2.7 弧长及扇形的面积（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.7　弧长及扇形的面积 学习目标 1．经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程，理解这两个公式之间的区别和联系； 2．会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题. 2 情境引入 为什么在4×100米比赛中运动员所在的起跑线位置不一样？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”相同. 怎样计算弯道的“展直长度”？ 3 知识回顾 1. 半径为R的圆，周长是多少？面积是多少？ C=2πR S=πR2 R 4 知识回顾 圆上任意两点间的部分叫做弧， 2. 弧与圆、扇面与圆面之间有怎样的关系？ R A B 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 弧是圆的一部分，扇面是圆面的一部分. 5 思考与探索 1. 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？弧长是多少？ O 180° O 90° O 45° O n° 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 6 新知归纳 在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角n之间有如下关系： . l O R n° 7 . 新知归纳 注意：1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； 3. R、l、n三个量中已知两个量，可以求出第三个. 2.当R为常数时，l是n的正比例函数；当n为常数时，l是R的正比例函数； 8 例题讲解 例1 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求的长． O A B C 解：连接OB、OC，则∠BOC为所对的圆心角. ∵∠BAC＝60° ∴∠BOC＝2∠BAC＝120° ∴. 9 新知巩固 解：弧长. 1. 已知圆弧所在的圆的半径为24，所对的圆心角为60°，求这条弧的长. 2. 已知75°的圆心角所对的弧长为5π，求这条弧所在圆的半径． 解：设这条弧所在圆的半径是， 则＝5π，解得：R＝12． 10 新知巩固 3. 已知半径为3，求弧长为π的弧所对的圆心角的度数. 解：设所对的圆心角的度数为n， 则＝π 解得：＝60． 弧长为π的弧所对的圆心角为60°. 11 新知巩固 4. 如图，OA、OB是⊙O的两条半径，以OA为直径的⊙O1交OB于点C，与的长相等吗？为什么？ 解：连接O1C，设∠AOB＝n°，O1A的长为R， 则由题意，得∠AO1C＝(2n)°，OA的长为2R， ＝. 因此，与的长相等. O A B C O1 弧长相等不一定是等弧，等弧的特征是能够完全重合. 12 观察与探索 2. 仿照上面的过程，当圆的半径R确定时，探索扇形的面积S扇形与扇形的圆心角度数n之间的数量关系. O 180° O 90° O 45° O n° S扇形＝·π S扇形＝·π S扇形＝·π S扇形＝·π 13 新知归纳 在半径为R的圆中，扇形的面积S扇形与圆心角度数n之间有如下关系： . S扇形 O R n° 14 . 新知归纳 注意：1.用扇形面积公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； 3. R、、n三个量中已知两个量，可以求出第三个. 2.当R为常数时， 是n的正比例函数；当n为常数时， 是R的二次函数(九下)； 15 思考与探索 3. 上述公式揭示了S扇形与n、R之间的数量关系. 试探索S扇形与l、R之间的数量关系. A B R n° l lR 类似于哪个公式呢？ O ● 16 新知归纳 扇形面积公式 lR 已知半径和弧长 已知半径和圆心角 l、R、n四个量中已知两个量，可以求出另外两个量. 17 例题讲解 例2 如图，折扇打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30 cm，AC的长为20 cm，求图中阴影部分的面积S． 解：S阴影＝S扇形OAB－ ∵ S扇形OAB＝ (cm2)， S扇形OCD＝ (cm2)， ∴ S阴影＝ (cm2). O C A B D 18 新知巩固 1. 已知扇形的半径为4，圆心角为120°，求这个扇形的面积. 解：扇形的面积为. 19 新知巩固 2. 已知扇形的面积是6π，半径为4，求这个扇形的弧长. 解：∵ lR， ∴6π＝， 解得＝3π. 20 新知巩固 3. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，求这个扇形的面积. 解：设这条弧所在圆的半径是， 则＝20π，解得：R＝30， S扇形＝ . 21 拓展与延伸 例3 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的3等分点．求弦AC、AD与围成的阴影部分的面积． 解：连接OC、OD、CD. ∵, ∴∠ADC∠DAB. ∴CD∥AB. ∴△OCD和△ACD同底等高， 即 ∴. 22 新知归纳 不规则图形面积的求法： 求圆中不规则图形的面积的基本思想是转化思想，一般思路是通过添加辅助线，将要求的不规则图形的面积转化为规则图形(三角形、扇形等)的面积的和或差，进而求解． 23 新知巩固 1．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积. D 解：过点作于，则米， ， ∵圆的直径为米， ∴米， ∴在中，米， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积 . 24 新知巩固 2. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，且AC＝OC. (1)求的度数； O A B C 解：(1)连接OB、BC. ∵AB是⊙O的切线，切点为B， ∴OB⊥AB. ∵AC＝OC， ∴BC＝OA＝OC， ∴OB＝BC＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴的度数的为60°. 25 新知巩固 2. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，且AC＝OC. (2)设⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积. O A B C (2)由(1)得AC＝OC＝OB＝5，OB⊥AB 在Rt△OBA中，由勾股定理得， AB＝＝＝5. S阴影＝－S扇形OBC ＝ ＝. 26 弧长计算公式 扇形面积计算公式 课堂总结 不规则图形的面积的求法：转化为规则图形的面积的和或差 当堂检测 基础过关 1．(2024·安徽·中考真题)若扇形的半径为6，∠AOB=120°, 则的长为 ( ) A． B． C． D． C O A B 28 当堂检测 基础过关 2．已知⊙O的半径OA=5，扇形OAB的面积为15π，则 所对的圆心角是( ) A．120° B．72° C．36° D．60° B 29 当堂检测 基础过关 3．(2023·黑龙江哈尔滨·中考真题) 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是 cm． 3 4．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为______. 40° 30 当堂检测 基础过关 5．(2024·山东泰安·中考真题)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是___________. 31 当堂检测 基础过关 6．(2024·四川广安·中考真题)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC、BC分别相交于点D、E，求的长度。 O A B C D E 解：连接，，   ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 在中，， ∴， 又， ∵，∴， ∴的长度为. 32 当堂检测 1．(2024·内蒙古包头·中考真题)如图，在扇形中，∠AOB=80°，半径，是上一点，连接，是上一点，且OD=DC，连接．若，则的长为 ( ) A． B． C． D． 能力提升 B 33 当堂检测 能力提升 2．(2024·河北·中考真题) 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图像大致是 ( ) A． B. C. D. C 34 当堂检测 能力提升 3．(2022·广西河池·中考真题) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为 (    ) A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π A 35 当堂检测 4．(2022·湖北武汉·中考真题)一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为___________. 能力提升 5．(2022·江苏盐城·中考真题)如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 ． 36 当堂检测 能力提升 6．(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是_______米．(取3.14，计算结果精确到0.1) 37 当堂检测 能力提升 7．(2024·吉林长春·中考真题)一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为_____．(结果保留) 8π 38 当堂检测 能力提升 8．(2024·青海·中考真题)如图，直线经过点C，且，． (1)求证：直线是的切线； (1)证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； 39 当堂检测 能力提升 (2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积． (2)解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 40 2021 Blues 4800.0 $$