专题08 角平分线（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题08 角平分线 目录 【题型一 利用角平分线的性质求长度】 1 【题型二 利用角平分线的性质求面积】 2 【题型三 利用角平分线的性质证明】 3 【题型四 角平分线的判定】 4 【题型五 尺规作角平分线】 5 【题型六 利用角平分线的性质判断多结论问题】 5 【题型七 角平分线的实际应用】 6 【题型八 角平分线的判定与性质的综合应用】 7 【题型一 利用角平分线的性质求长度】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，若，平分交于点，且，则点到线段的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 ． 【题型二 利用角平分线的性质求面积】 例题：（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，平分，，，则的面积为（    ） A．14 B．12 C．10 D．7 【变式训练】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是 ． 【题型三 利用角平分线的性质证明】 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，平分，，则图中的全等三角形有 对． 【题型四 角平分线的判定】 例题：（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如下图，已知是的两条角平分线，且相交于点P．求证：P点也在的平分线上． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，连接．求证：平分． 【题型五 尺规作角平分线】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是 度． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．用尺规作图法作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【题型六 利用角平分线的性质判断多结论问题】 例题：（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    2．（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【题型七 角平分线的实际应用】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（     ）种    A．一 B．二 C．三 D．四 2．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【题型八 角平分线的判定与性质的综合应用】 例题：（23-24八年级上·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，已知是的角平分线，且，则与的面积之比为（  ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 3．（23-24七年级下·全国·期末）在中，，平分交于点，，，则到的距离是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，在中，，平分交于点，若的面积为10，的面积为6，则的面积为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 5．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ）    A．15 B．30 C．45 D．60 二、填空题 6．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习） 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，则的长为 ． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点D，若，则的面积为 ． 9．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 10．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知，平分，平分，求证：． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点P，交于点Q；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上． 14．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 15．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角平分线 目录 【题型一 利用角平分线的性质求长度】 1 【题型二 利用角平分线的性质求面积】 3 【题型三 利用角平分线的性质证明】 5 【题型四 角平分线的判定】 9 【题型五 尺规作角平分线】 11 【题型六 利用角平分线的性质判断多结论问题】 13 【题型七 角平分线的实际应用】 18 【题型八 角平分线的判定与性质的综合应用】 20 【题型一 利用角平分线的性质求长度】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，的面积为9， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，若，平分交于点，且，则点到线段的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是求出的长度．先求出的长度，根据角平分线的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ，， 平分，，， ， 故选：B． 2．（22-23八年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，过点D作于E，根据角平分线性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 即点D到的距离为． 故答案为：3． 【题型二 利用角平分线的性质求面积】 例题：（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，平分，，，则的面积为（    ） A．14 B．12 C．10 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， ． 故选：D 【变式训练】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】B 【分析】解：本题考查了角平分线性质，作辅助线灵活运用角平分线性质；过点D作，垂足为E，根据角平分线性质得到，再用三角形面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为E，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 为的角平分线，，， ， 的面积， 故答案为：15． 【题型三 利用角平分线的性质证明】 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选B． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，能求出和是解题的关键． 根据角平分线定义和性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出的周长即可解答． 【详解】解：∵、平分交于点 D， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴的周长为． 故选：D． 2．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，平分，，则图中的全等三角形有 对． 【答案】5 【分析】由平分推出，从而证明出，得到，，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 全等三角形共有5对， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 【题型四 角平分线的判定】 例题：（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，过点E作于F，先由线段中点的定义得到，再由角平分线的性质得到，则，据此根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：如图所示，过点E作于F， ∵E是的中点， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴是的平分线． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如下图，已知是的两条角平分线，且相交于点P．求证：P点也在的平分线上． 【答案】见详解 【分析】过点分别作，，垂足分别为，，，利用角平分线的性质推出，由角平分线性质定理的逆定理，即可证明点在的角平分线上．本题考查角平分线的性质，角平分线性质定理的逆定理，关键是由角平分线性质得到． 【详解】证明：过点分别作于，于，于， 平分，平分， ，， ， ，， ∴P点也在的平分线上． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，连接．求证：平分． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质．根据角平分线的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定，即可求证． 【详解】证明：过点G作于点H，于点M，于点N， ∵分别平分和， ∴， ∴． ∵，， ∴平分． 【题型五 尺规作角平分线】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的性质．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，为的平分线， ， ， 的面积为． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是 度． 【答案】20 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，属于基础题． 观察可得平分，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质求的度数． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．用尺规作图法作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——基本作图，利用尺规作出的平分线即可．解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法． 【详解】解：如图， 【题型六 利用角平分线的性质判断多结论问题】 例题：（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相全等三角形的判定是解题关键． 利用“”证明，由全等三角形的性质证明，即可判断结论①；作于点于点，设交于点证明，即判断结论②；利用三角面积公式证明，由角平分线的判定定理即可判断结论④；题目中条件无法证明结论③正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，故①正确； 如图，作于点，于点，设交于点， 在和中， ，， ， ，故②正确； ，，， ， ， ， ， 平分， ，故④正确； 若③成立，则， ， ，推出， 由题意知，不一定等于， 不一定平分，故③错误； 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个， 故选：C. 【变式训练】 1．（22-23八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有 ．    【答案】①②③ 【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断． 【详解】解：∵在与中，，， ∴故①正确； ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴故②正确； 如图，连接，过点D作，过点D作，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键． 2．（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型七 角平分线的实际应用】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等， 要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（     ）种    A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的应用，三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】解：∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点，    过点P作于，于，于， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 2．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【题型八 角平分线的判定与性质的综合应用】 例题：（23-24八年级上·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，再证明即可求解． 【详解】在上截取，连接，如图 ∵为角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴，，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据证明直角三角形的全等解答．过点作于点F，由角平分线的性质得出，证明，得出，求出，由证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点F，如图所示：      ∵，平分交于点D， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，已知是的角平分线，且，则与的面积之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点作垂直于，垂直于，由为角的平分线，根据角平分线定理得到，再根据三角形的面积公式表示出与的面积之比，把以及的比值代入即可求出面积之比． 【详解】过点作于，于． 为的平分线， ， ∵， ． 故选：A． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：A． 3．（23-24七年级下·全国·期末）在中，，平分交于点，，，则到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，过作于点，由平分，根据角平分线的性质得，则到的距离是，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴到的距离是， 故选：． 4．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，在中，，平分交于点，若的面积为10，的面积为6，则的面积为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作，角平分性质的得到，证明，进而得到，进一步计算即可． 【详解】解：过点作， ∵平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选A． 5．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ）    A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，   ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习） 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．根据基本作图（作已知角的角平分线）可对①进行判断；利用为角平分线可得，则根据三角形外角性质可计算出，则可对②③进行判断；根据角平分线的性质定理可对④进行判断． 【详解】解：根据作图过程可知是的平分线，故①正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵，故③正确； ∵垂直平分线上的点到角的两边距离相等， ∴点D到直线的距离等于的长度，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．利用角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点D，若，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：24． 9．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定与性质． 过点D作交的延长线于点F，由角平分线的性质得出，利用“”证明和，再根据题意得出方程，解方程即可得出的面积． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ 设， ∴， 解得：， ∴的面积为6． 故答案为：6 10．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】/52度 【分析】此题综合考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理，解此题的关键是求出平分，难度适中．由角平分线的性质可得，，从而得出， 从而证得平分，再求得，，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为点， 平分，， ， 平分，， ， ， 平分， ，， ，， ，， ， 故答案为： 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知，平分，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．首先过作，再根据角平分线的性质可得，，进而得到． 【详解】解：过作， 平分， ， 平分， ， ． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点P，交于点Q；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)71° 【分析】此题考查了尺规作角平分线，对顶角的性质，以及直角三角形得性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余和角平分线的定义． （1）根据尺规作角平分线的方法求解即可； （2）首先根据直角三角形两锐角互余得到，然后利用角平分线的概念得到，然后根据直角三角形两锐角互余和对顶角的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的判定，证明得到，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．解题的关键是掌握：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．也考查了全等三角形的判定和性质． 【详解】证明：∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴在的角平分线上． 14．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质． （1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； （2）利用角平分线性质得出，再利用三角形面积公式即可求出． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； （2）解：平分，，，， ∴． ∵， ∴． 15．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可； （2）如图所示，过点D作交于点F，根据角平分线的性质定理得到，然后结合得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴； （2）如图所示，过点D作交于点F ∵平分，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$