则另一边的长度为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意舍去； 当时，，符合题意． 答：这个茶园的宽为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 6．（2023秋•中山市校级期中）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设的长度为米，则的长度为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为40米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）设的长为米，则的长为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为50米，即可得出关于的一元二次方程，由该方程的根的判别式△，即可得出方程无解，即不能围成面积为50米的花圃． 【解答】解：（1）设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． ， 舍去． （米 答：的长为10米． （2）不能围成，理由如下： 设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 整理得：． △， 该方程无实数根， 不能围成面积为50米的花圃． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一元二次方程的应用——动态几何问题 一．解答题（共4小题） 1．（2023秋•楚雄州期中）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． （1）如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ （2）如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 【分析】（1）设经过秒钟，的面积等于的三分之一，分别表示出线段和线段的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可； （2）根据勾股定理列出方程求解即可； 【解答】解：（1）设秒后，的面积等于的三分之一，根据题意得： ， 解得：或4． 答：2秒或4秒后，的面积等于的三分之一． （2）设秒时，、相距6厘米，根据题意得： ， 解得：（舍去）或． 答：秒时，、相距6厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段和的长是解答本题的关键． 2．（2022秋•西安期中）如图，中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，同时动点从点出发以的速度向点移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为． （1）运动几秒时，为等腰三角形？ （2）为何值时，的面积等于面积的？ （3）在运动过程中，的长度能否为？试说明理由． 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）根据的面积等于面积的，列出关于的方程，解方程即可； （3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，的长度能否为． 【解答】解：经过秒后，，， （1）若为等腰三角形， 则，即， 解得：， 运动秒时，为等腰三角形； （2）当的面积等于面积的时， 即， 整理得：， 解得：，， 经过或秒后，的面积等于面积的； （3）， ， 整理得：， △， 此方程无实数解， 在运动过程中，的长度不能为． 【点评】本题考查了动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，特别是（2）注意分类讨论． 3．（2022秋•陆河县校级期中）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离是． 【分析】（1）设、两点从出发开始到秒时四边形的面积为，则，，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解； （2）作，垂足为，设运动时间为秒，用表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【解答】解：（1）设、两点从出发开始到秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， （2）设，两点从出发经过秒时，点，间的距离是， 作，垂足为， 则，， ，， ， 由勾股定理，得， 解得，． 答：（1）、两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点和点的距离是． 【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：（上底下底）高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理． 4．（2023秋•晋州市期中）如图，在矩形中，，为正数，点是的中点，点是线段上的一个动点（不与点重合），点是的延长线上的一个动点（不与点重合），且，连接，，与交于点．设，的面积为．的面积为，并设． （1）嘉淇认为，能用含有的式子表示，她的推理过程如下，请你补充完整： ，且　　（用含和的式子表示）， 　　（用含和的式子表示）． 　　（用含的式子表示）． （2）若，当时，求的长度（即的值）； （3）若，请结合值的不同范围，写出的长度是多少？（结合表格进行分析，直接填写表格下面的三个空即可） 的取值范围 的长度 不存在 ▲1 ▲2 ①　　； ②▲1处填写：　　； ③▲2处填写：　　． 【分析】（1）根据嘉淇的思路，分别用含和的式子表示即可； （2）当 时，解方程求出的值，再由是的中点，点是线段上的动点知，由此确定的长度即可； （3）当 时，解方程求出的值，再根据及的值列出关于的不等式，可确定的值，再进一步根据值的不同范围确定的长度． 【解答】解：（1）四边形是矩形，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：，，； （2）当 时，有， 解得，． 即或5， 是的中点，点是线段上的一个动点， ，则． 所以， （3）当 时，有， 解得，． 即或6． 是的中点， ， 又， 当时，有，解得， 当时，有，解得， ， 的值为12， 当时，，故舍去， 当时，，， 或6． 故答案为：①12；②2；③2或6 【点评】本题是代数与几何的综合，考查了矩形的性质，三角形的面积，线段的中点，一元二次方程的应用，解一元一次不等式等知识，根据三角形的面积公式列出关于的方程是解答本题的关键，注意分类讨论思想的运用． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$