人教版九年级数学上学期期中模拟试卷 测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

2024-2025学年人教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（22-23九年级上·山东济宁·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 3．（21-22九年级上·山西·期中）若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 4．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·四川凉山·期中）将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（    ） A．1 B． C．2 D．0 9．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（    ）m． A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知是方程的根，则 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程的根为 ． 13．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 14．（22-23九年级上·广西贺州·期中）平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点坐标是 ． 15．（23-24九年级上·山东青岛·期中）在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ． 16．（22-23九年级上·广东韶关·期中）某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有 家商家参加了交易会． 17．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    18．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（23-24九年级上·河南南阳·期中）（1）计算：； （2）用配方法解方程：． 20．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 21．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴． (2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值． (3)设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标． 22．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 23．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 24．（23-24九年级上·北京海淀·期中）数学课上，褚老师进行了一个数学游戏，具体规则如下： 已知抛物线，给定了I和II两个条件框，甲同学要从条件框I中任选一个条件，乙同学从条件框II中任选两个条件，若选定的三个条件能使这个抛物线唯一确定，则游戏胜利；若无法唯一确定或此抛物线不存在，则游戏失败． 【条件框I】 ① ② ③抛物线顶点纵坐标为． ④抛物线顶点纵坐标为2.25 【条件框II】 ⑤当时，y随x的增大而增大 ⑥抛物线的对称轴为 ⑦抛物线与x轴的两个交点距离为3 ⑧当时，y随x的增大而减小 ⑨抛物线与直线只有一个交点 ⑩抛物线与y轴交于点 （1）甲同学在条件I中选择条件③，若游戏失败，写出一个乙同学选择的方案 ； （2）无论甲同学选择了条件框I中的哪个条件，游戏都胜利，写出乙同学可能选择的方案 ．（填写序号即可） 25．（22-23九年级上·四川内江·期中）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 26．（22-23九年级上·福建莆田·期中）抛物线交轴于是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使和面积相等，如果存在，求出所有满足条件的点的横坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（22-23九年级上·山东济宁·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程定义，掌握一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是解题的关键． 【详解】解：A. ，是二元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，当时，不是一元二次方程； D. ，是二元二次方程，不是一元二次方程； 故选B． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，直接利用根的判别式计算即可选出正确答案． 【详解】解：， ， 此方程有两个相等的实数根． 故选：A． 3．（21-22九年级上·山西·期中）若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 4．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求解方程即可 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：B 5．（22-23九年级上·四川凉山·期中）将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，接着根据平行线的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：在平面内绕点旋转到的位置， ，， ， ∵， ， ． 故选：B． 6．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】由题意得： 故选：B． 7．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【答案】C 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与不等式恒成立问题，由题干给出的条件可知两个条件都满足可以发现二次函数经过一个定点．就可以求出答案； 【详解】解：∵对任意实数x，都有， ∴当时，， 又当时，有， ∴当时，， ∴当时， ， 故二次函数经过点， ∴①， 又时，， ∴②， 有①②得：， 解得：， 故选：B． 9．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（    ）m． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴通过以上条件可设顶点式， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：, ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：   ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度当然是增加了米， 故选：B． 10．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，代入二次函数解析式得，又由抛物线经过原点得，即可得到，再代入计算即可求解，证明得到，是解题的关键． 【详解】解：作轴，于，于，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点的坐标分别是，， ∴， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知是方程的根，则 【答案】 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及提公因式法因式分解解一元二次方程，由题中所给的一元二次方程的结构特征，提公因式因式分解求解即可得到答案，熟练掌握提公因式法因式分解解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即，解得，， 故答案为：，． 13．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 14．（22-23九年级上·广西贺州·期中）平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点坐标是 ． 【答案】和 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了求抛物线与轴的交点坐标．通过解方程得到抛物线与轴的两个交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与轴的两个交点坐标为和． 故答案为：和． 15．（23-24九年级上·山东青岛·期中）在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ． 【答案】菱形、矩形、正方形 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， 等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形， 菱形、矩形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：菱形、矩形、正方形． 16．（22-23九年级上·广东韶关·期中）某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有 家商家参加了交易会． 【答案】9 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设有家商家参加交易会，根据题意列出方程并求解即可． 【详解】解：设有家商家参加交易会，根据题意列出方程得， ， 解得或（舍去） 则， 答：共有9家商家参加了交易会． 17．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、y=ax²的图象和性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ∴ 依此类推，则正方形的边长为． 故答案为：． 18．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，二次函数图象与系数关系； （1）根据抛物线的对称性可得点P的坐标与点C的纵坐标相等，再根据对称的性质求出横坐标即可； （2）把点A、C的坐标代入函数解析式并用a表示出b，令，表示出t，再根据顶点在第一象限求出a的范围，即可求得t的范围． 【详解】解：（1）∵点C与点P关于直线对称， ∴点P的纵坐标为1； 设点P的横坐标为x，则， ∴， 即点P的坐标为； 故答案为：； （2）∵二次函数的图像过点和， ∴， 则， 即； 上式中，令，则； ∵抛物线的顶点在第一象限， ∴，， 由后一式得，则， ∴由前一式得， ∴， 即， 故答案为：． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（23-24九年级上·河南南阳·期中）（1）计算：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程： （1）先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，再解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， 解得． 20．（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法和因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，然后，即可作答． （2）把原方程移项，得，再提公因式，运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ， ∴， 即． （2）解：∵ ∴移项，得． 方程左边分解因式，得． ∴或． 得． 21．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴． (2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值． (3)设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为直线 (2)函数y有最小值，最小值为 (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和最值，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． （1）根据函数表达式即可解决问题． （2）由抛物线开口向上，结合函数表达式解决问题． （3）令即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线； （2）解：∵，且顶点坐标为 ∴函数y有最小值，最小值为； （3）解：在中，令，则， ∴． 22．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 【答案】(1)是 (2) 【知识点】一元二次方程的一般形式、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义，即可求解； （2）根据是“勾系一元二次方程”的一个根，可得，再由四边形的周长是，可得，从而得到，继而得到，再根据，可得ab=4，即可求解． 【详解】（1）解：∵ 这里，， ∴， ∴是“勾系一元二次方程”． （2）解：当时，有， 即， ∵四边形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定义是解题的关键． 23．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、求关于原点对称的点的坐标、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了作图对称变换，轴对称变换，解决本题的关键是熟练掌握中心对称及轴对称的性质． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）先作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，              24．（23-24九年级上·北京海淀·期中）数学课上，褚老师进行了一个数学游戏，具体规则如下： 已知抛物线，给定了I和II两个条件框，甲同学要从条件框I中任选一个条件，乙同学从条件框II中任选两个条件，若选定的三个条件能使这个抛物线唯一确定，则游戏胜利；若无法唯一确定或此抛物线不存在，则游戏失败． 【条件框I】 ① ② ③抛物线顶点纵坐标为． ④抛物线顶点纵坐标为2.25 【条件框II】 ⑤当时，y随x的增大而增大 ⑥抛物线的对称轴为 ⑦抛物线与x轴的两个交点距离为3 ⑧当时，y随x的增大而减小 ⑨抛物线与直线只有一个交点 ⑩抛物线与y轴交于点 （1）甲同学在条件I中选择条件③，若游戏失败，写出一个乙同学选择的方案 ； （2）无论甲同学选择了条件框I中的哪个条件，游戏都胜利，写出乙同学可能选择的方案 ．（填写序号即可） 【答案】 ⑤⑥（答案不唯一） ⑥⑩ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次抛物线解析式． （1）当甲同学在条件I中选择条件③，再根据③从条件框II中选择两个条件可以确定唯一的抛物线，则则条件框II其他都不可能确定唯一的抛物线，除了⑥⑩以外的组合，其他的都可以使游戏失败． （2）分两种情况，当甲同学选择①或②时或当甲同学选择③或④时，分别找出条件框II中两个条件都能确定唯一抛物线的选择即可． 【详解】解：（1）当甲同学在条件I中选择条件③，即抛物线顶点纵坐标为， 当乙同学从条件框II中选择⑥抛物线的对称轴为， 则， 再选⑩抛物线与y轴交于点，可利用待定系数法求出唯一的抛物线， 则条件框II其他都不可能确定唯一的抛物线， 故除了⑥⑩以外的组合，都可以， 例如：⑤⑥， 故答案为：⑤⑥（答案不唯一） （2）当甲同学选择①或②时， 设，或，a值可确定， 乙同学选择⑥时， 根据对称轴，可求出b的值， 再选择⑩时，根据抛物线与y轴交于点，可确定c的值， 故当甲同学选择①或②时，乙同学选择⑥⑩，可以确定唯一的抛物线， 当甲同学选择③或④时，同（1），选择⑥⑩可以确定唯一的抛物线， ∴无论甲同学选择了条件框I中的哪个条件，游戏都胜利，乙同学可能选择的方案为⑥⑩， 故答案为：⑥⑩． 25．（22-23九年级上·四川内江·期中）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 【答案】(1)①裁去的正方形边长为；②有，裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为 (2)裁去的左侧正方形的边长为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可； ②根据题意表示出侧面积，然后配方根据平方的非负性求解即可； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的正方形边长为； ②侧面积为长方体盒子总面积减去底面积， 即 配方得 ， 即最大值为200，此时 答：裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的左侧正方形的边长为． 26．（22-23九年级上·福建莆田·期中）抛物线交轴于是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使和面积相等，如果存在，求出所有满足条件的点的横坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的点的横坐标为0，， (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； （2）根据题意，分类求解：①若点在的下方时，由，即可求解；②若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件，进而求解； （3）设，是方程的两根，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∴； （2）解：， ， 直线的解析式为， 又∵ ∴两点到的距离相等， ①若点在的下方时，过点作的平行线与抛物线交点即为，如图所示： ，， 直线的解析式为， 由，解得， ， 的横坐标为0． ②若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，则，符合条件，如图所示： 直线的解析式为， 由，可得，解得， ，的横坐标为，， 综上所述，满足条件的点的横坐标为0，，； （3）解：设点的横坐标为，过点的直线的解析式为， 由，可得， 设，是方程的两根，则， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，同理，可得， ， ， ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法确定函数解析式、一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$