第12章 全等三角形之—— 倍长中线模型 讲义 2024-2025学年人教版八年级数学上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练04 全等三角形之—— 倍长中线模型（原卷版） 【模型介绍】当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 1．已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（　　） A．2＜AD＜12 B．5＜AD＜7 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜10 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，，则EF＝　 　． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连结DC，作DM⊥DC交AC于点M．若AB＝10，AM＝2，则CM＝　 　． 4．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    5．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且EF⊥AE．求证：AE平分∠DAF． 李华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考李华的想法，完成此题的证明． 6．阅读下面一段对话，回答对话后面的问题： 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东交流． 原问题：如图1，已知△ABC，D是BC的中点，求证：AB+AC＞2AD 小慧同学的思路是：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，易证△DCE≌△ABD，这样CE＝AB，在△AEC中，由两边之和大于第三边，从而证明了不等式，这种构造辅助的方法是：借助过终点的线段，构造全等三角形，使问题得到了转化． 小东同学说：我做过一道类似的题目，也是证明一个不等式，我的题目如下“已知，如图②，△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF”，看来我可以类比你所展示的那道题目证明方法，作辅助线，从而证明出结论． 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这提出的问题： （1）请你完整证明出小慧同学所出的原问题．已知在△ABC中，D是BC中点，求证，AB+AC＞2AD （2）请你参考小慧同学的思路，帮小东同学完成证明过程：已知，如图②，△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF． 7．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E； 【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数． 8．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：． 【理解与应用】 （2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________． （3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：． 8.（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 9．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，∵是边上的中线∴ 在和中∴（依据一）∴ 在中，（依据二）∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________；依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．       1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练04 全等三角形之—— 倍长中线模型（解析版） 1．已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（　　） A．2＜AD＜12 B．5＜AD＜7 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜10 【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案． 【解答】解： 延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC， 在△ADB和△EDC中 ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴CE＝AB， ∵AB＝5，AC＝7， ∴CE＝5， 设AD＝x，则AE＝2x， ∴7﹣5＜2x＜7+5， ∴1＜x＜6， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定和性质的应用，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 2． 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，，则EF＝　4　． 【分析】延长FD至G，使GD＝FD，连接BG、EG，证△BDG≌△CDF（SAS），得BG＝CF＝，∠DBG＝∠C，再由线段垂直平分线的性质得EF＝EG，然后证∠EBG＝90°，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长FD至G，使GD＝FD，连接BG、EG， ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△BDG和△CDF中， ， ∴△BDG≌△CDF（SAS）， ∴BG＝CF＝，∠DBG＝∠C， ∵DE⊥DF，GD＝FD， ∴EF＝EG， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠C＝90°， ∴∠ABC+∠DBG＝90°， 即∠EBG＝90°， ∴EG＝＝＝4， ∴EF＝EG＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连结DC，作DM⊥DC交AC于点M．若AB＝10，AM＝2，则CM＝　　． 【分析】延长MD至点E，使DE＝DM，连结BE，CE．证明△AMD≌△BED（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBE＝∠A，证明△CMD≌△CED（SAS），得出CE＝CM，设CM＝x，则CE＝x，AC＝2+x，由勾股定理得出x2﹣2＝102﹣（x+2）2，解方程求出x的值即可得出答案． 【解答】解：延长MD至点E，使DE＝DM，连结BE，CE． ∵D为AB的中点， ∴AD＝DB， 在△AMD和△BED中， ， ∴△AMD≌△BED（SAS）， ∴∠DBE＝∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠DBE+∠ABC＝90°， 在△CMD和△CED中， ， ∴△CMD≌△CED（SAS）， ∴CE＝CM， 设CM＝x，则CE＝x，AC＝2+x， 在Rt△CBE中，BC2＝CE2﹣BE2＝x2﹣22， 在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣（x+2）2， ∴x2﹣22＝102﹣（x+2）2， 解得x＝﹣1（负值舍去）． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△AMD≌△BED是解题的关键． 4．（2019·山东淄博·统考一模）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算． 【详解】    如图：延长至使，连接 在和中： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ 【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 5．阅读下面一段对话，回答对话后面的问题： 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东交流． 原问题：如图1，已知△ABC，D是BC的中点，求证：AB+AC＞2AD 小慧同学的思路是：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，易证△DCE≌△ABD，这样CE＝AB，在△AEC中，由两边之和大于第三边，从而证明了不等式，这种构造辅助的方法是：借助过终点的线段，构造全等三角形，使问题得到了转化． 小东同学说：我做过一道类似的题目，也是证明一个不等式，我的题目如下“已知，如图②，△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF”，看来我可以类比你所展示的那道题目证明方法，作辅助线，从而证明出结论． 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这提出的问题： （1）请你完整证明出小慧同学所出的原问题．已知在△ABC中，D是BC中点，求证，AB+AC＞2AD （2）请你参考小慧同学的思路，帮小东同学完成证明过程：已知，如图②，△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF． 【分析】（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，易证△DCE≌△ABD，这样CE＝AB，在△AEC中，由两边之和大于第三边，从而可证明结论； （2）延长ED到G，使ED＝DG，连接CG，FG，可证明△CGD≌△BED，可得CG＝BE，在△CGF中由三角形三边关系可得CF|CG＞FG，又可证明EF＝FG，可证得结论． 【解答】（1）证明： 如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE， ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中 ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB， 在△ACE中，由三角形三边关系可得AC+CE＞AE， ∴AB+AC＞2AD； （2）证明： 如图②，延长ED到G，使ED＝DG，连接CG，FG， ∵D为BC的中点， ∴BD＝DC， 在△BED和△CGD中 ∴△BED≌△CGD（SAS）， ∴CG＝BE， 在△CGF中，由三角形三边关系可得CF+CG＞FG， ∴BE+CF＞FG， 又ED⊥DF， ∴FD为EG的垂直平分线， ∴FG＝EF， ∴BE+CF＞EF． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形，把线段转化成三角形的三边是解题的关键． 6．（2024春•开江县期末）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E； 【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数． 【分析】（1）利用倍长中线BD，证明三角形ADE≌三角形BDC，得AE＝BC，J进而证明三角形ABE≌三角形ABC得AC＝BE即可得证； （2）连接CD，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到CD＝BD＝AD，再证明三角形CDE与三角形BDC是等腰三角形可得∠CDE＝∠E，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作DH⊥AB，利用含30°角的直角三角形的性质可得CB＝CD＝DH，证明三角形DCH是等边三角形，求出∠ACH＝15°，进而可得AH＝DH，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【解答】解：（1）如图所示： 延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE． 在△ADE和△CDB中， ， ∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE＝BC，∠AED＝∠CBD， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∠ABC+∠BAE＝180° （两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝90°， 在△ABE和△BAC中， ， ∴△ABE≌△CBA（SAS）， ∴AC＝EB． ， （2）证明：连接CD． ∵∠ACB＝90°，且D为AB的中点， ， ∠B＝∠DCB， ， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∴∠DCB＝2∠E， ∴∠B＝2∠E； （3）解：如图所示，过D作DH⊥AB于H，连接CH． ∵∠DHB＝90°，且CD＝BC， HC＝BC＝CD． ∴∠CHB＝∠B． ∠B＝30°． ∠CHB＝30°， ∠CHD＝60°， ∴△HCD为等边三角形． ∴CH＝DH，∠HCD＝60°， ∠ACD＝∠B+∠BAC＝45°． ∴∠ACH＝∠HCD﹣∠ACD＝15°， ∴∠ACH＝∠CAH． ∴AH＝CH＝DH． ∴△AHD为等腰直角三角形． ∠HDA＝45°， ∠ADB＝∠ADH+∠BDH＝105°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 7．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：． 【理解与应用】 （2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________． （3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：，，， ， （2）； 如图，延长至点，使，连接， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； 故答案为：； （3）延长FD至G，使得，连接BG，EG， 在和中，，，， ，， 在和中， ，，， ，， 在中，两边之和大于第三边 ，， 又，， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． 8.（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论． 【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（）， ∴，,即 ∵是边上的中线， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（）， ∴， ∵ ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴△DCF≌△BCH， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴点A、B、H三点共线 ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键. 9．级统考期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．    求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，    ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可； 依据2：根据三角形三边关系判断； 任务二：可根据任务一的方法直接证明即可； 任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可． 【详解】解：任务一： 依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边． 任务二： 任务三：EF=2AD．理由如下： 如图延长AD至G，使DG=AD，    ∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD 在△ABD和△CGD中 ∴△ABD≌△CGD ∴AB=CG，∠ABD=∠GCD 又∵AB=AE ∴AE=CG 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， ∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180° 又∵∠BAE=90°，∠CAF=90° ∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180° ∴∠EAF=∠GCD 在△EAF和△GCA中 ∴△EAF≌△GCA ∴EF=AG ∴EF=2AD． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$