3.2平行线分线段成比例（7大题型提分练）数学湘教版九年级上册

3.2 平行线分线段成比例 题型一 平行线等分线段定理 1、“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型二 由平行线分线段成比例判断式子正误 2、如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 3、如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4、如图，四边形是平行四边形，点，分别在的延长线，的延长线上，连接分别交，于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型三 平行线分线段成比例相关的计算和证明 5、如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6、已知，如图，直线，，，，则的长（   ） A． B． C． D． 7、如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 8、如图，直线，已知，，， ． 9、如图，在中，点分别是边上的点，，若，则等于（　　） A． B． C． D． 题型四 平行线分线段成比例（A型） 10、在中，，，，则等于（　　）    A．10 B．8 C．9 D．6 11、如图，在中，点D、E分别在、边上，，若，，则等于（    ） A．3 B．14 C．6 D．8 12、如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 13、如图，中，D、F在边上，E、G在边上，，且，若，则的长为（    ） A．9 B．15 C．12 D．6 故选：A． 14、如图，在中，，，，求证：． 题型五 平行线分线段成比例（X型） 15、如图，已知，，，，则的长为（    ） A． B．7 C．8 D． 16、如图，． (1)，求； (2)，的长． 题型六 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 17、如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ． 18、如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，那么的值是（　　） A． B． C． D． 题型七 平行线分线段成比例的常用辅助线 19、如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 20、如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 21、如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　）    A． B． C． D． 22、如图，点在反比例函数（）的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为12，则的值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．12 23、如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 24、如图，在中，分别交于点D，E．交于点F，，，则的长为 ．    25、如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 26、在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 27、如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 28、如图，正方形边长为3，G，F是对角线的三等分点，点E在边上，，连接． (1)求的长． (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 平行线分线段成比例 题型一 平行线等分线段定理 1、“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】根据题意可得， 这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段相等． 故选：C． 题型二 由平行线分线段成比例判断式子正误 2、如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出,根据中位线定理分析求解． 【详解】解：∵D、E分别为边的中点， ∴. ∴ ∴,    . ∴. ∵， ∴. ∴. 所以，正确，错误； 故选：C 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键． 3、如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4、如图，四边形是平行四边形，点，分别在的延长线，的延长线上，连接分别交，于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断不符合题意；由得，所以，可判断不符合题意；由得，所以，可判断不符合题意；由证明，得，则，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 故A不符合题意； ， ， ， 故B不符合题意； ， ， ， 故C不符合题意； ， ， ， ， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质正确地列出比例式是解题的关键． 题型三 平行线分线段成比例相关的计算和证明 5、如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线、所得的对应线段成比例成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例，由得到，然后根据比例性质求即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：． 故选：C． 6、已知，如图，直线，，，，则的长（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例． 根据得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵直线，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 7、如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，由即可进一步得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8、如图，直线，已知，，， ． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 9、如图，在中，点分别是边上的点，，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．由得，故，再根据得． 【详解】解： ． 故选：D． 题型四 平行线分线段成比例（A型） 10、在中，，，，则等于（　　）    A．10 B．8 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得，问题即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴＝， 解得：， 故选：D． 11、如图，在中，点D、E分别在、边上，，若，，则等于（    ） A．3 B．14 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例定理得出，即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 故选∶D． 12、如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，根据题意得出即可求解，熟练掌握此定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 13、如图，中，D、F在边上，E、G在边上，，且，若，则的长为（    ） A．9 B．15 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，则，得到．则，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 14、如图，在中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；由平行可得，结合已知条件和比例的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型五 平行线分线段成比例（X型） 15、如图，已知，，，，则的长为（    ） A． B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，即可求出结果． 【详解】解：∵． ∴， ∴， 故选：A． 16、如图，． (1)，求； (2)，的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为5． 题型六 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 17、如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．由菱形的性质可得，，利用为的中位线求得，借助勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：菱形中，对角线，相交于点， ，，， ， ∴， ， 为的中位线， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：． 18、如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质及E是AD边上的中点可知ED是△BFC的中位线， 即可得的值； 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ED∥BC，ED＝BC， ∵点E是AD的中点， ∴ED是△BFC的中位线， ∴点D是FC的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、中位线的性质，平行线分线段成比例，掌握平行四边形的性质、中位线的性质，平行线分线段成比例等知识是解题的关键． 题型七 平行线分线段成比例的常用辅助线 19、如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 20、如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．作交于，证出，根据三角形面积关系得，根据平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到答案． 【详解】解：作交于， 是的中线， ， ， ， 的面积与的面积之比是， ， ， ， ， ； 故答案为：12． 21、如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，    则，即， 解得：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 22、如图，点在反比例函数（）的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为12，则的值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式可得，进而求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的前提，求出的面积是正确解答的关键． 23、如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；过作，由三角形中位线定理可求出的长，由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理得 ，即可求解；掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，通过勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴()， ， ， ； 故选：D． 24、如图，在中，分别交于点D，E．交于点F，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25、如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 26、在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 【答案】/③① 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变的长度能使 成立，故可判断③；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断④，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：①、 ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； ②、只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故②不符合题意； ③、改变的长度，与的交点为中点时，则 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， 故③符合题意； ④保持的长度不变且时， ∵平分 ∴为的中点， ∴ 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， ∴改变的大小都能使 当的长度不变且不等于时，点不是的中点， ∴不可能使成立，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论是， 故答案为：． 27、如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，以及勾股定理的应用，由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出，，由平行线分线段成比例可得出，设，则，代入，得出x的值，即可得出 【详解】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 28、如图，正方形边长为3，G，F是对角线的三等分点，点E在边上，，连接． (1)求的长． (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理的逆定理等： （1）过点F作于点M，于点N，先证四边形为正方形，根据得出，最后由勾股定理解即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可得出． 【详解】（1）解：过点F作于点M，于点N， ∵四边形为正方形， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点F为三等分点， ∴， ∴， 又∵G为中点，， ∴， ∴， 在中，． （2）解：， 理由：连接， 在中，， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$