专题训练01 全等三角形之—— 一线三等角模型2024-2025学年人教版数学八年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练01 全等三角形之—— 一线三等角模型（原卷版） 1．（2024春•秀英区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5） 2．（2023秋•湖北月考）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AC边上的点，且AD＝2CD，连接BD．过点B作EB⊥BD，并截取EB＝DB，连接AE交CB于点F．则下列结论：①∠CBE＝∠CDB；②F是AE的中点；③∠FEB＝∠FAC+∠CBD；④BF＝3CF．其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•姑苏区校级期中）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 4．（2023秋•龙华区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C两点重合），且∠1＝∠C，若AD＝DE，则AE的长为 　 　． 5．（2022秋•罗山县期中）如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是 　 　． 6．（2022秋•南陵县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝　 　cm． 7．（2023春•城阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是 　 　． 8．如图所示．已知∠B＝∠ADE＝∠C，BD＝CE，则（1）△ABD≌△DCE吗？（2）AC＝CD吗？ 9．（2011秋•西城区期末）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD﹣BE． 10．（2023春•大竹县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE＝CE． （1）求证：△AEF≌△CEB；（2）若AF＝12，求CD的长． 11．如图，点AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C在BD上，且∠ACE＝90°，AC＝CE，AB＝4，BC＝6． （1）线段AC＝　 　；（2）证明△ABC≌△CDE；（3）如果点P是线段BC上任意一点，问是否存在P使得点A、E、P构成一个直角三角形？若存在请求出BP的长；若不存在，请说明理由． 12．（2021秋•天门期末）如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为 　 　；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 13．（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD． （1）判断DF与DC的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　． （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 14．（2023秋•永定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N． （1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN；（2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝　 　． 15．（2024•烟台）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE． 【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 　 　； 【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明； 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 专题训练01 全等三角形之—— 一线三等角模型（解析版） 1．（2024春•秀英区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5） 【分析】作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△CBD（AAS），得OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，从而解决问题． 【解答】解：作BD⊥x轴于D， ∵B（6，1）， ∴BD＝1，OD＝6， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCD＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠BCD＝∠OAC， ∵∠AOC＝∠BDO， ∴△ACO≌△CBD（AAS）， ∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5， ∴A（0，5）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明△ACO≌△CBD是解题的关键． 2．（2023秋•湖北月考）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AC边上的点，且AD＝2CD，连接BD．过点B作EB⊥BD，并截取EB＝DB，连接AE交CB于点F．则下列结论：①∠CBE＝∠CDB；②F是AE的中点； ③∠FEB＝∠FAC+∠CBD；④BF＝3CF．其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过点E作EH⊥BC，垂足为H，根据垂直定义可得∠BHE＝∠FHE＝∠DBE＝90°，从而可得∠DBC+∠CBE＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠DBC+∠CDB＝90°，从而可得∠CDB＝∠CBE，进而利用AAS证明△CDB≌△HBE，然后利用全等三角形的性质可得CD＝BH，BC＝HE，∠CBD＝∠BEH，从而可得HE＝AC，进而根据AAS证明△AFC≌△EFH，再利用全等三角形的性质可得CF＝FH，AF＝EF，∠FAC＝∠FEH，从而可得点F是AE的中点，最后根据角的和差关系以及等量代换可得∠FEB＝∠FAC+∠CBD，即可判断①②③；再根据等式的性质可得AD＝CH，从而可得CH＝2BH，进而可得BH＝FH＝CF，即可判断④；即可解答． 【解答】解：过点E作EH⊥BC，垂足为H， ∴∠BHE＝∠FHE＝90°， ∵EB⊥BD， ∴∠DBE＝90°， ∴∠DBC+∠CBE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠DBC+∠CDB＝90°， ∴∠CDB＝∠CBE； ∵EB＝DB，∠BHE＝∠C＝90°， ∴△CDB≌△HBE（AAS）， ∴CD＝BH，BC＝HE，∠CBD＝∠BEH， ∵BC＝AC， ∴HE＝AC， ∵∠C＝∠FHE＝90°，∠AFC＝∠EFH， ∴△AFC≌△EFH（AAS）， ∴CF＝FH，AF＝EF，∠FAC＝∠FEH， ∴点F是AE的中点； ∵∠FEB＝∠FEH+∠BEH， ∴∠FEB＝∠FAC+∠CBD； 故①②③都正确； ∵AC＝BC，CD＝BH， ∴AC﹣CD＝BC﹣BH， ∴AD＝CH， ∵AD＝2CD， ∴CH＝2BH， ∵CH＝2CF＝2FH， ∴BH＝FH＝CF， ∴BF＝2CF， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的结论共有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2023秋•姑苏区校级期中）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解． 【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝4， ∵∠EAB+∠ABE＝∠DBF+∠ABE＝90°， ∴∠EAB＝∠DBF， ∵∠AEB＝∠BFD＝90°，AB＝DB， ∴△AEB≌△BFD（AAS）， ∴DF＝BE＝4， ∴S△DCB＝CB•DF， ∴S△DCB＝×8×4＝16， 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形． 4．（2023秋•龙华区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C两点重合），且∠1＝∠C，若AD＝DE，则AE的长为 　2　． 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而可得∠B＝∠1＝∠C，然后利用一线三等角构造全等△ABD≌△DCE，从而利用全等三角形的性质可得AB＝CD＝4，BD＝CE＝2，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC＝4， ∴∠B＝∠C， ∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B， ∵∠1＝∠C， ∴∠B＝∠1， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠1， ∴∠BAD＝∠EDC， ∵AD＝ED， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AB＝CD＝4，BD＝CE， ∵BC＝6， ∴CE＝BD＝BC﹣CD＝6﹣4＝2， ∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2022秋•罗山县期中）如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是 　（1，﹣4）　． 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB＝∠DBC，结合∠AOB＝∠BDC、AB＝BC，即可证出△OAB≌△DBC（AAS），根据全等三角形的性质即可得出BD＝AO、DC＝OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标． 【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠DBC＝90°， ∴∠OAB＝∠DBC． 在△OAB和△DBC中， ， ∴△OAB≌△DBC（AAS）， ∴BD＝AO，DC＝OB． ∵A（3，0），B（0，﹣1）， ∴BD＝AO＝3，DC＝OB＝1，OD＝OB+BD＝4， ∴点C的坐标为（1，﹣4）． 故答案为：（1，﹣4）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键． 6．（2022秋•南陵县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝　5　cm． 【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝CE﹣CD，即可解题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△CDA和△BEC中， ， ∴△CDA≌△BEC（AAS）， ∴CD＝BE，CE＝AD， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE， ∵AD＝8cm，BE＝3cm， ∴DE＝5cm， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDA≌△BEC是解题的关键． 7．（2023春•城阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是 　40　． 【分析】根据垂直定义可得∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，从而可得∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，进而可得∠D＝∠EAB，然后利用AAS证明△ADC≌△BAE，从而可得AC＝BE，DC＝AE＝2，进而可得BE＝AC＝8，最后根据四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA， ∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°， ∴∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°， ∴∠D＝∠EAB， ∵AD＝AB， ∴△ADC≌△BAE（AAS）， ∴AC＝BE，DC＝AE＝2， ∵CE＝6， ∴BE＝AC＝AE+CE＝2+6＝8， ∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积 ＝DC•AC+AC•BE ＝×2×8+×8×8 ＝8+32 ＝40， 故答案为：40． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． 8．如图所示．已知∠B＝∠ADE＝∠C，BD＝CE，则（1）△ABD≌△DCE吗？（2）AC＝CD吗？ 【分析】（1）根据三角形外角性质可得∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，进而得到∠EDC＝∠BAD，以此即可通过AAS证明△ABD≌△DCE； （2）根据等腰三角形等角对等边得AB＝AC，根据全等三角形的性质得AB＝CD，以此即可求解． 【解答】解：（1）△ABD≌△DCE． 理由：∵∠ADC＝∠BAD+∠B， ∴∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B， ∵∠B＝∠ADE， ∴∠EDC＝∠BAD， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）AC＝CD． 理由：∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵△ABD≌△DCE， ∴AB＝CD， ∴AC＝CD． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质时解题关键． 9．（2011秋•西城区期末）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD﹣BE． 【分析】①根据垂直定义求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根据等式性质求出∠ACD＝∠CBE，根据AAS证出△ADC和△CEB全等即可； ②由①推出AD＝CE，CD＝BE，即可推出答案． 【解答】证明：①∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BEC＝∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中 ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ②∵△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，BE＝CD， ∴CE﹣CD＝AD﹣BE， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．题型较好． 10．（2023春•大竹县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE＝CE． （1）求证：△AEF≌△CEB；（2）若AF＝12，求CD的长． 【分析】（1）由ASA证明△AEF≌△CEB即可； （2）由全等三角形典型在和等腰三角形的性质即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB， 在△AEF和△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（ASA）． （2）解：∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD，BC＝2CD， ∴AF＝2CD， ∴CD＝AF＝×12＝6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 11．如图，点AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C在BD上，且∠ACE＝90°，AC＝CE，AB＝4，BC＝6． （1）线段AC＝　2　； （2）证明△ABC≌△CDE； （3）如果点P是线段BC上任意一点，问是否存在P使得点A、E、P构成一个直角三角形？若存在请求出BP的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）易证∠ABC＝90°，根据勾股定理即可解题； （2）易证∠BAC＝∠ECD，即可证明△ABC≌△CDE，即可解题； （3）连接AP，EP，易求得CD、DE、AE的长，易证AE2＝AB2+BP2+DE2+DP2，设BP＝x，即可求得x的值，即可解题． 【解答】解：（1）∵AB⊥BD， ∴∠ABC＝90°， ∵AC2＝AB2+BC2＝52， ∴AC＝2， 故答案为2； （2）∵∠BAC+∠BCA＝90°，∠ECD+∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）； （3）连接AP，EP， ∵△ABC≌△CDE， ∴CD＝AB＝4，DE＝BC＝6， ∵AC＝2， ∴AE＝AC＝2， ∵AP2＝AB2+BP2，EP2＝DE2+DP2，AE2＝AP2+PE2 ∴AE2＝AB2+BP2+DE2+DP2， 设BP＝x， 则104＝16+x2+36+（10﹣x）2， 解得：x＝4或6， ∵BC＝6， ∴BP＝4时，点A、E、P构成一个直角三角形． 当∠PAE＝90°时，作PH⊥AC于H，设AH＝PH＝x，则CH＝x． ∴x＝2， ∴AH＝PH＝， ∴PA＝，BP＝＝． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ABC≌△CDE是解题的关键． 12．（2021秋•天门期末）如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）． （1）当a＝2时，则C点的坐标为 　（﹣2，3）　； （2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【分析】（1）先过点C作CE⊥y轴于E，证△AEC≌△BOA，推出CE＝OA＝2，AE＝BO＝1，即可得出点C的坐标； （2）先过点C作CE⊥y轴于E，证△AEC≌△BOA，推出CE＝OA＝1，AE＝BO＝a，可得OE＝a＝1，即可得出点C的坐标为（﹣a，a+1），据此可得c+d的值不变． 【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB． ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝BA，∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE， ∴∠BCE＝∠ABO， 在△BCE和△BAO中， ， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∵A（﹣1，0），B（0，2）， ∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2， ∴OE＝1+2＝3， ∴C（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）； （2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变． 理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝BA，∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE， ∴∠BCE＝∠ABO， 在△BCE和△BAO中， ， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∵A（﹣1，0），B（0，a）， ∴BO＝AE＝a，AO＝CE＝1， ∴OE＝1+a， ∴C（﹣a，1+a）， 又∵点C的坐标为（c，d）， ∴c+d＝﹣a+1+a＝1， 即c+d的值不变． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 13．（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD． （1）判断DF与DC的数量关系为 　相等　，位置关系为 　垂直　． （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即可证明结论； （2）由（1）同理得△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°． 【解答】解：（1）∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°， 在△ADF与△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB＝90°， ∴∠ADF+∠CDB＝90°， 即∠CDF＝90°， ∴CD⊥DF， 故答案为：相等，垂直； （2）成立，理由如下： ∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝90°， ∴∠DAF＝∠CBD， 在△ADF与△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB＝90°， ∴∠ADF+∠CDB＝90°， 即∠CDF＝90°， ∴CD⊥DF． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉基本的一线三等角模型是解题的关键． 14．（2023秋•永定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N． （1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN； （2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝　1.5　． 【分析】（1）利用互余关系证∠MAC＝∠NCB，再证△AMC≌△CNB（AAS），得到AM＝CN，MC＝BN，即可得出结论； （2）类似于（1）可证△ACM≌△CBN（AAS），得AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°． ∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴AM＝CN，MC＝NB． ∵MN＝NC+CM， ∴MN＝AM+BN． （2）解：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACM+∠NCB＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB， 在△ACM和△CBN中， ， ∴△ACM≌△CBN（AAS）， ∴AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1， ∴MN＝CN﹣CM＝2.6﹣1.1＝1.5， 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（2024•烟台）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 　　； 【类比探究】 （2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值． 【分析】（1）过点E作EM⊥CB延长线于点M，利用一线三垂直全等模型证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可； （2）同（1）中方法证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可； （3）过点E作EM⊥CB，求出EM，CE即可． 【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M， 由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°， ∴∠ADC+∠EDM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠EDM， ∴△ACD≌△DME（AAS）， ∴CD＝EM，AC＝DM， ∵AC＝BC， ∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD， ∴BM＝EM， ∵EM⊥CB， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图，，理由如下： 过点E作EM⊥BC于点M， 由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°， ∴∠ADC+∠EDM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠EDM， ∴△ACD≌△DME（AAS）， ∴CD＝EM，AC＝DM， ∵AC＝BC， ∴DM＝BC， ∴DM﹣CM＝BC﹣CM， ∴CD＝BM， ∴EM＝BM， ∵EM⊥CB， ∴； 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$