第12章 全等三角形之 — 等腰三角形中的半角模型和平行线 同步练习 -2024-2025学年人教版八年级数学上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练03 全等三角形之—— 等腰三角形中的半角模型和平行线+线段中点构造全等（原卷版） 半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 1．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为 　 　． 2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为　 　． 3．已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（　　） A．1 B．2 C．1.8 D．2.5 4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC边上两点，∠DAE＝45°，过A点作AF⊥AE，且AF＝AE，连接DF、BF．下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，则AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，Rt△ABC中AB＝AC，D、E为BC边上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列4个结论：①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE+EF＝BC﹣BF．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．求证：（1）DE＝DF；（2）△DEF是等边三角形． 7．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 8．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF．（1）如图①，若DE⊥BC，则∠DFC＝　 　度； （2）如图②，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD； （3）如图③，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 　 　． 二、平行线+线段中等构造全等 1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，则CD的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，连接DE，DE⊥AD，S△AEC：S△ACF＝3：8，AB＝14，CE的值为（　　） A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 3．如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝　 　． 4.如图，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF=∠BAE，若AB=5，CF=2，则线段DF的长为 ． 5.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，D是BC的中点，G是AD的中点，则AE的长为 ． 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE． （1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，试说明EG与DF垂直的理由． 8.【发现】如图①，点O为线段AB，CD的中点，连接AC，BD，我们易得△AOC≌△BOD，进而可以得到AC=BD，且AC∥BD． 【应用】如图②，在Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点D为线段AC上一点，以AD为斜边作等腰直角△AED（点A，E，D按顺时针顺序排列），即AE=DE，∠AED=90°，取CD的中点F，连接BF，EF，BE． （1）求∠EDF的度数．（2）求证：∠EBF=45°． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练03 全等三角形之—— 等腰三角形中的半角模型和平行线+线段中等构造全等（解析版） 一、半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 1．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为 　　． 【分析】将△ABM逆时针旋转90°得到△ACF，连接NF，由条件可以得出△NCF为直角三角形，利用勾股定理就可以求出NF，通过证明三角形全等就可以MN＝NF，求出NF即可． 【解答】解：将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF， ∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3， ∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF， 在△MAN和△FAN中 ∴△MAN≌△FAN（SAS）， ∴MN＝NF， ∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°， ∴∠FCN＝90°， ∵CF＝BM＝1，CN＝3， ∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN＝NF＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中． 2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为　2　． 【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD+DC，代入求出答案即可． 【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图： 由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABD+∠ABE＝180°， ∴E，B，M三点共线， ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAM＝∠MAN， 在△AEM和△ANM中， ， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴MN＝ME， ∴MN＝CN+BM， ∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4， ∴CD＝BC＝2，BD＝＝2， ∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2， 故答案为：2+2． 【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键． 3．已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（　　） A．1 B．2 C．1.8 D．2.5 【分析】如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，利用已知条件可以得到△APF也是等边三角形，然后可以证明△PEF≌△QEC，接着利用等边三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F， 则∠EPF＝∠Q，∠APF＝∠ABC ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠APF＝∠AFP＝60°， ∴△APF也是等边三角形，而CQ＝AP ∴PF＝AP＝CQ， 又∵∠PEF＝∠QEC， ∴△PEF≌△QEC， ∴EF＝EC， ∵PD⊥AC于D，△APF是等边三角形， ∴AD＝DF， ∴AD+EC＝DF+EF＝DE＝AF+CF＝（AF+CF）＝AC， ∴DE＝AC＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，同时也利用了全等三角形的性质于判定，有一定的综合性． 4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC边上两点，∠DAE＝45°，过A点作AF⊥AE，且AF＝AE，连接DF、BF．下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，则AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据已知可得∠FAB＝∠EAC，然后利用SAS可判断①△ABF≌△ACE，利用等腰直角三角形的半角模型可证明△FAD≌△EAD，从而可判断②AD平分∠EDF，根据①可得∠FBD＝90°，BF＝CE＝3，然后利用勾股定理求出DF的长，进行求出BC的长，从而可判断③若BD＝4，CE＝3，则AB＝6，根据AB＝BE，易得∠BAE＝∠BEA＝67.5°，然后再求出∠ADE＝67.5°，最后证明△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，所以DF＝BD，然后进行计算即可判断④若AB＝BE，S△ABD＝． 【解答】解：∵AF⊥AE， ∴∠FAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠FAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠FAB＝∠EAC， ∵AB＝AC，AF＝AE， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， 故①正确； ∵∠DAE＝45°，∠FAE＝90°， ∴∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°， ∴∠FAD＝∠DAE， ∵AD＝AD，AF＝AE， ∴△FAD≌△EAD（SAS）， ∴∠FDA＝∠EDA， ∴AD平分∠EDF， 故②正确； 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB， ∵△ABF≌△ACE， ∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3， ∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°， ∴DF＝＝＝5， ∵△FAD≌△EAD， ∴FD＝ED＝5， ∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12， ∴AB＝6， 故③正确； ∵AB＝BE，∠ABE＝45°， ∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝CE， ∵BF＝CE， ∴BD＝BF， ∵∠FBD＝90°， ∴DF＝BD， ∴DE＝BD， ∴S△ADE＝S△ABD， 故④错误； 综上所述，正确的个数有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的半角模型是解题的关键． 5．如图，Rt△ABC中AB＝AC，D、E为BC边上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列4个结论：①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE+EF＝BC﹣BF．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、线段和差可判断④． 【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，①正确； ∵EA与DA不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误； ∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠DAE＝45°， 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF，③正确； ∴DE＝EF， ∴BE+EF＝BE+DE＝BD， ∵△ADC≌△AFB， ∴BF＝CD， ∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BF， ∴BE+EF＝BC﹣BF，④正确； ∴正确的有①③④共3个， 故选：C． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键． 6．（2022秋•秦安县校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．求证：（1）DE＝DF；（2）△DEF是等边三角形． 【分析】（1）利用AAS证明△BDE≌△CDF，进而解答即可； （2）由△BDE≌△CDF，进而得到DE＝DF．由（1）得∠B＝∠C＝30°，求出∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠CDF＝60°．所以△DEF是等边三角形． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵∠A＝120°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝∠C＝30°． ∵D是BC边的中点， ∴BD＝CD． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF． （2）由（1）得△BDE≌△CDF， ∴DE＝DF． ∠BED＝∠CFD＝90°， 由（1）得∠B＝∠C＝30°， ∴∠BDE＝∠CDF＝90°﹣30°＝60°． ∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠CDF＝60°． ∴△DEF是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质． 7．（2022秋•宜丰县校级期中）如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 【分析】（1）延长AC至E，使得CE＝BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN＝BM+NC； （2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答． 【解答】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下： 延长AC至E，使得CE＝BM，连接DE，如图所示： ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°， 又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°， ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 在△MBD与△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE， 又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°， ∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°， ∴∠MDN＝∠NDE＝60°， 在△DMN与△DEN中， ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN＝EN， 又∵NE＝NC+CE，BM＝CE， ∴MN＝BM+NC； （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2， 利用（1）中的结论得出：BM＝CE，MN＝EN， △AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM ＝（AM+BM）+（NC+AN） ＝AB+AC＝2+2＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答． 8．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF． （1）如图①，若DE⊥BC，则∠DFC＝　90　度； （2）如图②，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD； （3）如图③，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 　4　． 【分析】（1）由等边三角形性质知∠B＝∠C＝60°，根据DE⊥BC，∠EDF＝60°知∠BED＝∠CDF＝30°，据此可得答案． （2）由∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，且∠EDF＝∠B＝60°知∠CDF＝∠BED，据此证△BDE≌△CFD可得答案． （3）先得出BD＝CD＝CF＝AF＝1，再由（2）知△BDE≌△CFD，据此得BE＝CD＝1，DE＝DF，结合∠B＝60°知△BDE是等边三角形，得出DE＝DF＝1，再进一步求解可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥BC，即∠BDE＝90°，∠EDF＝60°， ∴∠BED＝∠CDF＝30°， ∴∠DFC＝90°， 故答案为：90； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，且∠EDF＝60°， ∴∠CDF＝∠BED， 在△BDE和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CD； （3）∵△ABC是等边三角形，AB＝2， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝2， ∵D为BC中点，且BD＝CF， ∴BD＝CD＝CF＝AF＝1， 由（2）知△BDE≌△CFD， ∴BE＝CD＝1，DE＝DF， ∵∠B＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝DF＝1， 则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF＝4， 故答案为：4． 【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及四边形的周长公式等知识点． 二、平行线+线段中等构造全等 1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，则CD的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】延长CE交DA延长线于F，即可证得△AEF≌△BEC，则BC=AF，根据等腰三角形的判定方法可以证得：CD=DF即可求解． 【解答】解：如图，延长CE交DA延长线于F，∵AD∥BC， ∴∠1=∠3，又AE=EB，∠AEF=∠BEC， ∴△AEF≌△BEC，又∠1=∠2， ∴∠2=∠3，CD=DF=AD+AF=AD+BC=7 故选：C． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及等腰三角形的判定方法，等角对等边，正确作出辅助线是解决本题的关键． 2．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE＝EF，AB∥EF，连接DE，DE⊥AD，S△AEC：S△ACF＝3：8，AB＝14，CE的值为（　　） A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 【分析】延长AD与FE交于点G，利用平行线的性质可得∠BAD＝∠G，∠B＝∠DCG，再利用线段的中点定义可得BD＝DC，从而利用AAS可得△ABD≌△GCD，然后利用全等三角形的性质可得AB＝CG＝14，AD＝DG，从而可得DE是AG的垂直平分线，进而可得AE＝EG，最后利用等量代换可得EF＝EG，再根据已知可得＝，从而可得＝，进而可得＝，即可解答． 【解答】解：延长AD与FE交于点G， ∵AB∥EF， ∴∠BAD＝∠G，∠B＝∠DCG， ∵点D为BC的中点， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△GCD（AAS）， ∴AB＝CG＝14，AD＝DG， ∵AD⊥DE， ∴DE是AG的垂直平分线， ∴AE＝EG， ∵AE＝EF， ∴EF＝EG， ∵S△AEC：S△ACF＝3：8， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴EC＝3， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝　4　． 【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出． 【解答】解：∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE＝EF， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD＝CF， ∵AB＝10，CF＝6， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4． 故答案为：4． 【点评】此题目主要考查全等三角形的判方法的掌握．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 4.如图，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF=∠BAE，若AB=5，CF=2，则线段DF的长为 ． 【分析】延长AE，CF交于点G，易通过AAS证明△ABE≌△GCE，得到AB=CG=5，结合条件∠EDF=∠BAE可得∠G=∠EDF，由等腰三角形的性质即可得解． 【解答】解：如图，延长AE，CF交于点G， ∵AB∥CF， ∴∠B=∠C，∠A=∠G， ∵点E是BC的中点， ∴CE=BE， 在△ABE和△GCE中， ∴△ABE≌△GCE（AAS）， ∴AB=CG=5， ∵∠EDF=∠BAE，CF=2， ∴∠G=∠EDF，FG=CG-CF=3， ∴DF=FG=3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是根据中点正确构造全等三角形解决问题． 5.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，D是BC的中点，G是AD的中点，则AE的长为 ． 【分析】延长BE，使BG=GF，连接AF，易通过SAS证明△AGF≌△DGB，则AF=BD，∠FAG=∠BDG，得到AF∥BC，因此△AEF∽△CEB，由D是BC的中点可得BD=CD=1/2BC，再根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：延长BE，使BG=GF，连接AF，如图， 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据全等三角形的性质得到AF∥BC是解题关键． 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE． （1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积． 【分析】（1）延长AE交BC的延长线于M，由平行线的性质和角平分线得出∠BAE＝∠M，证出AB＝MB，由等腰三角形的性质得出∠ABE＝∠CBE即可； （2）由等腰三角形的性质得出AE＝ME，DE＝CE，由SAS证明△ADE≌△MCE，得出AD＝MC，即可得出结论； （3）证出△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，得出△ABM的面积＝8，由全等三角形的性质得出△ADE的面积＝△MCE的面积，得出梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8即可． 【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示： ∵AD∥BC， ∴∠M＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠M， ∴AB＝MB， ∵AE⊥BE， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴BE平分∠ABC； （2）证明：∵AB＝MB，BE⊥AE， ∴AE＝ME， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△MCE中， ， ∴△ADE≌△MCE（SAS）， ∴AD＝MC， ∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB； （3）解：∵AB＝MB，AE＝ME， ∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4， ∴△ABM的面积＝2×4＝8， ∵△ADE≌△MCE， ∴△ADE的面积＝△MCE的面积， ∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、梯形面积的计算；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，试说明EG与DF垂直的理由． 【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE； （2）由∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠1＝∠F（两直线平行，内错角相等） ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE（中点的意义）， 在△ADE和△BFE中， ∴△ADE≌△BFE（AAS）． （2）∵∠1＝∠F，∠1＝∠2， ∴∠F＝∠2（等量代换）， ∴DG＝FG（等角对等边）． ∵△ADE≌△BFE （已证）， ∴DE＝FE（全等三角形的对应边相等）， ∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 8.【发现】如图①，点O为线段AB，CD的中点，连接AC，BD，我们易得△AOC≌△BOD，进而可以得到AC=BD，且AC∥BD． 【应用】如图②，在Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点D为线段AC上一点，以AD为斜边作等腰直角△AED（点A，E，D按顺时针顺序排列），即AE=DE，∠AED=90°，取CD的中点F，连接BF，EF，BE． （1）求∠EDF的度数． （2）求证：∠EBF=45°． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ADE=45°，则可得出答案； （2）延长EF至M，使FM=EF，连接CM，证明△ABE≌△CBM（SAS），由全等三角形的性质得出BE=BM，∠ABE=∠CBM，由等腰三角形的性质可得出结论； （3）当点G在线段AC上时，如图②，在BM上截取BH=BG，连接FH，CH，由（2）可知∠EBF=∠FBH=45°，证明△GBF≌△HBF（SAS），得出GF=FH，BG=BH，证明△ABG≌△CBH（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAG=∠BCH=45°，AG=CH，证出CF2+AG2=FG2，设FG=x,则AG=8-x,由勾股定理可得出答案；当点G在CA的延长线上时，同理可得出答案． 【解答】（1）解：∵AE=DE，∠AED=90°， ∴∠ADE=45°， ∴∠EDF=180°-∠ADE=135°； （2）证明：延长EF至M，使FM=EF，连接CM， 由【发现】可知ED=CM，EN∥CM， ∵AE=DE，∠AED=90°， ∴∠EAD=45°，CM=AE， ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=45°， ∴∠BAE=90°， ∴BA∥DE， ∴BA∥CM， ∴∠BCM=∠ABC=90°， ∵AB=BC， ∴△ABE≌△CBM（SAS）， ∴BE=BM，∠ABE=∠CBM， ∴∠EBM=∠ABC=90°， 即△BEM是等腰直角三角形， ∵F为EM的中点， ∴∠EBF=1/2∠EBM=45°； 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1 1 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