解三角形6课件-2025届高三数学一轮复习

延迟符 ——浅谈高考中的解三角形问题 识得东风面, 方解此中意 1 考情分析 试题分析 高考预测 备考建议 说题内容 考题 题号 题型 难度 分值 考点 考查要求 核心素养 2020年全国新高考I卷 15 填空题 中 5 实际应用 综合性 应用性 数学运算、逻辑推理 2021年全国新高考I卷 19 解答题 中 12 正、余弦定理，齐次方程、求边、求角 综合性 数学运算、逻辑推理 2022年全国新高考I卷 18 解答题 中 12 正、余弦定理， 求角、求最小值 综合性 创新性 数学运算、逻辑推理 2023年全国新高考I卷 17 解答题 中 10 正弦定理，同角公式， 求角、求高 综合性 数学运算、逻辑推理 2024年全国新高考I卷 15 解答题 中 13 正、余弦定理，同角公式， 求角，求边 综合性 数学运算、逻辑推理 一.考情分析 题型：一大一小或一大 分值：10-17分 考查内容：以正、余弦定理为工具求解三角形的边角关系，进而实现对其余变量的求解 命题立意 基础知识：三角函数，三角恒等变换，正、余弦定理及其变形公式 数学思想：函数与方程思想、转化与化归思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想 核心素养：需要学生具有较高的逻辑推理能力和数学运算能力 二.试题分析 正弦定理 角化边 2020年全国 2卷 (17题) 正弦的齐次式 第一类:灵活运用正余弦定理进行边角互化 利用正弦定理化边为角 边的一次齐次式 二.试题分析 （易出错） A,B,C三个角同时存在 消角 延伸拓展： 可以用三角形中的射影定理 c=a · cosB + b · cosA 代入消c,直接得到2bcosA=0. 因为b>0,所以cosA=0 二.试题分析 边化角与角化边的变换原则 在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系，若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理，若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则如下: (1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”,然后进行代数式变形; (2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”,然后进行三角恒等变换; (3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”,然后进行代数式变形; (4)若式子中只含有边和余弦，可以考虑射影定理,然后进行代数式变形; (5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理。 解题策略 若BD⊥AC，求BD的长（2023年新高考I卷17题） 2021年新高考I卷，19题 二.试题分析 第二类：与平面几何图形相结合 D为中点（2023年新课标II卷17题） 寻求a,b,c 的关系， 即找出a,b,c满足的 两个等式，另一个 在哪里？ AD为角平分线（2023年全国甲卷16题） 出题背景是斯特瓦尔特定理 溯源：必修2课本53页 二.试题分析 特殊情形：(1)当D为中点时，得到中线长定理（阿波罗尼斯奥定理） 公共角或邻补角 中线长定理 解题策略 寻根：必修2课本26页 溯源：选修1课本73页 ∠BAD=∠CAD 解题策略 二.试题分析 （2）当AD为角平分线时，利用性质得到 角平分线长公式（斯库顿定理） （3）当AD为高线时， 注意角C 的范围 注意角B的范围 利用平方关系 二.试题分析 溯源：必修2课本54页 由 得 利用三角形内角和 等于 ，求出 . 由正弦定理， 得 利用两角和的正弦 公式求出 得出 与 ， 与 的关系，消去 从而 , 由已知 的面积为 ，得 所以 二.试题分析 (2) 法一： 故， 由（1）可知， 从而 提公因式 法三： 选角B 二.试题分析 方程思想 选角A 法二 先将角的正弦代入面积公式，得到关于两条边关系的一个方程；再由正弦定理，得到另一个方程，组成方程组，即可求解。 由正弦定理，将面积公式进一步变形，得到与三个角和一条边，或者三个角与外接圆半径的形式，记忆时注意结构形式 溯源：必修2课本54页 选角C 法四 二.试题分析 同法三选择角C,求出a ,b 再利用余弦定理得到边c. “多思少算” 综上我们不难得到这样的结论:单从计算难易程度考虑如果能用正弦定理联立形成方程组就要优先用正弦定理(弃用余弦定理);数值较为复杂的代入计算如果能前期带入实现“提约化”就要尽早代入以实现“计算效益”最大化 几何法：由特殊角B作等边三角形， 再由正弦定理得CD,表示出总面积 法五： 法六： B C C B 二.试题分析 几何法：由特殊角B作直角三角形得AD,BC 转化 多角度、多视野看问题 变式训练： 二.试题分析 变式一： 已知 求面积 变式二：已知c=2,求 的周长 解题策略 (1)求三角形面积,一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边，再求面积; (2)已知三角形面积解三角形,常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系; (3)已知与三角形面积有关的关系式,常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系，再解三角形. (4)观察图形，若有特殊角，可以利用初中知识，构造特殊三角形，以公共边或角为桥梁，找到三角形三边之间的关系。 1.2022年新高考I卷，18题 通法：边化角，消元+不等式（三角换元） 2.2020年全国II卷，17题 二.试题分析 解题策略 1.余弦定理+基本不等式：将所求用边表示. 2.正弦定理+三角函数：将所求用角表示，利用三角函数的有界性. 3.三角换元法：利用换元代替求解. 第三类：最值、范围问题 二、解三角形在实际问题中的应用 一、判断三角形的形状 遇冷 题型 近五年全国Ⅰ卷 我预测2025年高考中解三角形的题仍以中档题为主，以解答题并且以求值的形式出现的概率较大，可能继续与平面图形相结合来进行考查。 预测题型 遇冷问题在复习的过程中仍要重视 三.高考预测 四、追本溯源动力不足 二、题型特点记忆不清 一、基础知识掌握不牢 三、做题规范意识不够 失分 原因 解三角形问题是高考解答题中的基础问题，是学生得分的重要来源，学生不仅要会做还要快做，调查分析学生在解三角形方面失分的原因如下： 四.备考建议 对此提出以下几点备考建议: 1.注重定理生成过程，重视知识本质 2.树立经典三角模型意识，加强知识间联系与整合 3.夯实直观几何素养，加强能力运算培养 4.重视思维的灵活度，提升深度复习质量 5.明晰学生易犯错误，规范解题过程 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！ ——毕达哥拉斯 从教材中生根， 在变式中生长 在高考中生成。 谢谢 敬请各位老师批评指正！ $$