九年级数学上学期第一次月考模拟卷-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1章～第3章（北师版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（    ） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 3．若关于的方程有一个根为2．则为（    ） A． B．1 C．4 D． 4．a是方程的一个根，则代数式的值是（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 5．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为1140m2， 求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（　　） A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140 C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=1140 7．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（  ） A．2 B．12 C．18 D．24 8．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，若菱形的周长为20，则的长为（    ） A．10 B．5 C． D．1 9．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 11．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接，，有下列结论：①．②．③．④的最小值为3，其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 第Ⅱ卷 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 13．一元二次方程的一次项系数 二次项系数 常数项 ． 14．为一元二次方程的两根，则 ． 15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为 ． 16．如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ． 17．如图，将一张长方形纸片沿折起，重叠部分为，若，则重叠部分的面积为 ． 18．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，点M在对角线上运动，连接和，则的最小值等于 ． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）解下列方程： （1）；（2） 20．（8分）已知方程是关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数方程中有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两根，，求的值． 21．（8分）如图，在菱形中，对角线，交于点，交延长线于，交延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图． 请根据以上信息回答： (1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有______人． (2)请将条形统计图补充完整； (3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率． 23．（8分）阅读材料，回答问题． 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)为解方程，可设____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____． (2)应用：若实数，满足：，且，求的值； 24．（10分）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； (3)该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：　　筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点G． ①若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数； ②若，，求的长． 26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形中，E，F为平面内两点． 【初步感知】 （1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．请写出与的数量关系______； 【深入探究】 （2）如图2，当点E在正方形外部时，，，E，C，F三点共线．若，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，猜想并证明，，之间的数量关系． 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故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 4．a是方程的一个根，则代数式的值是（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，然后利用等式的性质变形可得到代数式的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质、三角形的外角性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为1140m2， 求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（　　） A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140 C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=1140 【答案】B 【详解】设小路的宽为x,则剩余的长度为,剩余的宽为,根据题意可列方程得:,故选B. 7．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（  ） A．2 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】根据用频率估计概率可知: 摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数. 【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个) 则红球的个数为:24－6=18(个) 故选C. 【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键. 8．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，若菱形的周长为20，则的长为（    ） A．10 B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】根据，判定是的中位线，利用中位线定理计算即可． 本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质和中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，菱形的周长为20， ∴是的中位线，， ∴， 故选C． 9．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设参加聚会小朋友的人数为人，则每人送出件礼物，共送件礼物，列出方程，即可． 【详解】设参加聚会小朋友的人数为人，则每人送出件礼物，共送件礼物 ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，且， 解得且， 故选：． 11．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BE，BD，如图,利用菱形的性质得△BDC为等边三角形,在Rt△BCE中计算出BE=,接着证明BE⊥AB, 利用折叠的性质得到EF=AF.,设EF=AF=x, FG垂直平分AE,所以在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解: 连接BE，BD，如图, ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°, ∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°, ∴∠CBE=90°-60°=30°. ∵E点为CD的中点， ∴CE=DE=1,BE⊥CD. 在Rt△BCE中， BC=2CE=2， BE= . ∵AB∥CD, ∴BE⊥AB. ∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处, ∴EF=AF. 设EF=AF=x,则BF=2-x, 在Rt△BEF中, , 解得 . 故选A. 点睛:本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出BE的长并能利用Rt△BEF的三条边列方程是解答本题的关键. 12．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接，，有下列结论：①．②．③．④的最小值为3，其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②延长，交于M，交于点H，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点E为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为． 【详解】解：①连接，交于点O，如图， ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②延长，交于M，交于点， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴．故②正确； ③由②知：． 即：．故③正确； ④∵点E为上一动点， ∴根据垂线段最短，当时，最小． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴的最小值为，故④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 第Ⅱ卷 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 13．一元二次方程的一次项系数 二次项系数 常数项 ． 【答案】 2 5 【分析】根据一元二次方程的一般形式：（a,b,c是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是2，二次项系数是5，常数项是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要注意的是二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 14．为一元二次方程的两根，则 ． 【答案】/ 【分析】由根与系数关系得到和的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为 ． 【答案】2 【分析】利用矩形的性质即可得到的长，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到的长． 【详解】解：∵矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC＝2BO＝4， 又∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质及含角的直角三角形的性质，掌握矩形四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解题的关键． 16．如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．利用菱形的面积公式：，即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 17．如图，将一张长方形纸片沿折起，重叠部分为，若，则重叠部分的面积为 ． 【答案】. 【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠B′AC，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ECA，继而可得∠EAC＝∠ECA，从而有EA＝EC，在Rt△ADE中利用勾股定理求出EC的长即可求得答案. 【详解】∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠， 由折叠的性质可知，∠BAC＝∠B′AC， ∵DC∥AB， ∴∠BAC＝∠ECA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴EA＝EC， 在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即42+（6﹣EC）2＝EC2， 解得，EC＝ ∴重叠部分的面积＝××4＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后两图形全等是解题的关键.注意三角形面积公式的应用. 18．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，点M在对角线上运动，连接和，则的最小值等于 ． 【答案】6 【分析】过作的垂线交于点，易得关于对称，连接，，则：，得到当三点共线时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：过作的垂线交于点，连接，，与交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即为的长， ∵， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴，即：的最小值为6， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题．解题的关键是确定点关于的对称点的位置． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）解下列方程： （1）；（2） 【答案】（1），；（2），． 【分析】（1）确定公式中的a，b，c的值，计算判别式△的值验证方程是否有根，若有解，将a，b，c的值代入求根公式即可． （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：（1）， a=3，b=−4，c=−1， ， ∴ ， ； （2） ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法．公式法掌握用于一般式，确定a、b、c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式计算解决问题，因式分解法适合特殊的一元二次方程，要针对不同的方程选取恰当的方法是解题关键． 20．（8分）已知方程是关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数方程中有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两根，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴对于任意实数，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴原方程为， ∵，是方程的两根， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 21．（8分）如图，在菱形中，对角线，交于点，交延长线于，交延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再由勾股定理得，则，然后由勾股定理得即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键． 22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图． 请根据以上信息回答： (1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有______人． (2)请将条形统计图补充完整； (3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率． 【答案】(1)600，3200 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率，以及用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据D的人数除以占的百分比得到调查的人数即可；根据D的百分比乘以总人数即可得到结果； （2）求出A与C的人数，补全条形统计图即可； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好能吃到C粽的情况数，即可得到所求概率． 【详解】（1）解：根据题意得： 参加本次调查的有∶人； 整个居民区爱吃D粽的有：人； 故答案为：；； （2）A的人数为人； C的人数人； 条形统计图补充如图所示： ， （3）解：列树状图如下： ，恰好能吃到C粽的概率． 23．（8分）阅读材料，回答问题． 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)为解方程，可设____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____． (2)应用：若实数，满足：，且，求的值； 【答案】(1)； ；， (2)或或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；也考查了换元法，解一元二次方程，求代数式的值，运用了恒等变换的思想．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用换元法解方程，设，则原方程可化为，解关于的方程得到，，则，然后解这个一元二次方程即可； （2）根据已知条件，当时，，解关于的一元二次方程得，则； 当时，把、看作方程的两不相等的实数根，则根据根与系数的关系得到，，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，，无实数解， 当时，，解得：，， ∴原方程的解为，， 故答案为：； ；， （2）解：∵实数，满足：，且， 当时，， 则， 设， ∴原方程可化为：， 解得： ∴， ∴； 当时，则、是方程的两不相等的实数根， ∴，， ∴； ∴的值为或或． 24．（10分）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； (3)该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 【答案】(1) (2)当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据“当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒”，列出代数式即可； （2）设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，则列出方程，求解即可； （3）设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，则列出方程，整理为，计算得出，判断即可． 【详解】（1）解：∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒， ∴售价每盒下降元，则每天能售出盒， 故答案为： ； （2）解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元， 由题意得：， 解得：，， （元）， （元）， 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）解：不能，理由如下， 设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元， 由题意得：， 整理得：， ， ∴方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到元． 25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：　　筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点G． ①若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“筝形”； (2)筝形的角对应相等、对角线互相垂直；（答案不唯一） (3)的度数为，，； 【分析】（1）根据题意得，即可证明； （2）连接，根据折叠性质可证明即可得到结论； （3）①分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时， 当时，同理可得； ②有折叠性质可证四边形是正方形，设，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质得：，， ∴四边形是“筝形”； 故答案为：是； （2）解：筝形的对应角相等、对角线互相垂直； ； 连接，如图， 在，中， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，同理可得； 当时，同理可得， 综上：的度数为，，； 解：②由折叠性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ 设，则，， ∴，即，解得：， ∴； 【点睛】本题考查了四边形的综合题，折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质等，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质． 26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形中，E，F为平面内两点． 【初步感知】 （1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．请写出与的数量关系______； 【深入探究】 （2）如图2，当点E在正方形外部时，，，E，C，F三点共线．若，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，猜想并证明，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）的长为；（3），证明见解析． 【分析】（1）由正方形和的条件，根据证明，即可得到结论； （2）类似（1）证明，可得，，利用勾股定理求出长度，用，即可求解； （3）连接对角线，交于点O，连接，证明，再证明得到，和，间对应关系，利用和中勾股定理转换边长即可解出，，之间的关系． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由可知：， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ， ，， ， ，， ∴， 在与中， ， ， ，， 在中，根据勾股定理：， ， ， 即：的长为； （3）， 证明：如图，连接对角线，交于点O，连接， 在正方形中，， ， ∴，则， ∴，， ∵，即：， ∴，即：， 由（2）的方法同理可证明：， ，， 在中，由勾股定理：， ， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是对勾股定理的熟练变形运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$