层级滚动专题二 三角函数与解三角形-【全频累积】2024年高考真题数学专题分类集训

层级滚动/专题二三角函数与解三角形 一、单选题 1.(2024·新高考I卷)已知cos(a十B)=m,tan atan3=2,则cos(a-)= A.-3m &一罗 C. D.3m 2.(2024·新高考I卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin3x- 吾)的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 3.(2024·全国甲卷理)已知oocn。=3,则ana+买 cos a-sin a A.23+1 B.23-1 D.1-3 4(2024·金国甲卷文)在△ABC中，内角A,B.C所对的边分别为a,6c若B=号=是 则sinA十sinC= () A号 B.√2 c号 n号 5.(2024·全国甲卷理)设函数f(x)=e十2sn工，则曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与两 1+x2 坐标轴围成的三角形的面积为 A司 c D. 二、多选题 6.(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f八r)=sim2x和g(x)=sin2x-牙)下列说法正确的有 ( A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 三、填空题 7.(2024·新高考Ⅱ卷)已知a为第一象限角，3为第三象限角，tana十tan3=4,tan atan B= 2十1，则sin(a十)= 8.(2024·全国甲卷文)函数f(x)=sinx一√3cosx在[0，π]上的最大值是 4 9.(2024·北京)在平面直角坐标xOy中，角a与角3均以Ox为始边，它们的终边关于原点 对称，若a [答，引，则cosB的最大值为 四、解答题 10.(2024·新高考I卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2cos B,a2+b2-c2=2ab. (1)求B: (2)若△ABC的面积为3十3，求c. 1.(2024·北京)在△ABC中，a=7,A为纯角，sin2B=cos B. (1)求∠A: (2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积. ①6=1，②cosB=是③Desin A=-号5. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分 —5由1的任意性可知∫(x)严格单调递减. ane+）-"at2a-l 1-tan a 层级滚动/专题二三角函数与解三角形 故选B. 4.C【名师点睛】利用正弦定理得sin Asin C= 1.A【名师点睛】根据两角和的余弦可求c0s acos B,sin asin B的关系，结合tan atan3的值可 了，再利用余弦定理有a十心=ac,再利用正 求前者，故可求cos(a一)的值. 弦定理得到sinA十sinC的值，最后代入计算 【解析】'，cos(a十3)=m,'.cos acos B-sin asin 即可. B=m. 而tan atan3=2,∴.tan atan3=2 cos acos p, 【解析：B=音，6=是 ac,则由正弦定理得sin 故cos acos3-2 cos acos B=m,即cos acos B= Asin C=4 9 sin'B=1 一n, 从而sin asin3=一2m,故cos(a-)=-3m. 由余弦定理可得B=a十c2一ac=号a 故选A. 2.C【名师点睛】画出两函数在[0,2π]上的图象， 即a十2=1品ac,根据正弦定理得sinA十 根据图象即可求解 sin C=13s 4 sin Asin C一1g 【解析】，函数y=sinx的最小正周期T一2π， .'(sin A+sin C)2=sin'A+sin'C+2sin Asin 函y=2sin（3-吾)的最小正期T- C= 4 在x∈[0,2x]上，画数y=2sim（3x-君)有三 ,A,C为三角形内角，则sinA十sinC>0,则 个周期的图象， sin A+sin C= 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图 所示 故选C 5.A【名师点睛】借助导数的几何意义计算可得 Yay=2sin(3x- 其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴 的交点坐标，即可得其面积. 【解析】f(x) 由图可知，两函数图象有6个交点， (e+2cos r)(1+x)-(e'+2sin z).2x. (1+x2)9 故选C. 则f(0) 3.B【名师点睛】先将cosa弦化切求得 cos a-sin a =(e°+2cos0)(1+0)-(e+2sin0)×0 (1+0)2 tana,再根据两角和的正切公式即可求解. =3, 【解析】， cos a =5, cos a-sin a 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x十1， 1 1一tana 3→tana=1-3」 3· 令x=0,则y=1,令y=0,则x=-} 47 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S a∈(k,2kx+)c(2m+,2mm+） k,m∈Z 故选A. 则a十3∈((2m十2k)π十π，(2n十2k)π十2π)，k, 6.BC【名师点睛】根据正弦函数的零点，最值、周 m∈Z, 期公式、对称轴方程逐一分析每个选项即可. 又，tan(a十β)=-2√2<0， 【解析】A选项，令f(x)=sin2x=0,解得x= 则 + ,k∈Z,即为f(x)的零点， 2 (2m+2)x+经，(2m+2)x+2x小，，m∈ 令g(.x)=sin 2x- =0,解得x=+ Z,则sin(a十)<0， 2 8 k∈Z,即为g(x)的零点， 则in（a士2=-22，联立sin(a+)+cos2 cos (a+B) 显然f(x),g(x)的零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)mx=g(x)=1,B选项 (a+)=1.解得sin(a+B)=-22 正确： 解法二：：α为第一象限角，3为第三象限角，则 C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为 cos a>0,cos B<0, cos a 1 2π=π，C选项正确： cOS a- ,C0s3 2 √sina+cos&√1+tana D选项，根据正弦函效的性质∫(x)的对称轴满 cos p -1 sinB+cos'B 1+tanB 足2x=x+受经+骨6∈五， sin (a+B)=sin acos B+cos asin B=cos acos g()的对称轴满足2x一牙-k红十受曰x=+ B(tan a+tan B) 4 一4 =4cos acos B= gk∈z √/1+tana1+tan3 -4 显然f(x),g(x)图象的对称轴不同，D选项 (tan a+tan B)2+(tan atan B-1)2 错误. 一4 22 故选BC. √4+2 3· 7.-2② 3 【名师点睛】解法一：根据两角和与差 故答案为-2 3· 的正切公式得tan(a十3)=一2√2，再缩小a+3 8.2【名师点睛】结合辅助角公式化简成正弦型 的范国，最后结合同角的平方和关系即可得到 函数，再求给定区间最值即可， 答案：解法二：利用弦化切的方法即可得到 【解桥】/x)=sinx-5cosx=2sin（-)） 答案. 【解析】解法一：由题意得tan(a十B)= 当x[0.时x一吾∈【-智]： tana十tan2_ 4 1-tan atan B 1-(2+1) -=-2√2， 当x--受时，即x-时f)m=2. 3 48 故答案为2. 而sinA=im登=sim(任+君)号× :【名师点睛】首先得出B=a十π十2kπ，k∈ x。 6+√2 Z,结合三角函数单调性即可求解最值. 2 2 4 【解析】由题意B=a十π十2kπ，k∈Z.从而c0s3 由正弦定理有a =c0s(a+π十2kπ)=-c0sa, sin 12 :a∈[百，]·osa的取值范国是 从而a=6+2.2c=5+1c,b=5.2 4 2 2 [,]os的取值范国[--] 2c, 当且仅当a= 吾，即月=誓+2kx,k∈Z时，cos月 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表 示为 取得最大值，且最大值为一 2 SANK:= 、、二一 2 2 故答案为一之： 3+52 8 10.【名师点睛】(1)由余弦定理、平方关系依次求 出cosC,sinC,最后结合已知sinC=√2cosB 由已知△ABC的面积为3+5，可得3+5 8 得cosB的值即可： =3+√3， (2)首先求出A,B,C,然后由正弦定理可将a, ∴.c=2√2. b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公 11.【名师点睛】(1)利用正弦定理即可求出答案； 式即可列方程求解. 【解析】(1)由余弦定理有a+b-c2-2 abcos (2)选择①，利用正弦定理得B=子，结合(1) 问答案即可排除；选择②，首先求出sinB= C,对比已知a2+b一c2=√2ab, 可得cosC=a2+B-C-2ab_2 、3哈，再代入式子得6=3，再利用两角和的正 2ab 2ab 2 弦公式即可求出sinC,最后利用三角形面积 ,C∈(0，π)，.sinC>0, 公式即可：选择③，首先得到c=5,再利用正弦 从而sinC=√1-cos'C= 定理得到血C一再利用两角和的正孩公 又：sinC=厄cosB,即cosB=号 式即可求出sinB,最后利用三角形面积公式 注意到B∈(0，π)， 即可. 六B=登 【解】析1)由题意得2 sin BosB=停cosB, (②)由1)可得B=哥asC-号.Ce(0x. ,A为钝角， 则cosB≠0.则2sinB=b.则b5=名 从而C=A=-晋-登 7 sin B 3 7 49 sin A-sin A:解得sinA=3 7 2· cos C+ossinC :A为纯角，则A=2 (2)选择①6=7，则如B=得0=得×7= 2· 则S△Ar= 2 acsin B=X7×5×3y3 14 :A=,则B为钱角，则B=否 -155 4 此时A十B=π，不合题意，舍去： 层级滚动/专题三数列 选择②©0sB=是B为三角彩内角，则s血B 1.B【名师点睛】由S=S。结合等差中项的性质 14 可得ag=0,即可计算出公差，即可得a1的值. 【解析】由S1。一Ss=a6十a;十a8十ag十a1a=5ag 则代入2nB=96得2x35-56.解得6 14 =0,则a%=0, =3, 则等差数列{a.}的公差d=as二ai=一 3 3,故a sin C=sin (A+B)=sin =a-4d-1-4x(-3)子 B+eos号inB 故选B. ×+()×-。 2.95【名师点睛】利用等差数列通项公式得到方 程组，解出a1,d,再利用等差数列的求和公式即 可得到答案. 【解析】，'数列{am}为等差数列，则由题意得 -153 4 a1+2d+a1+3d=7, a1=-4, 解得 3(a1+d)+a1+4d-5, d-3, 选排@nA=,则有c×号=多5，解得 则s。-10,+10X9d-10X(-40+5×3 c=5, =95. in即 则由正弦定理得 5 3 sin C' 故答案为95. 2 3.[2,十o∞)【名师点睛】当n≥2时，不妨设x≥ 解得sinC-53 y,则x-y∈[0，a:-a1]U[a,-aa-1-a]U 14 [0,a+1一a。],结合1。为闭区间可得q一2≥ ,C为三角形内角，则c0sC= 53 、14 对任意的≥2恒成立，故可求g的取值 =11 范围 14 【解析】由题设有a,=ag1,:a1>0,q>1,故 则sinB=sin(A+C)=sin (+c=m等 aw+i>aa,故[aa,au+i]=[a1q-1,ag门]， 50