专题02 不等式的性质与解法（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

高一沪教版（2020）数学上册期中考点大串讲 串讲02 等式与不等式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 1.一元一次方程:ax =b(a≠0) (1)当a≠0时，方程唯一解:x= ； (2)当a=0且b≠0时，方程无解; (3)当a=0且b=0时，方程有无穷多个解. 2.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：x＝ （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－ ； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 考点透视 3.韦达定理：如果一元二次方程 的两个根为x1，x2，由由一元二次方程的求根公式得： 那么可推得: 这是一元二次方程根与系数的关系. 考点透视 4.一元二次方程根的分布(a>0) 考点透视 4.一元二次方程根的分布(a>0) 考点透视 5.不等式的性质 性质 内容 注意 对称性 a>b⇔b<a;a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b,b>c⇒a>c; a<b,b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc; a>b,c<0⇒ac<bc c的 符号 移项法则 a+b>c⇔a>c-b 可逆 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 可乘方性 a>b>0,n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0⇒ > (n∈N,n≥2) 同正 考点透视 6.一元一次不等式(组)的求解：a·x>b(a≠0) (1)若a>0,则 ; (2)若a<0,则 考点透视 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象       ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异实根x1,x2 (x1<x2) 有两个相等实根x1=x2=-   没有实根 ax2+bx+c>0(a>0)的解 集 {x|x<x1或x>x2}  x x≠-   R ax2+bx+c<0(a>0)的解 集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 7.一元二次不等式的解法 考点透视 8.分式不等式的解法 1)  >0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0); 2)  ≥0(≤0)⇔  9.绝对值不等式的解法 1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2; 2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x); 3)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x); 考点透视 4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝 对值符号求解,也可以用图象法求解. 10.平均值不等式、常用不等式:(一正、二定、三相等) (1) a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立;(积为定值，和有最小) (2) ，当且仅当a=b时等号成立;(和为定值，积有最大) 一般地: ≤ ≤ 为算术平均数， 为几何平均数) 考点透视 11.三角不等式: (1)|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a·b≥0时，等号成立; (2) |a+b|≥||a|-|b|，当且仅当a.b≤0时，等号成立; 题型剖析 1、含参数的方程 a≠1 题型剖析 2、韦达定理 1 题型剖析 2、韦达定理 题型剖析 2、韦达定理 题型剖析 2、韦达定理 题型剖析 2、韦达定理 题型剖析 3、一元二次方程根的分布 题型剖析 3、一元二次方程根的分布 题型剖析 3、一元二次方程根的分布 题型剖析 3、一元二次方程根的分布 题型剖析 4、比较两个式子的大小 题型剖析 4、比较两个式子的大小 题型剖析 5、证明不等式 题型剖析 5、证明不等式 题型剖析 6、利用不等式的性质求代数式范围 题型剖析 6、利用不等式的性质求代数式范围 题型剖析 6、利用不等式的性质求代数式范围 题型剖析 7、不等式的解法 题型剖析 7、不等式的解法 题型剖析 7、不等式的解法 题型剖析 8、含参数的不等式的解法 题型剖析 8、含参数的不等式的解法 题型剖析 9、恒成立与有解问题 题型剖析 9、恒成立与有解问题 题型剖析 10、利用基本不等式求最值 题型剖析 10、利用基本不等式求最值 题型剖析 10、利用基本不等式求最值 题型剖析 10、利用基本不等式求最值 题型剖析 10、利用基本不等式求最值 题型剖析 10、利用基本不等式求最值 题型剖析 11、利用基本不等式证明 题型剖析 11、利用基本不等式证明 题型剖析 11、利用基本不等式证明 题型剖析 12、基本不等式的应用 题型剖析 13、三角不等式 易错混淆 易错点1：误用不等式的性质而致错 A 易错混淆 易错点2：求代数式的范围忽略字母的相互限制 易错混淆 易错点3：不等式恒成立时忽略对二次项系数的符号讨论 易错混淆 易错点4：解可化为一元二次不等式的分式不等式出错 易错混淆 易错点5：利用不等式求最值忽略“取等号”的条件 易错混淆 易错点6：连续使用基本不等式忽视等号成立的一致性 押题预测 [-3,5] 押题预测 [-∞,-3] 押题预测 （-3,0） 押题预测 押题预测 a≥4 押题预测 B 押题预测 押题预测 D 押题预测 A 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【解析】结合题意知．即解得， 所以实数k的取值范围是. $$