层级滚动专题六 概率与统计&附：集合与常用逻辑用语、复数和平面向量-【全频累积】2024年高考真题数学专题分类集训

层级滚动/专题六概率与统计 一、单选题 1.(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得 到各块稻田的亩产量（单位：kg)并部分整理如下表： 亩产量 [900,950) [950,1000) 1000.1050) [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论正确的是 A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B.100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 2.(2024·全国甲卷文)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ( A号 3.(2024·北京)(x一√x)·的二项展开式中x3的系数为 ( A.6 B.-6 C.12 D.-12 4.(2024·天津)下列图中，线性相关性系数最大的是 。… B. 0 二、多选题 5.(2024·新高考I卷)为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从某种植区抽取样 本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的 -14 亩收入X服从正态分布N(1.8,0.1),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x, s2),则 ( )(若随机变量Z服从正态分布N(,o2),则P(Z<十σ)≈0.8413) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 三、填空题 6.(2024·新高考I卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分 别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比 赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大 的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮 次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 7.(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个 方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个 数之和的最大值是 11 21 31 40 1222 33 42 13 22 33 43 1524 3444 8.(2024·全国甲卷理)}+x)” 的展开式中，各项系数的最大值是 9.(2024·全国甲卷理)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中不放回地随机抽 取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数 字的平均值，则m与”差的绝对值不超过的概率是 10.(2024·天津)A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，则甲选到A的概 率为 ;已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 11.(2024·上海)某校举办科学竞技比赛，有A,B,C三种题库，A题库有5000道题，B题 库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92， B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确 率是 12.(2024·上海)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之 积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为 四、解答题 13.(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体 -15 规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比 赛成绩为0分：若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次， 每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由 甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否 相互独立。 (1)若p=0.4,9=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的 概率。 (2)假设0<p<q. ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ ②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 14.(2024·全国甲卷理)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙 两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认 为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,设p为升级改造后抽取的n件产品 的优级品率.如果p>p+1.65, p①一卫，那么认为该工厂产品的优级品率提高了.根 7 16 据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品 率提高了？（√150≈12.247） n (ad-bc)2 附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 15.(2024·北京)已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔 付0.6万元. 赔偿次数 0 1 2 3 单数 800 100 60 30 10 在总体中抽样1000单，以频率估计概率. (1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率. (2)①毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望； ②若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%，估计保单下一 保险期毛利润的数学期望， 17 附：集合与常用逻辑用语、复数和平面向量 2024新高考I卷、新高考Ⅱ卷真题 (一)集合与常用逻辑用语 1.(2024·新高考I卷)已知集合A={x-5<x3<5},B={-3,一1,0,2,3}，则A∩B= () A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2 2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R,x十1|>1；命题q:3x>0,x3=x,则() A.p和q都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和一g都是真命题 D.一p和一g都是真命题 (二)复数和平面向量 1(2024·新高考1卷)若，二=1+i,则x= A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 2.(2024·新高考I卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b一4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2024·新高考Ⅱ卷)已知之=一1一i,则z= ( A.0 B.1 C.2 D.2 4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足a=1,a+2b=2,且(b-2a)⊥b,则b= A.2 2 c. D.1 -18且m=碧-3≥0，解得6<号又：6>0，则 于是甲排在排尾共4种方法，同理，乙排在排尾 共4种方法，于是共8种排法符合题意. 09 基本事件总数显然是A=24, 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙 综上知，6∈(0,3)U(3,]∴6∈(05) 在掩尾的报率为员-号 U(. 故选B. 层级滚动/专题六概率与统计 3.A【名师点睛】写出二项展开式，令4-乞=3， 解出r,然后回代入二项展开式系数即可得解. 1.C【名师点睛】计算出前三段频数即可判断A: 计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可 【解析】(x一√E)的二项展开式为T,-1= 判断B:根据极差计算方法即可判断C:根据平 C4x-r(-x)'=C(-1)rx-(r=0,1.2.3, 均值计算公式即可判断D. 4), 【解析】对于A,根据频数分布表可知，6十12十 令4-5=3，解得r=2, 2 18=36<50, 故所求系数即为C好（一1）2=6. '.亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误： 故选A. 对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+ 4.A【名师点睛】由点的分布特征可直接判断. 10=34, 【解析】观察四幅图可知，A图散点分布比较集 :低于1100kg的稻田占比为10034=66， 100 中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合 故B错误； 效果比较好，呈现明显的正相关，|一值相比于 对于C,稻田亩产量的极差最大为1200一900= 其他三图更接近1. 300,最小为1150一950=200，故C正确： 故选A. 5.BC【名师点睛】根据正态分布的3a原则以及 对于D,平均值为0×(6×925+12×975+18 正态分布的对称性即可解出. ×1025+30×1075+24×1125+10×1175) 【解析】依题可知，x=2.1,s2=0.01, =1067,故D错误. .YN(2.1,0.12), 故选C. 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+ 2.B【名师点睛】分类讨论甲、乙的位置，得到符 0.1)≈0.8413>0.5，C正确，D错误； 合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进 :XN(1.8,0.1),.P(X>2)=P(X>1.8 行求解. +2×0.1), 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排 ,P(X<1.8+0.1)≈0.8413，.P(X>1.8+ 法，丁就1种，共2种： 0.1)≈1-0.8413=0.1587<0.2， 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X> 排法，丁就1种，共2种： 1.8十0.1)<0.2，B正确，A错误. 68 故选BC 【名师点睛】由题意可知第一、二、三、四列分别 1 6.2 【名师点睛】将每局的得分分别作为随机变 有4,3,2,1个方格可选：利用列举法写出所有 的可能结果，即可求解. 量，然后分析其和的随机变量即可. 【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为X,, 有一个方格被选中， X:,X,X,四轮的总得分为X. 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格 对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每张牌的 可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方 概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六 格可选， 种，从而甲在该轮获胜的概率P(X,=1)= ∴.共有4×3×2×1=24（种）选法； BX)=音=1,2340. 每种选法可标记为(a,b,c,d),a,b,c,d分别表 从而E(X)=E(X,+X:+X,+X)=∑E(X) 示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为 含8- (11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33, 记p4=P(X=k)(k=0,1,2,3). 44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24, 如果甲得0分，那么组合方式是唯一的：必定是 33,42), 甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8，·p= (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31, 11 44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24, A24 33,40). 如果甲得3分，那么组合方式也是唯一的：必定 (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31, 是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6 44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24, A=六- 33,40), 而X的所有可能取值是0,1,2,3，故p十p1十 (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31, p:+p=1,p1+2p,十3p=E(X)=3 43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22, 2 33,40), ∴p十n:十2=1十2：十日=多，两式相减 .选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和 即得A+=故A:十A=日 最大，为15+21+33+43=112. 故答案为24：112. 甲的总得分不小于2的挺率为十：=之 【关键点点睛】解决本题的关键是确定第一、二、 三、四列分别有4,3,2,1个方格可选，利用列举 故答案为之： 法写出所有可能的结果 【关键点点睛】本题的关键在于将问题转化为随 8.5【名师点睛】先设展开式中第r十1项系数最 机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系， 大，则根据通项公式有 从而避免繁琐的列举 7.24112 69 c()≥c(). 若c=3,则3≤a十b≤9，则(a,b)为 进而求出r,即可 (1,2),(1,4),(1,5),(1.6).(2,4),(2,5),(2. c(3)≥(3)" 6),(4,5),(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2), 求解 (5,2),(6,2),(5,4), 【解析】由题意，展开式通项公式为 故有16种， x',0≤r≤10且r∈Z. 若c=4,则5≤a+b≤11，同理有16种， 若c=5,则7≤a+b≤13，同理有10种， 设展开式中第r十1项系数最大， 若c=6,则9≤a十b≤15，同理有2种， c()≥c( 故m与n的差的绝对值不超过)时不同的抽取 c()≥cs()" 方法总数为2(2+10+16)=56， r29 故所求概率为20一百 567 即≤r<又rZ,故r=8, 4 -33 故答案为品 展开式中系数最大的项是第9项，且该项的 :【名师点睛】结合列举法或组合公式 系数为c(】 =5 和概率公式可求甲选到A的概率：采用列举法 故答案为5. 或者条件概率公式可求乙选了A活动，他再选 择B活动的概率. 9.5 【名师点睛】根据排列可求基本事件的总 【解析】解法一（列举法） 数，设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码 从五个活动中选三个的情况有： 为c,则a十b一3≤2c≤a十b十3，就c的不同取 ABC.ABD.ABE.ACD.ACE,ADE.BCD. 值分类讨论后可求随机事件的概率. BCE,BDE,CDE,共10种情况， 【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次， 其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD, 共有A=120(种)抽取方法， ABE,ACD,ACE.ADE, 设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c, 则甲选到A的概率为P=6=3 =10= 3 乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE, 故|2c-(a+b)|≤3，故-3≤2c-(a+b)≤3， ACD.ACE.ADE, 故a+b-3≤2c≤a十b十3， 其中再选择B有3种可能性：ABC, 若c=1,则a十b≤5，则(a,b)为(2,3)，(3,2)，故 ABD.ABE. 有2种， 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 若c=2,则1≤a十b≤7，则(a,b)为(1,3)，(1， 4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,1),(4,1),(5,1), -2 (6,1),(4,3),故有10种， 解法二： 70 设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N, 13.【名师点睛】(1)根据对立事件的求法和独立事 则甲选到A的概率为 件的乘法公式即可得到答案： (2)①首先各自计算出P甲=[1-(1一p)]g, P艺=[1一(1一q)3]p3,再作差因式分解即可判 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P 断：②首先得到X和Y的所有可能取值，再按 C (N|M)= P(MN) C 步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差 P(M) C 2 比较大小即可. C 【解析】(1)若甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 故答案为过 分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段 11.0.85【名师点睛】求出各题库所占比，根据全 也至少投中1次， 概率公式即可得到答案 .比赛成绩不少于5分的概率P=(1一0.6) 【解析】由题意知，A,B,C题库的比例为5：4：3， ×(1-0.53)=0.686. 各题库占比分别为21212 543 (2)①若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队 的比赛成绩为15分的概率Pg=[1一 则根据全概率公式知所求正确率p= (1-p)3]q, 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比 0.92+是×0.86+是×0.72=0,85. 赛成绩为15分的概率为P:=[1 故答案为0.85. (1-q)3]p. 12.329【名师点睛】三位数中的偶数分个位是0 ,0<p<q: 和个位不是0讨论即可. .P-P=q-(q-pq)-+(p-pq) 【解析】由题意知集合A中至多只有一个奇数， =(g-p)(g+pg+p)+(p-q)[(p-pq)2+ 其余均是偶数 (q-pq)(p-pq)(q-pq) 首先讨论三位数中的偶数， =(p-q)(3pg-3pq-3pq) ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个 =3pg(p-g)(pg-p一q) 数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有 =3pg(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0, A号=72（个）： Pm>P2,应该由甲参加第一阶段比赛。 ②当个位不为0时，则个位有C个数字可选， ②若甲参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有 百位有C个数字可选，十位有C个数字 可能取值为0,5,10,15， 可选， P(X=0)=(1-)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3, 根据分步乘法原理，这样的偶效共有CCC P(X=5)=[1-(1-p)3]Cg(1-q)2, =256(个)， P(X=10)=[1-(1-p)3]C%g(1-g), 最后再加上单独的奇数，∴.集合中元素个数的 P(X=15)=[1-(1-p)]q, 最大值为72+256+1=329. ∴.E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+ 故答案为329. 3p)q. 71 记乙参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可 能取值为0,5,10,15， 0d*0.5+1.5×722n467 150 同理E(Y)=15(q-3g2+3g)p, 可知p>p+1.65 p(1-p) ∴.E(X)-E(Y)=15[pg(p+q)(p-q)一3pg· ∴.可以认为生产线智能化升级改造后，该工 (p-q)] 产品的优级品率提高了. =15pg(p-g)(p+q-3). 15.【名师点睛】(1)根据题设中的数据可求赔偿次 ,0<p<g,.p-q<0.p+g-3<1+1-3<0, 数不少2的概率： .pg(p-q)(p+q-3)>0, (2)①设为赔付金额，则可取0,0.8,1.6， 应该由甲参加第一阶段比赛。 2.4,3,用频率估计概率后可求：的分布列及 【关键点点睛】本题第二问的关键是计算出相 数学期望，从而可求E(X). 关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比 ②先算出下一期保费的变化情况，结合(1)的 较出大小关系，最后得到结论， 结果可求毛利润的数学期望， 14.【名师点睛】(1)根据题中数据完善列联表，计 【解析】(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于 算K2,并与临界值对比分析： 2次”， (2)用频率估计概率可得p=0.64,根据题意计 由题设中的统计数据可得P(A）= 60+30+10 算p+1.65,/ ①一卫，结合题意分析判断. 1 800+100+60+30+1010 【解析】(1)根据题意可得列联表： (2)①设为赔付金额，则可取0,0.8,1.6， 2.4,3, 优级品 非优级品 800 甲车间 26 24 由题设中的统计数据可得P(g=0)=1000 乙车间 70 30 ，P=0.8)=100010 4 1001 可得K=15026X30-24X×70)=4.6875. 50×100×96×54 603 30 P(-1.6)=1000=0,P(g=2.4)=1000 3.841<4.6875<6.635, .有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级 100' 品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两 P3)1000-100 1 车间产品的优级品率存在差异。 (2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该 故EB)-0X号+0.8x0+1.6×高+2.4X 工厂产品的优级品的频率为 =0.64, +3×0=0.278（万元. 3 故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元). 用频率估计概率可得p=0.64. 又，升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5, ②由遁意，设保费的支化为0.4X号×96%十 则p+1.65 p(1-p】 =0.5+1.65× 0.4×5X1.2=0.4032 72 故毛利润的数学期望=0.122十0.4032-0.4 =1+}=1-i =0.1252(万元). 故选C 附：集合与常用逻辑用语、不等式 2.D【名师点睛】根据向量垂直的坐标运算可求 与不等关系、复数和平面向量 x的值. 2024新高考I卷、新高考Ⅱ卷真题 【解析】：b⊥(b-4a),.b·(b-4a)=0, (一)集合与常用逻辑用语 .i2-4a,6=0即4十x2-4x=0,故x=2, 1,A【名师点睛】化简集合A,由交集的概念即可 故选D. 得解」 3.C【名师点睛】由复数模的计算公式直接计算 【解析】：A={.x|-5<x<5},B={-3, 即可， -1,0,2,3},且注意到1<5<2， 【解析】若之=一1一i,则|=√（一1）+（一1） 从而A∩B={-1,0}. =2. 故选A. 故选C. 2.B【名师点睛】对于两个命题而言，可分别取x 4.B【名师点睛】由(b-24)⊥b得b2=2a·b, =一1、x=1,再结合命题及其否定的真假性相 结合|a=1,|a+2b=2,得1+4a·b+46 反即可得解. =1十6b2=4,由此即可得解. 【解析】对于p而言，取x=一1，则有x十1= 0<1,故力是假命题，一p是真命题， 【解析】(b-2a)⊥b,.(b-2a)·b=0,即b 对于g而言，取x=1,则有x3=1=1=x,故9 =2a.i. 是真命题，一g是假命题， 又：|a1=1,a+261=2, 综上，一p和q都是真命题. 故选B. ∴.1+4a·b+4b2=1+6b2=4. (二)复数和平面向量 从而6-号 1.C【名师点睛】由复数四则运算法则直接运算 故选B. 即可求解. 【解折：5中-1计1+ 73