专题03 圆与方程（4基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题03 圆与方程 圆的方程 1．（23-24高二上·北京·期中）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京·期中）以为圆心且过原点的圆的方程为 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京西城·期中）圆的圆心坐标为 ，半径为 ． 5．（23-24高二上·北京·期中）以为圆心，半径为2的圆的标准方程为 . 6．（23-24高二上·北京·期中）以点为圆心且与x轴相切的圆的方程为 ． 7．（23-24高二上·北京房山·期中）已知，，，则外接圆的方程为 ． 8．（23-24高二上·北京·期中）求下列各圆的标准方程： (1)圆心在直线上且过两点的圆的方程； (2)经过三点的圆的方程． 直线与圆的相关问题（距离、弦长） 1．（23-24高二上·北京·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知圆经过三点，则圆心到直线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（23-24高二上·北京丰台·期中）圆截轴所得弦的长度为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 ． 5．（23-24高二上·北京·期中）已知直线l：交圆C：于A，B两点，则 . 6．（23-24高二上·北京·期中）直线：与圆相交、两点，则 ． 7．（23-24高二上·北京房山·期中）已知圆：和直线：，则圆心到直线的距离等于 ；若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，写出一个符合要求的实数的值， ． 8．（23-24高二上·北京房山·期中）已知圆的圆心为点，半径为2． (1)写出圆的标准方程； (2)若直线：与圆交于A，B两点，求线段的长． 圆的切线问题 1．（23-24高二上·北京·校考期中）圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的纵坐标为（    ） A．2 B． C．1 D．0 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线恒过点，圆，则“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·北京·期中）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京房山·期中）设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（23-24高二上·北京·校考期中）已知点和点是圆C直径的两个端点． (1)求线段的中点坐标和圆C的方程； (2)过点A作圆C的切线l，求切线l的方程． 6．（23-24高二上·北京通州·期中）过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 7．（23-24高二上·北京·期中）已知点，圆． (1)求圆过点的切线方程； (2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值． 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·北京·校考期中）圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 2．（23-24高二上·北京·校考期中）已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 3．（23-24高二上·北京大兴·期中）圆关于点中心对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·校考期中）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是 A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 5．（23-24高二上·北京西城·期中）已知两圆：和：相交，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ． 圆与直线的综合问题 1．（23-24高二上·北京·校考期中）已知直线，，则“”是“直线与相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆：，直线：． (1)当为何值时，直线与圆相交； (2)当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程 3．（23-24高二上·北京·期中）已知直线，圆． (1)若，求证：直线与圆相交； (2)已知直线与圆相交于，两点．若的面积为1，求的值． 4．（23-24高二上·北京·校考期中）已知圆心在x轴正半轴上的圆C，过点，． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆C交于两点A，B，若，求直线l的方程． 5．（23-24高二上·北京·校考期中）已知直线经过点，圆. (1)若圆关于直线对称，求直线的方程； (2)若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程. 6．（23-24高二上·北京西城·期中）已知直线l：与圆C：． (1)若直线l与圆C相切，求实数m的值； (2)当时，直线l与圆C交于点E，F，设O为原点，求的面积． 7．（23-24高二上·北京·校考期中）已知直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与圆相交所得弦长为8，求直线的方程. 圆的最值问题 1．（23-24高二上·北京·校考期中）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A．7 B．6 C．5 D．4 2．（23-24高二上·北京·校考期中）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24高二上·北京·期中）已知，动点满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与曲线有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京·校考期中）已知A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京·期中）已知点在圆上，点、，则点到直线的距离的最大值为 ；当最大时， . 8．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 . 9．（23-24高二上·北京·期中）已知点和圆上两个不同的点，满足，是弦的中点，给出下列三个结论： ①的最小值为； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 10．（23-24高二上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为 .    圆中的存在性问题 1．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知直线的方程分别是，点的坐标为．过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数 (1)若，且为线段中点，求实数的值及的面积； (2)是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由． 2．（23-24高二上·北京房山·期中）已知圆：和直线：． (1)写出圆的圆心和半径； (2)若在圆上存在两点A，B关于直线对称，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 3．（23-24高二上·北京·期中）已知圆：.    (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)如图，当时，圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有?若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由. 4．（23-24高二上·北京·期中）已知点及圆. (1)求圆心的坐标及半径的大小； (2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程； (3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 5．（23-24高二上·北京·校考期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方 (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程； (3)过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24高二上·北京通州·期中）长度为6的线段，设线段中点为G，线段的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动. (1)求点G的轨迹方程； (2)设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N.试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆与方程 圆的方程 1．（23-24高二上·北京·期中）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解. 【详解】设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故选：C. 2．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，从而得出圆的方程. 【详解】解：因为，的中点为， ，即， 所以以线段为直径的圆的方程为， 化简得. 故选：D. 3．（23-24高二上·北京·期中）以为圆心且过原点的圆的方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆方程为，代入点，计算得到答案. 【详解】设圆方程为，代入点得到， 即圆方程为. 故选：. 4．（23-24高二上·北京西城·期中）圆的圆心坐标为 ，半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案. 【详解】由题意知圆即圆， 故该圆的圆心为，半径为， 故答案为：； 5．（23-24高二上·北京·期中）以为圆心，半径为2的圆的标准方程为 . 【答案】. 【分析】根据圆心及坐标即得. 【详解】由题可得圆的标准方程为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·北京·期中）以点为圆心且与x轴相切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意得到圆的半径即可得到圆的方程. 【详解】圆与轴相切，所以圆的方程为 故答案为：. 7．（23-24高二上·北京房山·期中）已知，，，则外接圆的方程为 ． 【答案】 【分析】首先设外接圆的方程为，从而得到，再解方程组即可. 【详解】设外接圆的方程为， 则， 所以外接圆的方程为：. 故答案为： 8．（23-24高二上·北京·期中）求下列各圆的标准方程： (1)圆心在直线上且过两点的圆的方程； (2)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 M，N 两点和圆坐标关系代入圆的方程，求解未知数即可； （2）将A,B,C 三点坐标代入圆方程求解未知数即可； 【详解】（1）设圆的一般方程为， 其中,圆心坐标为, 因为圆心在直线上且过两点， 所以， 解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为； （2）设圆的一般方程为， 其中, 因为经过三点， 所以，解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为； 直线与圆的相关问题（距离、弦长） 1．（23-24高二上·北京·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案. 【详解】圆的圆心坐标为 则圆心到直线的距离 故选：B 2．（23-24高二上·北京·期中）已知圆经过三点，则圆心到直线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出外接圆的方程，再根据点到直线距离公式求解. 【详解】根据题意，，设外接圆方程为， 则解得 外接圆方程为，即 则圆心到到直线的距离为.故选：D 3．（23-24高二上·北京丰台·期中）圆截轴所得弦的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的弦长公式：，其中为圆心到弦所在直线的距离，计算可求弦长. 【详解】解：由圆的方程可知，圆心为，半径为，圆心到轴的距离为， 则.    故选：B 4．（23-24高二上·北京·期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 ． 【答案】2 【分析】根据题意先求直线方程以及圆心到直线的距离，进而结合垂径定理运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，可知其斜率为， 且直线过原点，可知直线方程为，即， 又因为圆的圆心为，半径， 可得圆心到直线的距离，所以所截得的弦长为. 故答案为：2. 5．（23-24高二上·北京·期中）已知直线l：交圆C：于A，B两点，则 . 【答案】 【分析】根据圆的方程得出圆心坐标和圆的半径，结合点到直线的距离公式求出d，再利用几何法求出弦长 【详解】圆C：的圆心坐标为，半径， 点到直线l：的距离， 所以直线l被圆C截得线段的长.故答案为：. 6．（23-24高二上·北京·期中）直线：与圆相交、两点，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，联立方程求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算作答. 【详解】由解得或，不妨令， 所以.故答案为： 7．（23-24高二上·北京房山·期中）已知圆：和直线：，则圆心到直线的距离等于 ；若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，写出一个符合要求的实数的值， ． 【答案】 （答案不唯一）. 【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆上有且仅有两个点到直线的距离为转化为半径与圆心到直线的距离之间的关系即可求解. 【详解】圆心到直线的距离为； 因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为，所以，解得. 故答案为：；（答案不唯一）. 8．（23-24高二上·北京房山·期中）已知圆的圆心为点，半径为2． (1)写出圆的标准方程； (2)若直线：与圆交于A，B两点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【详解】（1）因为圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）圆心到直线的距离，，. 圆的切线问题 1．（23-24高二上·北京·校考期中）圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的纵坐标为（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】由题意直线垂直于直线，利用点斜式写出直线，再求其与轴交点即得结果. 【详解】由题设，直线垂直于直线，则直线， 又圆心在轴上，令，则，即圆心的纵坐标为1. 故选：C 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线恒过点，圆，则“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切分析可知：直线的斜率不存在或直线的斜率为，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若直线与圆相切，则有： 当直线的斜率不存在，则直线，符合题意； 当直线的斜率存在，设直线，即， 则圆心到线的距离，解得； 综上所述：当且仅当直线的斜率不存在或直线的斜率为时，线与圆相切. 可知“直线的斜率为”可以推出“直线与圆相切”，即充分性成立； “直线与圆相切”不可以推出“直线的斜率为”，即必要性不成立； 所以“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离结合直线与圆的位置关系转化问题计算即可. 【详解】 如图所示，直线上一点A作圆的两条切线，过C作， 则切线长为， 显然，当且仅当重合时取得最小值，此时， 所以切线长最小值为. 故选：B 4．（23-24高二上·北京房山·期中）设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可. 【详解】圆心为，半径为，设切点为， 要使得切线长最小，则最小，此时， 所以，所以， 故选：B 5．（23-24高二上·北京·校考期中）已知点和点是圆C直径的两个端点． (1)求线段的中点坐标和圆C的方程； (2)过点A作圆C的切线l，求切线l的方程． 【答案】(1)中点， (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求得的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可求得直径，即可写出圆C的方程； （2）根据直线和圆的位置关系可得切线l的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线l的方程． 【详解】（1）由点和点是圆C直径的两个端点， 可得的中点即为圆心C，根据中点坐标公式可得， 即线段的中点坐标为，根据两点间距离公式得直径， 所以圆C的半径为， 则圆的方程为 （2）根据题意可知直线与切线l垂直，直线的斜率为， 设切线l的斜率为，满足，得； 又切线l过点A，利用直线的点斜式方程得； 即切线l的方程为. 6．（23-24高二上·北京通州·期中）过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可求得切线段的长. 【详解】如图所示，圆心,连接, 因为直线，关于直线对称， 所以垂直于直线， 故 而, 则, 故选： 6．（23-24高二上·北京·期中）已知点，圆． (1)求圆过点的切线方程； (2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在的情况下，直接验证即可；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求出的值，综合可得出所求切线的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：易知圆的圆心为，半径为，因为，则点在圆外， 当切线的斜率不存在时，切线的方程为，此时，圆心到直线的距离为， 则直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，此时，切线的方程为，即. 综上所述，求圆过点的切线方程为或. （2）证明：在圆的方程中，令，可得，则， 由（1）可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 设点、， 联立可得， ，解得， 由韦达定理可得，， 所以， . 故为定值． 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·北京·校考期中）圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求得两圆的圆心与半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆，圆， 可得，且， 则，可得，即， 所以两圆相交. 故选：B. 2．（23-24高二上·北京·校考期中）已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】B 【分析】首先由两圆的标准方程分别得出圆心坐标和半径，再求出两圆的圆心距，根据圆心距与两圆半径之间的关系即可得出两圆的位置关系． 【详解】由圆方程，得圆心为，半径， 由圆方程，得圆心为，半径， 则两圆的圆心距为， 所以圆与圆外切， 故选：B． 3．（23-24高二上·北京大兴·期中）圆关于点中心对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆关于中心对称，根据圆心关于对称与半径相等求解即可. 【详解】圆，圆心，半径为， 设关于对称的对称点为， 则，解得，则， 故所求圆的方程为. 故选：B. 4．（23-24高二上·北京·校考期中）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是 A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】C 【详解】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论． 详解：圆，圆,，所以内切．故选C 点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则： ，内含；，内切；，相交；，外切；，外离． 5．（23-24高二上·北京西城·期中）已知两圆：和：相交，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】将两圆的方程相减即可得解. 【详解】将两圆的方程相减得， 即圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 圆与直线的综合问题 1．（23-24高二上·北京·校考期中）已知直线，，则“”是“直线与相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果. 【详解】由题意可得直线与相交， 则 当时，满足，即“”是“直线与相交”的充分条件； 当直线与相交时，不一定有，比如也满足，所以“”是“直线与相交”的充分不必要条件. 故选:A. 2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆：，直线：． (1)当为何值时，直线与圆相交； (2)当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出圆心及半径，再根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离小于半径，即可得解； （2）根据圆的弦长及弦长公式求出圆心到直线的距离，进而可得出答案. 【详解】（1）将圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离，解得， 所以当时，直线与圆相交； （2）设圆心到直线的距离为， 则，即，解得， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知直线，圆． (1)若，求证：直线与圆相交； (2)已知直线与圆相交于，两点．若的面积为1，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可证明； （2）利用垂径定理求出弦长，进而利用面积公式得到关于的方程，直接求解即可. 【详解】（1）由圆可知，圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以，直线与圆相交. （2）    因为直线与圆相交于，两点， 所以，即，解得或， 由（1）可得，， 所以，， 整理得，，即， 解得，， 所以. 4．（23-24高二上·北京·校考期中）已知圆心在x轴正半轴上的圆C，过点，． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆C交于两点A，B，若，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法即得； （2）由题可得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式即得. 【详解】（1）由题可设圆的标准方程为， 则， 解得， 所以圆的标准方程为； （2）由可知圆心，半径为2， 因为直线与圆交于两点，， 所以圆心到直线的距离为1， 当直线斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线斜率存在时，可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 5．（23-24高二上·北京·校考期中）已知直线经过点，圆. (1)若圆关于直线对称，求直线的方程； (2)若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的对称性可知，直线l过圆心，结合直线的斜率公式及点斜式方程即可求得结果. （2）由两直线平行可得直线l的方程，求出点关于点对称的点，由直线l与直线关于点对称可得，再结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】（1）由可得圆的圆心，半径， 因为圆关于直线l对称，所以直线l过圆心， 又直线l过点，所以直线l斜率为， 由点斜式方程可得，即. 故直线l方程为. （2）由题意知，直线l斜率为，则由点斜式方程可得，即， 因为直线l与直线关于点对称，所以， 又因为点关于点对称的点，直线过点， 则由点斜式方程可得，即. 故直线方程为. 6．（23-24高二上·北京西城·期中）已知直线l：与圆C：． (1)若直线l与圆C相切，求实数m的值； (2)当时，直线l与圆C交于点E，F，设O为原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径即可求解； （2）求出弦长及原点到直线的距离，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由圆C：，得圆心， 又直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，解得 （2）当，直线l：， 则圆心到直线的距离为， 则弦长， 原点到直线的距离为， 则.    7．（23-24高二上·北京·校考期中）已知直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与圆相交所得弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组得到交点为，再利用平行的直线系求解即可. （2）首先得到圆心到直线的距离，再分类讨论结合圆的弦长求解即可. 【详解】（1），即交点为. 设直线的方程为，把点代入方程得， 所以直线的方程为. （2）圆，圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则. 若直线过点且斜率不存在，则，到圆心的距离为，满足条件； 若直线过点且斜率存在，设，即， 由题意，解得. 所以，即. 综上所述，直线的方程为或. 圆的最值问题 1．（23-24高二上·北京·校考期中）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B. 2．（23-24高二上·北京·校考期中）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心，则， 化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知，动点满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出点轨迹方程得其轨迹是圆，，由此求出的最小值即可得． 【详解】设， 由得，化简得， 所以点轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， ， 显然当是线段与圆的交点时，为最小值． 所以 故选：D． 4．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与曲线有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系求解. 【详解】由可得，， 所以曲线表示半圆， 又由直线可得恒过定点， 记, 当直线与半圆相切时， 圆心到直线的距离为，解得， 作图如下，   , 由图可知，当时，直线与曲线有两个不同公共点， 故选:A. 5．（23-24高二上·北京·校考期中）已知A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线AB的方程，确定弦AB为该圆的直径，再判断A，B，C，D各选项中的点M与圆的位置关系，即可确定的形状，从而得解． 【详解】因为A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点， 所以易得，，则，直线AB的方程为， 显然圆心在直线AB上，即弦AB为该圆的直径， 对于A，，即在圆上，则为直角三角形，故A错误； 对于B，因为，，， 所以，，即为中的最大角， 因为，即在圆外，即为锐角， 所以为锐角三角形，故B错误； 对于C，，即在圆上，则为直角三角形，故C错误； 对于D，，即在圆内，则为钝角三角形，故D正确． 故选：D． 6．（23-24高二上·北京·期中）已知点在圆上，点、，则点到直线的距离的最大值为 ；当最大时， . 【答案】 【分析】先求出直线AB的方程，由圆心到直线的距离加上半径可得最大值；找到当最大时P点所在的位置，再结合勾股定理可得的值. 【详解】由题意可得AB的直线方程为，即， 圆的圆心坐标为 (5,5)，半径为4， 圆心(5,5)到直线AB的距离为， 所以点P到直线AB的距离的最大值为， 如图：    当最大或最小时，直线PB与圆相切，上图的P点位置满足最大的情况， ，，所以， 故答案为：；. 7．（23-24高二上·北京·期中）若实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心和半径，令，得到，根据直线和圆有公共点列式求解即可. 【详解】令，即，表示一条直线， 又方程可化为，表示圆心为，半径为的圆， 由题意可知圆与直线有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得， 即的取值范围是，故答案为： 8．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案. 【详解】由直线方程，则该直线过定点， 易知圆上任意定点到该直线的最大距离就是该点到的距离， 由圆的方程，则其圆心为，半径为， 点到圆上点的最大距离为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·北京·期中）已知点和圆上两个不同的点，满足，是弦的中点，给出下列三个结论： ①的最小值为； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】由点和圆心的距离求得圆上点到点距离的最小值判断命题①，利用求出点轨迹方程判断②，利用两圆位置关系判断③． 【详解】在圆（半径为6）上，，，当是圆与轴正半轴交点时取得最小值，①正确； 设，由，是弦的中点，得， 所以，化简得，所以点轨迹是圆，是以为圆心，为半径的圆，②正确； 若，则在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为1，又，即以为直径的圆与②中点的轨迹圆相离，因此不存在点，使得，③错， 故答案为: ①②. 10．（23-24高二上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为 .    【答案】 【分析】根据题意，由圆的方程可得，然后求代入计算，即可得到结果. 【详解】   设滚动后的圆的圆心为，切点为，连接， 过做与轴正方向平行的射线，交圆于， 设，因为圆的方程为， 故设， 又单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于， 所以，可得，则， ，所以. 故答案为： 圆中的存在性问题 1．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知直线的方程分别是，点的坐标为．过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数 (1)若，且为线段中点，求实数的值及的面积； (2)是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，面积为 (2)存在； 【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得，得到，进而得到结论. 【详解】（1）解：因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以 ， 由 ，解得 ，即 ， 由 ，解得 ，即， 又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即， 因为 ，所以 若时，，， 又因为点为线段中点，所以解得， 所以，，所以，的面积． （2）解：假设存在满足题意的 ，使得的值与无关， 由（1）知：， 且 因此，， 所以 因为 ，所以当时，为定值， 所以存在实数，使得的值与无关． 2．（23-24高二上·北京房山·期中）已知圆：和直线：． (1)写出圆的圆心和半径； (2)若在圆上存在两点A，B关于直线对称，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1)圆心为，半径为 (2)或 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径； （2）推出直线即为的垂直平分线，过圆心，从而得到，直线的斜率为，再结合图形，得到当过点和过原点时，满足要求，得到答案. 【详解】（1）变形为， 故圆的圆心为，半径为； （2）由垂径定理可知，线段的垂直平分线一定过圆心， 又A，B关于直线对称，故直线即为的垂直平分线， 所以直线过点，将其代入中得，， 解得， 故直线的斜率为， 又以线段为直径的圆经过原点，圆也经过原点， 故当过点时满足要求，此时直线的方程为， 即， 当当过原点时，也满足要求，此时直线的方程为， 即，    综上，直线的方程为或. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知圆：.    (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)如图，当时，圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有?若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或(2)存在； 【分析】（1）根据圆的一般方程确定圆心和半径，由题意列出方程，即可求得答案； （2）先求出点M的坐标，假设符合题意的圆存在，当直线斜率存在时，设出直线的方程并和圆的方程联立，可得根与系数的关系，结合得出，即，利用根与系数的关系化简求值，结合验证直线AB的斜率不存在时是否适合题意，即可得出结论. 【详解】（1）由已知圆：知圆心为， 半径为， 由于圆与轴相切，故，即， 解得或， 故圆C的方程为：或； （2）当时，圆方程为， 令，则，解得或， 故， 假设存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有， 则必有M点在圆内，即； 当直线与x轴不垂直时，设其方程为，联立， 得，由于直线AB经过点M，M在圆内， 则必有， 设，则， 由可知，由题意知不可能为直角， 故，故， 即， 即 即，则， 当直线与x轴垂直时，关于x轴对称，显然，符合题意， 综上可知，存在圆，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有. 4．（23-24高二上·北京·期中）已知点及圆. (1)求圆心的坐标及半径的大小； (2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程； (3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)圆心，半径 (2) (3)不存在 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，即可得出答案； （2）根据由垂径定理求出圆心到直线的距离为，可知为的中点，求解即可； （3）首先根据直线与圆相交的条件得到，根据垂直平分线的几何关系求出直线的斜率，进而求出参数的值，通过的值判断是否满足条件即可. 【详解】（1）由得， 所以圆心，半径； （2）设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得：， 解得：，因为到点的距离为， 所以为的中点，所以，以线段为直径的圆， 即以为圆心，半径为的圆，所以圆的方程为：.    （3）由直线与圆交于，两点，则圆心到直线的距离， 假设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上. 因为直线过点，所以的斜率， 而，所以， 由于不满足， 故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.    5．（23-24高二上·北京·校考期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方 (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程； (3)过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或; (3)当点，能使得总成立.. 【分析】（1）设出圆心坐标根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离，确定出圆心坐标，即可得出圆方程; （2）根据垂径定理及勾股定理，由过点的直线被圆截得的弦长等于，分直线斜率存在与不存在两种情况求出直线的方程即可; （3）当直线轴则轴平分，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立圆与直线方程消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若轴平分，则，求出的值，确定出此时坐标即可. 【详解】（1）设圆心， 因为直线，半径为的圆与相切， ，即，解得或（舍去）， 则圆方程为:. （2）由题意可知圆心到直线的距离为， 若直线斜率不存在，则直线，圆心到直线的距离为1， 若直线斜率存在，设直线，即， 则有，即，此时直线， 综上直线的方程为或; （3）当直线轴，则轴平分，若轴平分， 当直线斜率存在时设直线$AB$方程为， ， ， 若轴平分，则 整理得:， 即，解得:， 当点，能使得总成立. 6．（23-24高二上·北京通州·期中）长度为6的线段，设线段中点为G，线段的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动. (1)求点G的轨迹方程； (2)设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N.试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG的长度，进而判断出G的轨迹，得到轨迹方程； （2）写出四点的坐标，联立直线与直线的方程求出点M的坐标，联立直线与直线的方程求出N的坐标，再利用坐标求出并与进行比较即可. 【详解】（1）在中，因为G是线段PQ的中点，所以， 所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆， 所以G的轨迹方程为. （2），证明如下： 依题意，下列各点坐标为， 直线的方程为. 因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点， 故设，且. 设直线的方程为， ，解得，即. 设直线的方程为， ，解得，即. 所以          ， 又， 所以.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$