第10课 有理数的混合运算-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第10课 有理数的混合运算 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握有理数混合运算的法则，会进行简单的有理数混合运算. 2.会灵活运用运算律简化运算. 3.会利用有理数的混合运算解决简单实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 有理数的混合运算 有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 如果有括号，先进行括号里的运算 3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； 4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 　　 ( 能力拓展 )考点01 有理数的混合运算 【典例1】计算： （1）3×（﹣5）+4； （2）． 【即学即练1】计算： （1）（﹣10）﹣（﹣22）+（﹣8）﹣13； （2）． （3）； （4）． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列算式的结果等于﹣6的是（　　） A．12﹣（﹣2） B．12÷（﹣2） C．4+（﹣2） D．4×（﹣2） 2．下列各式中，值相等的是（　　） A．﹣22与（﹣2）2 B．﹣|﹣1|与﹣（﹣1） C．﹣2+3与﹣1+4 D．2×3与﹣2×（﹣3） 3．在下列选项中，计算结果最大的是（　　） A．8+（﹣4） B．8﹣（﹣4） C．8×（﹣4） D．8÷（﹣4） 4．下列四个式子中，计算结果最小的是（　　） A．（﹣3﹣2）2 B．（﹣3）×（﹣2）2 C．﹣32÷（﹣2）2 D．﹣32﹣23 5．下面四个算式的计算结果为负数的是（　　） A．（﹣1）﹣（﹣2） B．（﹣1）×（﹣2） C．（﹣1）+（﹣2） D．（﹣1）÷（﹣2） 6．下列计算正确的是（　　） A．﹣3+2＝﹣5 B．（﹣3）×（﹣5）＝﹣15 C．﹣（﹣22）＝﹣4 D．﹣（﹣3）2＝﹣9 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0 8．（﹣2）2+22＝（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 9．计算（﹣+）×12＝6﹣4+3时，这个运算运用了（　　） A．加法交换律 B．分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 10．下列运算正确的是（　　） A．﹣22÷（﹣2）2＝1 B． C． D． 11．下列运算正确的是（　　） A． B．﹣3﹣5＝﹣3+（﹣5）＝﹣8 C．3÷ D．﹣7﹣2×5＝﹣9×5＝﹣45 12．计算（﹣8）×3÷（﹣2）2得（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣12 D．12 13．计算：（﹣2）2+5＝　　． 14．计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝　　． 15．高度每增加1公里，气温大约降低8℃，现在地面气温是12℃，那么4公里高空的温度是　　℃． 16．计算： （1）﹣1﹣2+5； （2）（﹣1）2024×5+（﹣8）÷4； （3）20﹣11+（﹣10）﹣（﹣11）；（4）|﹣2|； （5）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4； （6）． 17．计算： （1）22+（﹣31）﹣（﹣13）； （2）； （3）； （4）（简便方法计算）． 题组B 能力提升练 18．我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点A向左平移5个单位到点B，可以描述这一变化过程的算式为（　　） A．2+（﹣5） B．2﹣（﹣5） C．2×（﹣5） D．2÷（﹣5） 19．定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则（﹣2）※（﹣1）的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 20．下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 21．两则算式：（1）9﹣（﹣7）＝9+7＝16；（2）．这两则算式的计算过程所体现的数学思想是 　 　． 22．下列算式①（22×32）3；②（2×62）×（3×63）；③63+63；④（22）3×（33）2中，结果等于66的有　 　． 23．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，则﹣2mn+﹣x＝　　． 34．计算 （1）﹣5+6﹣7+8； （2）； （3）； （4）（用简便方法计算）； （5）﹣22﹣（﹣3）3×（﹣1）4； （6）． 题组C 培优拔尖练 25．如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果y是（　　） A．25 B．30 C．45 D．40 26．为了求1+2+22+23+⋯+22022的值，可令S＝1+2+22+23+⋯+22022，则2S＝2+22+23+⋯+22023，因此2S﹣S＝22023﹣1，所以1+2+22+23+⋯+22022＝22023﹣1，仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52022的值是（　　） A．52022﹣1 B．52023﹣1 C． D． 27．计算：1+2﹣22﹣23﹣24﹣25…﹣22019+22020＝　　． 28．现有某个数学运算符号“△”能使下列算式成立：△＝，△＝，△＝，则△＝　　． 29．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对，都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　　“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （3）如果（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（﹣5）mn的值． 30．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： （+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8； （﹣3）※（+4）＝﹣7；（+5）※（﹣6）＝﹣11； （0）※（+8）＝8；（0）※（﹣8）＝8；（﹣6）※（0）＝6；（+6）※（0）＝6． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）观察以上式子，类比计算： ①＝　　， ②＝　　； （2）计算：（﹣2）※[0※（﹣1）]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） （3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算： 的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课 有理数的混合运算 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握有理数混合运算的法则，会进行简单的有理数混合运算. 2.会灵活运用运算律简化运算. 3.会利用有理数的混合运算解决简单实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 有理数的混合运算 有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 如果有括号，先进行括号里的运算 3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； 4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 　　 ( 能力拓展 )考点01 有理数的混合运算 【典例1】计算： （1）3×（﹣5）+4； （2）． 【思路点拨】（1）先算乘法，再算加法即可； （2）先算乘方及括号里面的，再算乘除，最后算加减即可． 【解析】解：（1）原式＝﹣15+4 ＝﹣11； （2）原式＝﹣16+4×﹣×15 ＝﹣16+14﹣×15 ＝﹣2﹣1 ＝﹣3． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【即学即练1】计算： （1）（﹣10）﹣（﹣22）+（﹣8）﹣13； （2）． （3）； （4）． 【思路点拨】（1）先去括号，再计算有理数的加减法即可得； （2）先计算乘方、化简绝对值，再计算乘除法，然后计算加减法即可得． （3）先将有理数的减法转化为加法，再根据有理数加法交换律和结合律简便计算即可； （4）先算乘方，运用乘法分配律计算括号内，然后根据有理数的加减法计算即可． 【解析】解：（1）原式＝﹣10+22﹣8﹣13 ＝12﹣8﹣13 ＝4﹣13 ＝﹣9； （2）原式＝﹣4﹣3×4+9×（﹣2） ＝﹣4﹣12﹣18 ＝﹣34． （3） ＝ ＝ ＝3+3 ＝6； （4） ＝ ＝9﹣（﹣33+10） ＝32． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列算式的结果等于﹣6的是（　　） A．12﹣（﹣2） B．12÷（﹣2） C．4+（﹣2） D．4×（﹣2） 【思路点拨】根据有理数的加法、减法、乘法和除法法则计算出结果即可求解． 【解析】解：12﹣（﹣2）＝12+2＝14≠﹣6， 12÷（﹣2）＝﹣6， 4+（﹣2）＝4﹣2＝2≠﹣6， 4×（﹣2）＝﹣8≠﹣6， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握相关运算． 2．下列各式中，值相等的是（　　） A．﹣22与（﹣2）2 B．﹣|﹣1|与﹣（﹣1） C．﹣2+3与﹣1+4 D．2×3与﹣2×（﹣3） 【思路点拨】逐项计算，比较，即可得到答案． 【解析】解：﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故A不符合题意； ﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，故B不符合题意； ﹣2+3＝1，﹣1+4＝3，故C不符合题意； 2×3＝6，﹣2×（﹣3）＝6，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关的概念和运算法则． 3．在下列选项中，计算结果最大的是（　　） A．8+（﹣4） B．8﹣（﹣4） C．8×（﹣4） D．8÷（﹣4） 【思路点拨】依次对每个选项进行计算，再进行大小比较即可得到答案． 【解析】解：A．8+（﹣4）＝4， B．8﹣（﹣4）＝8+4＝12， C．8×（﹣4）＝﹣32， D．8÷（﹣4）＝﹣2， ∵12＞4＞﹣2＞﹣32， 故计算结果最大的是12， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的运算和大小比较，解题的关键是掌握有理数的四则运算法则及数的大小比较． 4．下列四个式子中，计算结果最小的是（　　） A．（﹣3﹣2）2 B．（﹣3）×（﹣2）2 C．﹣32÷（﹣2）2 D．﹣32﹣23 【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【解析】解：原式＝（﹣5）2＝25； 原式＝（﹣3）×4＝﹣12； 原式＝﹣9÷4＝﹣； 原式＝﹣9﹣8＝﹣17， 则计算结果最小的是﹣23﹣32＝﹣17． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．下面四个算式的计算结果为负数的是（　　） A．（﹣1）﹣（﹣2） B．（﹣1）×（﹣2） C．（﹣1）+（﹣2） D．（﹣1）÷（﹣2） 【思路点拨】原式各项利用加减乘除法则计算得到结果，即可作出判断． 【解析】解：A、原式＝﹣1+2＝1，不合题意； B、原式＝2，不合题意； C、原式＝﹣3，符合题意； D、原式＝，不合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．下列计算正确的是（　　） A．﹣3+2＝﹣5 B．（﹣3）×（﹣5）＝﹣15 C．﹣（﹣22）＝﹣4 D．﹣（﹣3）2＝﹣9 【思路点拨】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解析】解：A、原式＝﹣1，错误； B、原式＝15，错误； C、原式＝4，错误； D、原式＝﹣9，正确， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0 【思路点拨】根据先计算有理数乘法与再计算减法判断A；根据有理乘除混合运算法则判断B；根据有理数除法法则与乘法分配律判断C；根据有理数混合运算顺序，运算法则判断D． 【解析】解：A．原式＝，选项错误，不符合题意； B．原式＝+5×，选项错误，不符合题意； C．原式＝24×，选项正确，符合题意； D．原式＝24﹣4×9＝24﹣36＝﹣12，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算顺序，运算法则，运算定律是解题的关键． 8．（﹣2）2+22＝（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 【思路点拨】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可． 【解析】解：（﹣2）2+22＝4+4＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键． 9．计算（﹣+）×12＝6﹣4+3时，这个运算运用了（　　） A．加法交换律 B．分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【思路点拨】利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【解析】解：计算（﹣+）×12＝6﹣4+3时，这个运算运用了分配律， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．下列运算正确的是（　　） A．﹣22÷（﹣2）2＝1 B． C． D． 【思路点拨】根据有理数运算的相关法则逐项判断即可． 【解析】解：﹣22÷（﹣2）2＝﹣4÷4＝﹣1，则A不符合题意； （﹣2）3＝（﹣）3＝﹣，则B不符合题意； ﹣5÷×＝﹣5×3×＝﹣9，则C不符合题意； 3×（﹣3.14）﹣6×3.14＝（﹣3﹣6）×3.14＝﹣31.4，则D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 11．下列运算正确的是（　　） A． B．﹣3﹣5＝﹣3+（﹣5）＝﹣8 C．3÷ D．﹣7﹣2×5＝﹣9×5＝﹣45 【思路点拨】根据有理数混合运算的法则进行计算即可． 【解析】解：A、﹣+＝﹣，原计算错误，不符合题意； B、﹣3﹣5＝﹣8，正确，符合题意； C、3÷×＝3××＝，原计算错误，不符合题意； D、﹣7﹣2×5＝﹣7﹣10＝﹣17，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 12．计算（﹣8）×3÷（﹣2）2得（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣12 D．12 【思路点拨】先算乘方，再算乘除法即可． 【解析】解：（﹣8）×3÷（﹣2）2 ＝（﹣8）×3÷4 ＝﹣24÷4 ＝﹣6， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．计算：（﹣2）2+5＝　9　． 【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可求出值． 【解析】解：原式＝4+5＝9， 故答案为：9 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝　0　． 【思路点拨】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可． 【解析】解：3×（﹣1）+|﹣3|＝﹣3+3＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 15．高度每增加1公里，气温大约降低8℃，现在地面气温是12℃，那么4公里高空的温度是　﹣20　℃． 【思路点拨】因为高度每增加1公里，气温大约降低8℃．那么高度增加4公里，气温大约降低8℃×4＝32℃．现在地面气温是12℃，则离地面4公里高空的温度是12℃﹣32℃＝﹣20℃． 【解析】解：由题意得12﹣8×4＝﹣20（℃）． 故答案为：﹣20． 【点睛】此题结合实际问题考查有理数的混合运算，解答此题的关键是理清题意，列出正确的有理数式． 16．计算： （1）﹣1﹣2+5； （2）（﹣1）2024×5+（﹣8）÷4； （3）20﹣11+（﹣10）﹣（﹣11）；（4）|﹣2|； （5）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4； （6）． 【思路点拨】（1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加法即可． （3）打开括号计算即可； （4）利用有理数的混合运算法则即可求解． （5）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减法即可； （6）先计算乘方、利用乘法分配律进行计算，再进行加减法即可． 【解析】解：（1）原式＝﹣3+5 ＝2； （2）原式＝1×5+（﹣8）÷4 ＝5﹣2 ＝3． （3）原式＝20﹣11﹣10+11 ＝10； （4）原式＝ ＝﹣2+1 ＝﹣1． （5）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4 ＝ ＝20+2 ＝22； （6） ＝ ＝﹣1+4+18﹣4+3 ＝20． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17．计算： （1）22+（﹣31）﹣（﹣13）； （2）； （3）； （4）（简便方法计算）． 【思路点拨】（1）先化简，再进行加减运算即可； （2）把除法转为乘法，再算乘法即可； （3）利用乘法的分配律进行运算，最后算加减即可； （4）逆用乘法的分配律进行运算较简便． 【解析】解：（1）22+（﹣31）﹣（﹣13） ＝22+（﹣31）+13 ＝35+（﹣31） ＝4； （2） ＝ ＝； （3） ＝ ＝ ＝﹣6﹣24+18 ＝﹣30+18 ＝﹣12； （4） ＝ ＝999×100 ＝99900． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 题组B 能力提升练 18．我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点A向左平移5个单位到点B，可以描述这一变化过程的算式为（　　） A．2+（﹣5） B．2﹣（﹣5） C．2×（﹣5） D．2÷（﹣5） 【思路点拨】点A向左平移5个单位到点B相当于从2向右平移了（﹣5）个单位，因此表示为2+（﹣5）即可． 【解析】解：物体从点A向左平移5个单位到点B，即2+（﹣5）． 故选：A． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键是看清平移的方向和距离． 19．定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则（﹣2）※（﹣1）的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 【思路点拨】根据题中给出的运算法则得出有理数混合运算的式子，进而可得出结论． 【解析】解：∵a※b＝b2﹣ab， ∴（﹣2）※（﹣1） ＝（﹣1）2﹣（﹣2）×（﹣1） ＝1﹣2 ＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 20．下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据各个选项中的式子，可以判断哪个运用分配律可以带来简便． 【解析】解：选项A中式子不能利用分配律计算，故选项A不符合题意； 选项B中的式子，先转化为乘法，再根据乘法分配律计算，但是计算不简便，故选项B不符合题意； 选项C中的式子，先转化为乘法，再根据乘法分配律计算，可以使得计算简便，故选项C符合题意； 选项D中的式子，根据乘法分配律计算，但是计算不简便，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 21．两则算式：（1）9﹣（﹣7）＝9+7＝16；（2）．这两则算式的计算过程所体现的数学思想是 　转化思想　． 【思路点拨】观察（1）中算式可知是把减法化成加法，（2）是除法化成了乘法，由此可得答案． 【解析】解：∵（1）是根据有理数的减法法则，把减法化成加法；（2）是根据有理数的除法法则，把除法化成了乘法， ∴这两则算式的计算过程所体现的数学思想是转化思想， 故答案为：转化思想． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解混合运算中的转化思想． 22．下列算式①（22×32）3；②（2×62）×（3×63）；③63+63；④（22）3×（33）2中，结果等于66的有　①②④　． 【思路点拨】根据同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、单项式的乘法法则，对各项计算后利用排除法求解． 【解析】解：①（22×32）3＝（62）3＝66； ②（2×62）×（3×63）＝6×65＝66； ③63+63＝2×63； ④（22）3×（33）2＝26×36＝66． 所以结果等于66的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，单项式的乘法，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 23．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，则﹣2mn+﹣x＝　﹣4或0　． 【思路点拨】根据题意得a+b＝0，mn＝1，x＝2或x＝﹣2，代入原式计算可得． 【解析】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2， ∴a+b＝0，mn＝1，x＝2或x＝﹣2， 当x＝2时，原式＝﹣2×1+0﹣2＝﹣4； 当x＝﹣2时，原式＝﹣2×1+0﹣（﹣2）＝0． 综上所述，﹣2mn+﹣x＝﹣4或0． 故答案为：﹣4或0． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，相反数、倒数、绝对值的性质及代数式求值的能力，根据题意得出a+b、mn、x的值是关键． 34．计算 （1）﹣5+6﹣7+8； （2）； （3）； （4）（用简便方法计算）； （5）﹣22﹣（﹣3）3×（﹣1）4； （6）． 【思路点拨】（1）根据有理数加减混合运算进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先算括号里的式子，再计算乘法即可； （4）将改写成，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）先算乘方，再算乘法，最后再算加减即可； （6）先算乘方，再算乘法，最后再算加减即可． 【解析】解：（1）﹣5+6﹣7+8 ＝1﹣7+8 ＝﹣6+8 ＝2； （2） ＝ ＝28﹣30+21 ＝19； （3） ＝ ＝ ＝30×30 ＝900； （4） ＝ ＝ ＝3600﹣1 ＝3599； （5）﹣22﹣（﹣3）3×（﹣1）4 ＝﹣4﹣（﹣27）×1 ＝﹣4+27 ＝23； （6） ＝ ＝ ＝10﹣1 ＝9． 【点睛】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序以及运算定律是解答本题的关键． 题组C 培优拔尖练 25．如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果y是（　　） A．25 B．30 C．45 D．40 【思路点拨】依据程序图按要求列出算式计算即可． 【解析】解：（﹣）×（﹣4）﹣（﹣1）＝2+1＝3＜10， 再次输入运算： 3×（﹣4）﹣（﹣1）＝﹣12+1＝﹣11＜10， 再次输入运算： （﹣11）×（﹣4）﹣（﹣1）＝44+1＝45＞10， ∴输出的结果y45， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是操作型题目，依据程序图按要求列出算式是解题的关键． 26．为了求1+2+22+23+⋯+22022的值，可令S＝1+2+22+23+⋯+22022，则2S＝2+22+23+⋯+22023，因此2S﹣S＝22023﹣1，所以1+2+22+23+⋯+22022＝22023﹣1，仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52022的值是（　　） A．52022﹣1 B．52023﹣1 C． D． 【思路点拨】根据题目中的例子，可以设S＝1+5+52+53+⋯+52022，然后可以得到5S＝5+52+53+⋯+52023，然后作差整理即可得到所求式子的值． 【解析】解：设S＝1+5+52+53+⋯+52022， 则5S＝5+52+53+⋯+52023， ∴5S﹣S＝52023﹣1， ∴4S＝52023﹣1， ∴S＝， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 27．计算：1+2﹣22﹣23﹣24﹣25…﹣22019+22020＝　7　． 【思路点拨】根据有理数乘方的意义结合乘法分配律进行分析计算． 【解析】解：∵﹣22019+22020＝﹣22019+22019×2＝22019（﹣1+2）＝22019； 同理可得：﹣22018+22019＝﹣22018+22018×2＝22018（﹣1+2）＝22018； ﹣22017+22018＝22017； ..． ﹣22+23＝22； ∴1+2﹣22﹣23﹣24﹣25……﹣22019+22020 ＝1+2﹣22﹣23﹣24﹣25……﹣22018+22019 ＝1+2﹣22﹣23﹣24﹣25……﹣22017+22018 ..． ＝1+2﹣22+23 ＝1+2+22 ＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解有理数乘方的运算法则，掌握乘法分配律（a+b）c＝ac+bc探索数字的规律是解题关键． 28．现有某个数学运算符号“△”能使下列算式成立：△＝，△＝，△＝，则△＝　　． 【思路点拨】根据△＝，△＝，△＝，可得每个算式的结果中分母等于△两边的两个分母的积，分子等于△两边的两个分子的和，据此求出△的值是多少即可． 【解析】解：∵△＝，△＝，△＝， 可得每个算式的结果中分母等于△两边的两个分母的积，分子等于△两边的两个分子的和 ∴△＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 29．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对，都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　是　“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （3）如果（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（﹣5）mn的值． 【思路点拨】（1）根据“共生有理数对”的定义，进行求解即可； （2）根据“共生有理数对”的定义，进行判断即可； （3）根据“共生有理数对”的定义求出mn的值，代入求解即可． 【解析】解：（1）∵1﹣2＝﹣1，1×2+1＝3， ∴1﹣2≠1×2+1， ∴数对（1，2）不是“共生有理数对”； （2）∵（m，n）是“共生有理数对”， ∴m﹣n＝mn+1， ∴﹣n﹣（﹣m）＝mn﹣1＝（﹣n）⋅（﹣m）+1， ∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”， 故答案为：是； （3）∵（m，n）是“共生有理数对”， ∴m﹣n＝mn+1， ∵m﹣n＝4， ∴mn＝3， ∴（﹣5）mn＝（﹣5）3＝﹣125． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是理解并掌握“共生有理数对”的定义． 30．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： （+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8； （﹣3）※（+4）＝﹣7；（+5）※（﹣6）＝﹣11； （0）※（+8）＝8；（0）※（﹣8）＝8；（﹣6）※（0）＝6；（+6）※（0）＝6． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）观察以上式子，类比计算： ①＝　　， ②＝　　； （2）计算：（﹣2）※[0※（﹣1）]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） （3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算： 的值． 【思路点拨】（1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出|1﹣a|+|b﹣3|＝0，确定a＝1，b＝3，然后代入式子进行计算即可． 【解析】解：（1）①＝， 故答案为：； ②＝， 故答案为：． （2）（﹣2）※[0※（﹣1）] ＝（﹣2）※（+1） ＝﹣（2+1） ＝﹣3； （3）∵（1﹣a）※（b﹣3）＝0， ∴|1﹣a|+|b﹣3|＝0， ∴a＝1，b＝3， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝× ＝． 【点睛】本题考查新定义、有理数的混合运算，正确理解新定义并掌握有理数的运算法则是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$