专题02 第二章 直线和圆的方程（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

人教版（2019）数学高二上期中考点大串讲 串讲02 第二章 直线和圆的方程 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 知识回顾1：直线斜率的坐标公式 知识回顾2：两条直线平行 知识回顾3：两条直线垂直 知识回顾4：直线的点斜式方程 知识回顾5：直线的斜截式方程 知识回顾6：直线的截距式方程 知识回顾7：直线的一般式方程 知识回顾8：两条直线的交点坐标 知识回顾9：两点间的距离 知识回顾10：点到直线的距离 知识回顾11：两条平行线间的距离 知识回顾12：圆的标准方程 知识回顾13：点与圆的位置关系 知识回顾14：圆上的点到定点的最大、最小距离 知识回顾15：直线与圆相交 知识回顾16：圆上点到直线的最大（小）距离 知识回顾17：圆与圆的公共弦 考点一：斜率与倾斜角变换关系 【答案】C 考点二：直线与线段有公共点，求斜率取值范围 【答案】B 考点三：利用斜率的几何意义求代数值（范围） 考点四：求直线方程 考点五：两条位置关系的判定 【答案】B 考点六：根据两条直线平行与垂直关系求参数 考点七：求平行，垂直的直线方程 考点八：直线过定点问题 【答案】D 考点九：直线与坐标轴围成图形面积问题（定值） 考点十：直线与坐标轴围成图形面积问题（最值） 考点十一：易错点根据截距求直线方程 考点十二：点关于直线对称点 【答案】D 考点十三：直线关于点对称问题 考点十四：直线关于直线对称问题 【答案】B 考点十五：直线关于直线对称问题（两直线平行） 考点十六：二元二次方程表示曲线与圆的关系 【答案】C 考点十七：求圆的方程 【答案】C 考点十八：圆过定点问题 【答案】D 考点： 考点十九：判断直线与圆的位置关系 【答案】D 考点二十：由直线与圆的位置关系求参数 【答案】B 考点二十一：过圆上一点作圆的切线 【答案】C 考点二十二：过圆外一点作圆的切线 【答案】C 考点二十三：切线长 【答案】C 考点二十四：已知切线求参数 考点二十五：切点弦及其方程 【答案】C 考点二十六：圆的弦长 考点二十七：已知圆的弦长求方程或参数 考点二十八：直线与圆的实际应用 考点二十九：直线与圆的定点定值问题 考点二十九：直线与圆的定点定值问题 考点二十九：直线与圆的定点定值问题 考点二十九：直线与圆的定点定值问题 考点三十：直线与圆的位置关系中的最值问题 考点三十一：判断圆与圆的位置关系 【答案】C 考点三十二：由圆与圆的位置关系求参数 【答案】D 考点三十三：圆的公切线条数 【答案】C 考点三十四：相交圆的公共弦方程 【答案】B 考点三十五：相交圆的公共弦长 【答案】B 【答案】B 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的 二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面上任意一点到直线：的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，两条平行直线：（） ：（）间的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】在上的图象如图所示， 由图可知，当时， 倾斜角的取值范围为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．      分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5-1】（23-24高二上·辽宁鞍山）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，所以 解得或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7-1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（23-24高一下·全国·课后作业）无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为． 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9-1】（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题10-1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11-1】（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，直线方程为，不符合题意， 当时，令时，令时， 依题意有：，解得：或， 综上：或， 故答案为：或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12-1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题13-1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-1】（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16-1】（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17-1】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18-1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题20-1】（24-25高二上·山东·开学考试）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最小值，最小值为， 当与相切时，由到直线距离等于半径可得 ，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（2024高三·全国·专题练习）过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1，)的圆的切线方程为（    ） A．x＋y－4＝0 B．x－y＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＝1或x－y＋2＝0 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 注意到P(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，将点(1，)代入公式(x0－2)(x－2)＋(y0－0)(y－0)＝4，得直线方程x－y＋2＝0. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由圆的方程，得圆心，半径， 如图，切线长，当最小时，最小， 最小值为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线. (1)当m为何值时，曲线C表示圆？ (2)若直线l：与圆C相切，求m的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由曲线C：，得 ， 若曲线C表示圆，则，得， ∴当时，曲线C表示圆； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）圆C的圆心坐标为 ，半径为. ∵直线l：与圆C相切，直线l的一般式方程为， ∴，解得 ，满足， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25-1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】连接，由切圆于知，， 因为直线与平行，则，，而圆半径为， 于是，由四边形面积，得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例26-1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例27-1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例28-1】（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数， 得， 在中，由勾股定理， 得， 所以， 因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 故答案为：2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例29-1】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例29-2】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以，解得． 故直线l的方程为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为． 联立，解得，即． 因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直， 故直线CP方程为， 联立，解得，即． 则 ． 故为定值2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题30-1】（23-24高二·全国·课堂例题）圆与直线的位置关系是 ，圆上的点到直线的最大距离是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】圆一般方程， 圆的标准方程为， 则圆的半径，圆心到直线的距离，故直线与圆相交，且圆上的点到直线的最大距离是． 故答案为：相交；. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例30-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交.故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例32-1】（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以.故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例33-1】（23-24高二上·四川成都）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2． 两圆的圆心距为，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C正确. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例34-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例35-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得，解得或， 当时，直线：，：，满足， 当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去， 综上，.故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高二上·江苏·期末）已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q. (1)当OM的值最小时，求切线方程; (2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） 当时，OM的长最小，根据两直线垂直斜率之积等于，可得直线的斜率为2； 此时可得直线OM的方程为， 联立，得交点， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，则有，解得， 所以切线方程为， 综上所述，切线方程为和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高二上·江苏·期末）已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q. (1)当OM的值最小时，求切线方程; (2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设，则， 因此，以M为圆心，MP为半径的圆的方程为M：， 此时圆M与圆O的公共弦为PQ， 两圆方程相减，得到圆M与圆O的公共弦为PQ的方程为， 即，由，得， 因此直线PQ过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设，， 由得，即，故. 因为点，在圆上，所以，解得：， 所以，又，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）依题意，，，直线的方程为， 联立方程组，整理得：， 所以，，故. 同理可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，，三点共线，所以，即， 整理可得：， 显然，故. 设，则，解得， 即，所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$