苏科版九年级数学上学期期中模拟试卷 测试范围：一元二次方程、对称图形——圆-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

2024-2025学年苏科版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：一元二次方程、对称图形——圆 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）实数a、b满足，则b的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）一种微波炉每台成本价原来是元，经过两次技术改进后，成本降为元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·江苏南京·期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（  ） A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切．    A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 7．（23-24九年级上·江苏常州·期中）已知点在半径为5的上运动，是的一条弦且，则使的面积为8的点共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，，交于点A，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，点O是正方形和正五边形的中心，连接、交于点P，则（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的一个根为3，则k的值为 ． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）圆锥的底面半径是，圆锥的母线是，则圆锥的侧面积是 ． 13．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径为，如果点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 （选填“圆内”、“圆外”、或“圆上”）． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若，则的度数为 ． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）请写出一个二次项系数为1，且以为其中一个根的一元二次方程： ． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图．的直径垂直于弦，垂足是E，，， 的长为 ． 18．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（20-21九年级上·江苏南京·期中）四边形 ABCD 内接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，点 E在上，求∠E 的度数． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆画与、分别相交于点、，且， (1)求的长； (2)求的长． 21．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． (1)当时， 米， 平方米； (2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 22．（22-23九年级上·江苏·期中）如图，中，，以为直径作，分别交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求弦的长． 23．（21-22九年级上·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”． (1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）； (2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值； (3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 24．（2022八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，(a为常数)，以C为圆心、适当的长度为半径作，使点A、B在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，直线与有且只有一个公共点，则 ． 25．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B停止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒． (1)若点P、Q均以的速度移动，则： 的面积为 ；（用含t的代数式表示） (2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动． ①当秒时，判断的形状，并说明理由； ②当t为何值时，为直角三角形． 26．（22-23九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，，，由勾股定理可得，若，则称点是点的“倍圆点”， 例如，，满足，则称点是点的“1倍圆点”． (1)已知点，则，，，，四点中，______是点O的“5倍圆点”，由此结论：点O的所有“5倍圆点”组成个的图形是______． (2)若点是点的“6倍圆点”，且点不在反比例函数的图像上，求的取值范围． (3)若点为上的一动点，其中，，，，，点是点的“倍圆点”，且的最小值为，直接写出的值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：一元二次方程、对称图形——圆 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、未指明，不一定是一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）实数a、b满足，则b的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得关于a的一元二次方程有实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵实数a、b满足， ∴关于a的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴b的最大值为3， 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ， 故选：B． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）一种微波炉每台成本价原来是元，经过两次技术改进后，成本降为元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一次降价后成本为，第二次降价后成本为，然后根据题意列方程即可． 【详解】解：由题意知，第一次降价后成本为，第二次降价后成本为， 依题意得，， 故选：A． 5．（22-23九年级上·江苏南京·期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（  ） A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10 【答案】A 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径 【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可． 【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心， ∴，平分， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为， B、∵是等腰三角形， 过点A作于D，延长交于E， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴外接圆半径为， C、作于点D，作直径，连接， 在中，， 在中，， ∴， 即, 解得， 由勾股定理得， ， ∵为圆的直径， ∴， ∴，又， ∴， ∴，即， 解得， 则外接圆半径， D、∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴此三角形外接圆的半径为5， ∴其外接圆半径最小的是A选项， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切．    A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 【答案】C 【知识点】切线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和含角的直角三角形的性质．根据题意与相切分：在直线左侧时，在直线右侧时，求出运动的路程，即可根据速度求得时间． 【详解】解：①由题意可知与相切于点E， ∴， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒． ②当圆心P在直线的右侧时，， 则需要运动的时间为秒． 综上所述，与直线相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 7．（23-24九年级上·江苏常州·期中）已知点在半径为5的上运动，是的一条弦且，则使的面积为8的点共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键，根据的面积可将高求出，即上的点到的距离为高的点都符合题意． 【详解】解：过圆心向弦作垂线，再连接半径， 设的高为， ∵， ∴， ∴弦心距， ∵， ∴过圆心向所在的半圆作弦心距为1的弦与的两个点符合要求； ∵， ∴将弦心距延长与相交，交点也符合要求， ∴符合要求的点有3个， 故选：C． 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，，交于点A，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、等边对等角 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，，   ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，点O是正方形和正五边形的中心，连接、交于点P，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提． 根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接是正方形和正五边形的外接圆， 正方形内接于， ， 又正五边形内接于， ， ， 故选：B． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，连接与交于点O，连接证明点O是的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为，即可求出绪论． 【详解】解：连接与交于点O，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点O为的中点， 连接则与交于点O， 由折叠得， 又 ∴， ∴ 又， ∴ ∴G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， ∴G的运动轨迹为， ∴连接并延长，交于时，最大， 当共线时，即G与重合时，最大， ∴， ∵P为的中点，O为的中点， ∵， ∴, 即的最大值为， 故选：C 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的一个根为3，则k的值为 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入方程中，求解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程中，得， 解得：， 故答案为：1． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）圆锥的底面半径是，圆锥的母线是，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】/平方厘米 【知识点】求圆锥侧面积、求扇形面积 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，熟知扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意，圆锥的侧面展开图是扇形，其半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长， ∴圆锥的侧面积是， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径为，如果点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 （选填“圆内”、“圆外”、或“圆上”）． 【答案】圆外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外；点在园内，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 点与的位置关系是点在圆外， 故答案为：圆外． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若，则的度数为 ． 【答案】/118 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）请写出一个二次项系数为1，且以为其中一个根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解 【分析】先根据一元二次方程的解法一因式分解，写出方程，再化为一般形式． 本题考查了一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：，即： ， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ． 【答案】或 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的面积，解一元二次方程的应用；作辅助线，由已知线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分可得，列方程可解答． 【详解】解：如图，将图形补成长方形， 设正方形③的边长为，则，， 正方形①、②的边长分别是，， 线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分， ， ， ， 解得：，， 则正方形③的边长为或． 故答案为：或． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图．的直径垂直于弦，垂足是E，，， 的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 先由垂径定理得到的值，再根据等边对等角易证，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵直径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍去） 故答案为：． 18．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【知识点】根据正方形的性质证明、证明某直线是圆的切线、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（20-21九年级上·江苏南京·期中）四边形 ABCD 内接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，点 E在上，求∠E 的度数． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】连接BD，根据圆的内接四边形对角互补的性质求出的度数，再根据CB=CD，得到，求出这两个角的度数，最后由圆周角定理得． 【详解】解：连接BD， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100∘， ∴， ∵CB=CD， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的内接四边形的性质． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆画与、分别相交于点、，且， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)的长为； (2)． 【知识点】求弧长、圆周角定理、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）连接，，由是的直径，则，由，，得到，再根据圆周角定理求出，最后通过弧长公式即可求解； （）由，则，在中，由勾股定理得，求出，然后根据线段和差即可求解； 本题考查了圆周角定理，弧长计算公式，等腰三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）连接，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）由（）得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 21．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． (1)当时， 米， 平方米； (2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 【答案】(1)10；200 (2)的长为15米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得，即可求出，根据长方形面积公式，即可求出y； （2）根据题意可得，则，根据长方形面积公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：10，200； （2）解：由题意知：，则， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，应舍去， ∴的长为15米． 22．（22-23九年级上·江苏·期中）如图，中，，以为直径作，分别交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1) (2)24 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查了垂径定理，掌握定理并灵活运用是解题的关键， （1）根据等腰三角形的性质可得，进而求出，根据垂径定理可得，从而求出的度数； （2）连接，已知，则，则，已知，则，在中利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接， ，， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 即弦的长为24． 23．（21-22九年级上·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”． (1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）； (2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值； (3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、一元二次方程的解、反比例函数与几何综合 【分析】（1）设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”；①假设图象上存在“反换点”，将P（m，n），Q（－n，－m）坐标分别代入解析式，计算两等式是否有解，若有解，则图象存在反换点； （2）设，则，其中，由题意得，求出的值，进而得到点坐标，然后代入中计算求解即可； （3）假设图象上存在“反换点”，则有，①+②式得，有即，将代入①中求解的值，的值，进而得到的点坐标，计算两点的中点坐标即可． 【详解】（1）解：设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”，且即 ①假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有即 将Q（－n，－m）代入，则有即 与矛盾 ∴P（m，n）和Q（－n，－m）不能同时在图象上 ∴图象上不存在“反换点” 故①不符合题意； ②假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有 即 将Q（－n，－m）代入，则有即 与相同 ∴P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上 ∴图象上存在“反换点” 故②符合题意； ③假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有① 将Q（－n，－m）代入，则有即② 将①代入②中得即 解得或（舍去） ∴存在使P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上 ∴图象上存在“反换点” 故③符合题意； 故答案为：②③． （2）解：设，则，其中 ∴ 解得 ∴ 将代入得 解得 ∴的值为． （3）解：假设图象上存在“反换点” 则有 ①+②式得 ∴或（舍去） 将代入①中得 解得或 当时，，此时，，两点的中点坐标为； 当时，，此时，，两点的中点坐标为； ∴存在“反换点”，线段中点坐标为． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，反比例函数与几何综合，解一元二次方程等知识．解题的关键在于理解题意并用适当的方法解方程． 24．（2022八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，(a为常数)，以C为圆心、适当的长度为半径作，使点A、B在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，直线与有且只有一个公共点，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)4或24 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、圆的基本概念辨析 【分析】（1）由点C的坐标知，改点在直线上，由圆的定义知，点C在的中垂线上，故上述两条直线的交点，即为点C为位置，即可求解； （2）求出点，由，即可求解． 【详解】（1）由点C的坐标知，该点在直线上，由圆的定义知，点C在的中垂线上， 故上述两条直线的交点，即为点C为位置，由此画出如下图所示． （2）如下图所示，设直线与有且只有一个公共点为点T， 则和直线垂直，且， ∵点C在直线， ∴点T是直线和直线的交点， 则点， 由得： ， 解得或． 故答案为：4或24． 【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到图象作图、圆的基本知识，其中（2），确定点T的位置，是本题解题的关键，题目综合性强，有一定的难度． 25．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B停止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒． (1)若点P、Q均以的速度移动，则： 的面积为 ；（用含t的代数式表示） (2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动． ①当秒时，判断的形状，并说明理由； ②当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)①为等腰直角三角形，理由见解析；②经过或时，为直角三角形 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、线段垂直平分线的性质、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）由题意得，则，即可得出答案； （2）①过点作于点，证四边形是矩形，得出，由题意得，则，得出四边形是正方形，点是的中点，再由垂直平分线的性质得出，然后由等腰三角形的性质得，求出，即可得出结论； ②为直角三角形分两种情况：当时，过点作于点，证四边形为矩形，得出，再由题意得，则，然后由勾股定理得出，求出；当时，，则，求出；即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ∴边上的高为， 由题意得：， ， ， 故答案为； （2）解：①为等腰直角三角形，理由如下： 如图1，过点作于点， ， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， 由题意得：， ， ∴四边形是正方形，， ∴点是的中点， 又∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， 又， ∴为等腰直角三角形； ②∵点不与点重合， ， ∴为直角三角形分两种情况： 当时， 如图，过点作于点， ， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形， ， 由题意得：， 则， ， 解得：； 当时，， ， 解得：； 综上可知：当为或或时，为直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形面积公式、分类讨论等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和等腰直角三角形的判定以及勾股定理是解题的关键． 26．（22-23九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，，，由勾股定理可得，若，则称点是点的“倍圆点”， 例如，，满足，则称点是点的“1倍圆点”． (1)已知点，则，，，，四点中，______是点O的“5倍圆点”，由此结论：点O的所有“5倍圆点”组成个的图形是______． (2)若点是点的“6倍圆点”，且点不在反比例函数的图像上，求的取值范围． (3)若点为上的一动点，其中，，，，，点是点的“倍圆点”，且的最小值为，直接写出的值． 【答案】(1)，，，圆 (2)或 (3)0或或 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、判断点与圆的位置关系 【分析】（1）根据题意，可先算出给出的四点到点的距离，再进一步判断即可； （2）根据反比例函数的对称性可知，以点为圆心，6为半径的圆与反比例函数的图象没有交点，临界点为两个图形刚好相切，结合图形可知，点的坐标为，点的坐标为，由此可得出的值，进而可得出的取值范围； （3）根据题意可知，是等边三角形，根据题意画出图形，再进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ，，，， 点，，是点的“5倍圆点”，由此结论： ， 点的所有“5倍圆点”组成个的图形是圆． 故答案为：，，，圆； （2）解：根据题意可知，以点为圆心，6为半径的圆与反比例函数的图象没有交点，临界点为两个图形刚好相切， 如图，当反比例函数在第一、三象限时， 设反比例函数与圆的交点为点，且由圆和反比例函数的对称性可知，点在直线的图象上， 过点作轴于点， 则，且， ， 点的坐标为， ， ． 当反比例函数过第二、四象限时，设当反比例函数在第一、三象限时， 同理可得，点的坐标为， ， ． 结合图象可知，的取值范围为：或 （3）解：，，，，， ，，， 是等边三角形， ， 如图，设，与轴分别相交于点，，则是等边三角形， 过点作轴于点，则． 根据题意需要分以下三种情况： ①当圆在内部，如图所示， 过点作于点， 若，则，即点与点重合， 此时； ②当圆在左侧，如图所示， 过点作于点， ， ， ，即； ③当圆在右侧，如图所示， 过点作于点， ， ， ，即； 综上，满足题意的的值为0或或． 【点睛】本题属于新定义问题，涉及考查反比例函数的性质，圆的性质，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，数形结合思想等相关知识，关键是理解给出新定义． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$