专题01 第一章 空间向量与立体几何（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

人教版（2019）数学高二上期中考点大串讲 串讲01 第一章 空间向量与立体几何 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 知识回顾1：空间向量的数乘运算 知识回顾2：共面向量定理 知识回顾3：空间向量的数量积 知识回顾4：空间向量的数量积 知识回顾5：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 知识回顾6：空间中直线、平面的平行 知识回顾7：空间中直线、平面的垂直 知识回顾8：点到平面的距离 知识回顾9：用向量运算求两条直线所成角 知识回顾10：用向量运算求直线与平面所成角 知识回顾11：用向量运算求平面与平面的夹角 考点一：空间向量基本概念 【答案】B 考点二：空间向量共线判断 【答案】D 考点三：由空间向量共线求参数或值 【答案】C 考点四：判断空间向量共面（四点共面） 【答案】C 考点五：由空间向量共面（四点共面）求参数 【答案】D 考点五：由空间向量共面（四点共面）求参数 【答案】C 考点六：用基底表示向量 【答案】A 考点七：空间向量数量积运算 考点七：空间向量数量积运算 【答案】0 考点八：求空间向量数量积的最值（范围） 【答案】B 考点八：求空间向量数量积的最值（范围） 【答案】A 考点九：求空间向量模 【答案】B 考点十：求空间向量模的最值（范围） 【答案】D 考点十一：求空间向量夹角 【答案】C 考点十二：空间向量夹角为锐角（钝角） 【答案】A 考点十二：空间向量夹角为锐角（钝角） 【答案】C 考点十三：求投影向量 【答案】C 考点十四：空间向量平行与垂直关系 【答案】B 考点十四：空间向量平行与垂直关系 【答案】C 考点十五：证明线面平行和面面平行 考点十五：证明线面平行和面面平行 考点十五：证明线面平行和面面平行 考点十六：证明垂直关系 考点十六：证明垂直关系 考点十六：证明垂直关系 考点十七：利用空间向量求点面距 考点十八：异面直线所成角 【答案】B 考点十九：异面直线所成角的最值或范围 【答案】C 考点十九：异面直线所成角的最值或范围 考点十九：异面直线所成角的最值或范围 【答案】D 考点二十：已知线线角求参数 考点二十：已知线线角求参数 考点二十一：直线与平面所成角（定值） 【答案】A 考点二十二：直线与平面所成角（最值或范围） 考点二十二：直线与平面所成角（最值或范围） 考点二十三：直线与平面所成角（探索性问题） 考点二十三：直线与平面所成角（探索性问题） 考点二十四：两个平面所成角（定值） 考点二十五：两个平面所成角（最值或范围） 考点二十六：两个平面所成角（探索性问题） 考点二十六：两个平面所成角（探索性问题） 【答案】A 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点， ，为所成的角为，则 ① ②. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量 ①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题1-1】（23-24高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确；向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确.故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（23-24高二上·福建南平·阶段练习）下列各组向量中不平行的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，故都不符合题意； 对：零向量与任意向量都平行，故不符合题意； 对：不存在实数，使得，故满足题意. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3-1】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 可得，解得， 所以.故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5-1】（23-24高二下·河南许昌·阶段练习）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（     ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，，三向量共面，故设，（）, 即， 即有，解得， 故，故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5-2】（23-24高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线， 若、、、四点共面，则， 因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，所以，，解得. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（24-25高二上·福建·开学考试）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据题意，. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7-1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为正四面体，底面边长为2，侧棱PB中点为E， 所以 .故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由， 则， 则， 故答案为：0. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值.故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-2】（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是.故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9-1】（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以.故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10-1】（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 所以，则， 因为，又， 所以，即，所以， 又，所以，当且仅当，此时时，等号成立，所以的最大值是.故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】向量，则， ， 所以，的夹角的余弦值为. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可得，且不能反向共线， 即解得或. 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线，所以x的取值范围是.故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13-1】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为.故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 解得，故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为 ， ， 所以，又，无公共点， 所以．又平面，平面， 所以平面．又由（1）知， 同理可得平面，又， 平面，所以平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-2】（23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16-1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：. (2)求证：平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， ，，. 所以，， 所以，所以， 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，，，. 设是平面的法向量，则，， 所以，得， 取，得，，则. 因为，所以，即与共线. 所以平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16-2】（24-25高二上·山东泰安·开学考试）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且． (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知直线经过点，且向量所在直线与动直线垂直，则点到所在平面的距离为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 由点到平面的距离公式. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18-1】（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】连接交于，连接， 由四棱锥是正四棱锥，则平面，且. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，不妨设，则， 在中，， 则，则， ， 则， 由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19-1】（23-24高二下·河南开封·期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），选取为基底，由题意， 而， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 从而， ， ， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设，则，， 当且仅当，即，即时，的最小值为， 所以当且仅当时，. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设，因为，所以，而， 因为 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式19-1】（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设， 以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，， 故所求角的余弦值为，当时取“”． 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20-1】（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点． (1)求证：平面PCB； (2)在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面PCB的法向量为， 则，即，令，则，，∴， ∴，故平面PCB． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设，则，∴， ∵DM与PC所成角为60°，， ∴，解得， 故在AP上存在一点M，点M为AP中点，使得DM与PC所成角为60°． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20-1】（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点． (1)求证：平面PCB； (2)在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21-1】（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 所以设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题22-1】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，连接 ， 易知 ， 所以平面 平面 . 因为点 与平面 的距离保持不变， 所以点 的移动轨迹为三角形 的三条边，建立如图所示的空间直角坐标系，假设正方体的边长为2 则 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的一个法向量为 则，令则，所以 当点在线段时，设， 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设直线与平面所成角为 则 令，则 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以当，即时， 此时点为线段的中点. 当在线段时，同理可求得 此时点与点重合. 综上所述，直线与平面所成角正弦值的取值范围为 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-2】（2024·安徽·一模）如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. (1)证明：平面； (2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）取的中点，连接，与交于Q点， 在底面矩形中，易知， 所以， 因为平面， 所以平面， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为平面，所以， 易知，所以， 由题意可知, 所以，而相交，且平面， 所以平面； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-2】（2024·安徽·一模）如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. (1)证明：平面； (2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由上可知，，， 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，则， 设，其中， 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 解得，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面与平面所成的角为，则， 又，所以， 所以平面与平面所成的角的大小为， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题24-1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为平面，底面为正方形，， 所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由题知，平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则，令，则， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以，因为， 则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25-1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角.以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设平面的法向量为， 则，即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例26-1】（2024·广东·模拟预测）图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以． 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知，，又， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，． 所以，，， 由题意知，所以． 所以． 设平面MBC的法向量为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则令，得； 设平面的法向量为， ，令，得； 则， 设，，则上式可化为， 即，所以（舍去）， 所以，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，，则直线和直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 所以直线和直线所成角的余弦值为. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，，且O是AD的中点． (1)求证：平面平面ABC； (2)若四棱锥体积为，求二面角的正弦值； (3)若二面角的大小为，求直线PB与平面PAD所成角的余弦值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由及余弦定理， 得，解得， 则，即，， 由，得四边形为平行四边形，则， 而，即，于是， 又平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知为二面角的平面角， 在平面内，过点作，交直线于， 而平面平面，平面平面，则平面， 梯形的面积， 四棱锥的体积，解得， 因此， 所以二面角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）在平面内，过点作，交于，由平面平面， 平面平面，得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知为二面角的平面角，即，则， ， 于是， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高三上·天津蓟州·开学考试）如图，平面，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得，. ， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得，. ，于是. 所以，二面角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）设，即，则. 从而. 由（2）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 则N到平面的距离为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（2024·广东·模拟预测）图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面ABC； (2)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由于正方形ABCD的边长为，所以． 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知，，又， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，． 所以，，， 由题意知，所以． 所以． 设平面MBC的法向量为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则令，得； 设平面的法向量为， ，令，得； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则， 设，，则上式可化为， 即，所以（舍去）， 所以，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$