精品解析：北京交通大学附属中学2024--2025学年九年级上学期开学考数学试卷

北京交大附中2025届初三年级开学练习（数学） 2024.09 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解：① ：被开方数3不含分母，且3是质数，无法再分解出平方因数，故为最简二次根式． ② ：被开方数含分母4，可化简为，不是最简二次根式． ③ ：被开方数9是，可开方为3，故不是最简二次根式． ④ ：0.5即，被开方数含分母2，化简为，不是最简二次根式． ⑤ ：被开方数无法分解为平方形式，且不含分母，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有①和⑤，共2个， 故选B． 2. 在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，即，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选：C。 3. 直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线经过的象限，确定、的正负性，再据此判断直线经过的象限。本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数（、为常数，）中、对函数图象的影响是解题的关键。 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， ∴直线的图象经过第一、三、四象限， 故选：D 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少13和14岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解． 【详解】解：A：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少13岁和14岁的数据，所以平均数不能求出，故A不符合题意； B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少13岁和14岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意； C：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故C符合题意； D：由于众数是出现次数最多的数，13岁和14岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设道路宽为，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：C． 7. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象． 先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则；再证明四边形是矩形，得到；则当时，最小，即此时最小，即的最小值为；得到点与的距离为，点与的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ， 如图所示，连接，过点作于， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴当时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， ∴由函数图象可知点D与E的距离为y，点P与B的距离为x， 故选：D． 8. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性即可求得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数的图象,正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为， 将代入得 解得， 故答案为：． 11. 在中，若，则的度数为______度． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解， 则m的值为 ． 【答案】2． 【解析】 【详解】试题分析：直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可． 试题解析：∵x=2是一元二次方程x2-2mx+4=0的一个解， ∴4-4m+4=0， ∴m=2． 考点：一元二次方程的解． 13. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可； 【详解】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：， 故答案为：； 14. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：该选手的综合成绩为：， 故答案为：． 15. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用矩形的性质可得出，利用等边三角形的判断与性质可求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知抛物线（，，是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于的方程有两个不等的实数根；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质的关系，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析结论的正误是解题的关键．将点和代入解析式得出，，再利用当时，，求出，则，故可判断①③；将，，代入得，利用根的判别式可判断②；方程 利用根与系数的关系结合、可判断④． 【详解】解：由题意，抛物线（，，是常数，）经过点和， ，， ， 当时，与其对应的函数值． ， ， 解得：， ， ，故①③正确； ，， ， 即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故②正确； 若方程的两根为，， ， ， ． ， ，故④错误． 综上，正确的有：①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（共68分，第17、18题每题4分，第19-21题每题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，二次根式，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 19. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） 【答案】（1） 补全图形，如图所示； （2） 对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；；对角线互相垂直的矩形是正方形． 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图和证明四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解决此题的关键． （1）根据作图步骤画出图形即可； （2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行判定即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 21. 已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 5 0 0 m 二次函数图象的开口方向____，顶点坐标是____，m的值为____； 点、在函数图象上，____填、、； 当时，x的取值范围是____； 关于x的一元二次方程的解为____． 【答案】向上，，5；；；，． 【解析】 【分析】由表格可见，函数的对称轴为x＝1对称轴右侧，y随x的增大而增大,故可求出开口方向与顶点坐标，再根据对称性求出m ； 根据点Q离函数的对称轴近，即可判断y的大小； 根据表格的特点及二次函数的性质即可判断； 根据表格可得x=-2或4时，y=5，即可求解． 【详解】（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上， 顶点坐标为（1，−4），根据函数的对称性m＝5； 故答案为：向上；（1，−4）；5； （2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2； 故答案为：＞； （3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：−1＜x＜3， 故答案为：−1＜x＜3； （4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝5的解为：x＝−2或4， 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 23. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 【答案】（1） 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ 在中，，点D是的中点， ∴ ， ∴ 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键． （1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 24. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 25. 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题： （1）若以米为一个单位长度，则点坐标为 （2）求出下垂电缆的抛物线表达式 （3）若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）这种电缆的架设符合安全要求， 理由如下： 由（1）可知：，，， 设斜坡解析式为， ∴，解得： ∴斜坡解析式为， 则电缆与坡面的铅直高度． ∵， ∴当时，有最小值为18，即， ∴这种电缆的架设符合安全要求． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用． （1）由题意可求出米，米，即得出．又可求出米，即得出． （2）结合，利用待定系数法求解即可； （3）利用待定系数法可求出斜坡解析式为，即可求出电缆与坡面的铅直高度．再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意得：米，米，米，米，轴，轴， ∴米，米， ∴． 故答案为 【小问2详解】 ∵米， ∴ ∵， ∴设下垂电缆的抛物线表达式为：， ∴， 解得：， ∴下垂电缆的抛物线表达式为：． 【小问3详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，，有，求的值； （2）若对于，，存在，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求的对称轴即可求解． （2）根据题意可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，设抛物线上的四个点的坐标为，，，可得，分情况讨论是否存在即可解答． 【小问1详解】 解：由题意知，． ． ． 【小问2详解】 ， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 设抛物线上的四个点的坐标为，，，． 点A关于对称轴的对称点为． 抛物线开口向上，点是抛物线顶点， ． ⅰ．当时，． ． ． 不存在，不符合题意． ⅱ．当时，． ． ． 存在，符合题意． ⅲ．当时， 的最小值为． ， 存在，符合题意． ⅳ．当时，． ． ． 存在，符合题意． ⅴ．当时，． ． ． 不存在，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． 27. 已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． （1）当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，请你直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）①如图即为所求， ②证明：四边形是正方形， ，， ， ，， 即， ， ∴； ③，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ； ，点是的中点， 是的中位线， ， 由②得，，， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意作出图形即可； ②由正方形的性质 得，，进而 又，得，从而，于是证明； ③在上取一点，使得，连接，证是的中位线，得，再证明，利用勾股定理得，从而即可得解； （2）在延长线上取一点，使得，连接，由正方形的性质得，，进而证明，得，又证是的中位线，得再证，利用勾股定理得，从而即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 理由如下：在延长线上取一点，使得，连接． 四边形是正方形， ， ，， ，， 即， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线的判定及性质及垂线定义，熟练掌握三角形的中位线的判定及性质和正方形的性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，M为平面内一点．对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形W关于点M的“中心镜像对称点”． （1）如图1，，． ①在点，，，中，线段关于点的“中心镜像对称点”是______； ②若点是线段关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围； （2）如图2，矩形中，，，，．若直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①，；②； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称变换，一次函数的性质： （1）根据“中心镜像对称点”的定义可得线段上所有点的纵坐标为1，横坐标在和2之间（包括和2）：①求出各点的关于点的对称点，即可求解；②设点关于点的对称点的横坐标为s，根据“中心镜像对称点”的定义可得，即可求解； （2）先求出点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，再求出直线分别过点，时m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴线段上所有点的纵坐标为1，横坐标在和2之间（包括和2）； ①点关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 关于点的对称点为， 线段关于点的“中心镜像对称点”是，； 故答案为：， ②设点关于点的对称点的横坐标为s， ∵点是线段关于点的“中心镜像对称点”， ∴， 解得：， ∵线段上所有点的横坐标在和2之间（包括和2）， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：如图， 根据题意得：点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 当直线过点时， ， 解得：， 当直线过点时， ， 解得：， ∴直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”， m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2025届初三年级开学练习（数学） 2024.09 一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 5. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 6. 如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 8. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______． 11. 在中，若，则的度数为______度． 12. 已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解， 则m的值为 ． 13. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______． 14. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为________． 15. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，那么的长是______． 16. 已知抛物线（，，是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于的方程有两个不等的实数根；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的有________． 三、解答题（共68分，第17、18题每题4分，第19-21题每题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 21. 已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 5 0 0 m 二次函数图象的开口方向____，顶点坐标是____，m的值为____； 点、在函数图象上，____填、、； 当时，x的取值范围是____； 关于x的一元二次方程的解为____． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 23. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 24. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 25. 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题： （1）若以米为一个单位长度，则点坐标为 （2）求出下垂电缆的抛物线表达式 （3）若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，，有，求的值； （2）若对于，，存在，求的取值范围． 27. 已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接，过点D作的垂线交直线于点F，连接，取的中点G，连接． （1）当时， ①补全图1； ②求证：； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，请你直接写出线段之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，M为平面内一点．对于点P和图形W给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P与点Q关于点M对称，则称点P为图形W关于点M的“中心镜像对称点”． （1）如图1，，． ①在点，，，中，线段关于点的“中心镜像对称点”是______； ②若点是线段关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标m的取值范围； （2）如图2，矩形中，，，，．若直线上存在矩形关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $