专题02二次函数与几何综合（考题猜想，25题5种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题02 二次函数与几何综合（易错必刷25题5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数与线段综合 · 二次函数与图形面积综合 · 二次函数与角度问题综合 · 二次函数中特殊三角形问题 · 二次函数中特殊四边形问题 一．二次函数与线段综合（共5小题） 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．周长的最大值为 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ． 3．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 4．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值． 5．（23-24九年级上·全国·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交 轴于点 ，（在轴右侧，在轴左侧）， 为抛物线与 轴的交点，已知 ，且 ． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得的值最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若有最低点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时对应的点坐标． 二、二次函数与图形面积综合（共5小题） 6．（2024·湖北·模拟预测）函数的图像如图所示且其对称轴为直线，E为x轴上方抛物线上一点，在抛物线AE段上有一点F使得三角形AEF面积最大，同理做出M、N使得三角形EFM与三角形AFN面积最大，则下列结论正确的有（    ） ① ②连接则 ③ ④当的最大值为时抛物线定过、 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（　　） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3） 8．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点A的坐标为，点B在该抛物线上，横坐标为其中 (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点B在x轴上时，求点A的坐标； (3)该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值； (4)当点B在x轴上方时，过点B作轴于点C，连结、，若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段的中点为D，当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值． 9．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标． 10．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为． (1)求点A，C的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标． 三、二次函数与角度问题综合（共5小题） 11．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·江苏·期中）如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第四象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，为抛物线第三象限上一点，连接、、，若，求点的横坐标． 15．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 四、二次函数中特殊三角形问题（共5小题） 16．（2018九年级·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 17．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，抛物线过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，使得是以为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 ．（提示：两点距离公式为：） 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线．    (1)直接写出抛物线，的表达式． (2)如图①，点A在抛物线（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． (3)如图②，直线 (，k为常数)与抛物线交于E，F 两点，M为线段的中点；直线与抛物线交于G，H两点，N为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 19．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 五、二次函数中特殊四边形问题（共5小题） 21．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（    ）． A．1 B． C．2 D．3 22．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（）    A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 24．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 25．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． $$专题02 二次函数与几何综合（易错必刷25题5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数与线段综合 · 二次函数与图形面积综合 · 二次函数与角度问题综合 · 二次函数中特殊三角形问题 · 二次函数中特殊四边形问题 一．二次函数与线段综合（共5小题） 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．周长的最大值为 【答案】D 【分析】首先求出直线解析式；设，则可得点H的坐标，从而可求得及其最大值；由已知可得，，由勾股定理得，周长为，因而可作出判断． 【详解】解：设直线解析式为，则有，解得， ∴直线解析式为； 设，则点H的坐标为， ∴， 配方得：， 当时，有最大值； ∵，， ∴； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误； ∴由勾股定理得； ∵， ∴，由勾股定理得， 即 ∴的最大值均为， 故选项A、B错误； ∵周长为， ∴当最大时，周长也最大，且最大值为：， 故选项D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，求一次函数解析式等知识，善于转化是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式的确定，对称点的确定与求解，三线段和最小问题，分别构造定点关于轴，对称轴的对称点是解题的关键．先把点代入解析式，确定函数的表达式，根据的长是定值，想使四边形的周长最小，只需的和最小，为此过点作对称轴的对称点，作点B关于x轴的对称点F，连接，交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：作点A关于对称轴的对称点E，则，作点B关于x轴的对称点F， 连接交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值， 将点代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴点B坐标为， 则点， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 所以所在直线解析式为． 当时，， ． 故答案为：． 3．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式 (2)3 【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； （2）解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题． 4．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点A、C的坐标代入解析式，求解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设 ，则，求得的长，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作于点，过点作轴交于点， ∵，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设 ，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴此时最大为，即点到直线的距离最大值为． 【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交 轴于点 ，（在轴右侧，在轴左侧）， 为抛物线与 轴的交点，已知 ，且 ． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得的值最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若有最低点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时对应的点坐标． 【答案】(1)或 (2)存在或，理由见解析 (3)最大面积为，此时 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，配方法求二次函数的最大值，利用点和点的坐标求得的长，从而得到的面积与的函数关系式是解题的关键． （1）由题意可求点，点，点坐标，用待定系数法可求解析式； （2）先求出点关于对称轴对称的点坐标，连接，交对称轴于点，用待定系数法可求解析式，即可求点坐标； （3）设点，则点，求出的长，从而得到的面积与的函数关系式，由二次函数的性质可求解． 【详解】（1）（1），且． ，，且在轴右侧，在轴左侧， 点，点，点或 设抛物线解析式为， 若点， ， 抛物线解析式为：， 若点， ， 抛物线解析式为：； （2）点，点， 抛物线对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 连接，交直线的交点为点， ∵点， ∴设直线解析式为 若，代入得， 解得 则直线解析式为：， 当时， 点， 若点， 同理可得直线解析式为：， 当时， 点； （3）如图，过点作，交于点， 若有最低点， ， 点，点， 直线的解析式， 设点，则点， ， ， 当时，面积的最大值为，此时点． 二、二次函数与图形面积综合（共5小题） 6．（2024·湖北·模拟预测）函数的图像如图所示且其对称轴为直线，E为x轴上方抛物线上一点，在抛物线AE段上有一点F使得三角形AEF面积最大，同理做出M、N使得三角形EFM与三角形AFN面积最大，则下列结论正确的有（    ） ① ②连接则 ③ ④当的最大值为时抛物线定过、 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据开口方向和与y轴交点的位置可得，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①；设，，直线解析式为，联立得：，则；设在直线上方且平行于直线的直线解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，直线到直线的距离最大（二者有交点的情况下），即此时点A，点B和直线与抛物线的交点组成的三角形面积最大，联立得：，则可得，即，，同理可得，；求出，则可得到，再证明表示的是直线的一次项系数，同理表示的是直线的一次项系数，则直线与直线的一次项系数相同，据此可判断②；当抛物线解析式为时，且点E坐标为时，则，由②可得，分别求出三个三角形的面积即可判断③；求出的最大值为则，推出，当时，解得或，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴抛物线解析式为 设，，直线解析式为， 联立得：， ∴； 设在直线上方且平行于直线的直线解析式为， 当直线与抛物线只有一个交点时，直线到直线的距离最大（二者有交点的情况下），即此时点A，点B和直线与抛物线的交点组成的三角形面积最大， 联立得：， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，， ∵点A是抛物线与x轴的交点， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴， ∵， ∴， ∴表示的是直线的一次项系数， 同理表示的是直线的一次项系数， ∴直线与直线的一次项系数相同， ∴，故②正确； 当抛物线解析式为时，且点E坐标为时，则， 由②可得， ∴， ∴， ∴， ∴此时有，故③错误； 在中，当时，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴的最大值为 当的最大值为时，则， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，解得或 ∴此时抛物线定过、，故④正确； ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解题的关键在于确定． 7．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（　　） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（﹣，1） D．（，3） 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，），则G（t，t＋2），求出PG＝，可得，进而可得当t＝时，有最大值，问题得解． 【详解】解：将点A（−3，0），B（1，0）代入中，得， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令x＝0，则， ∴C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 代入A（−3，0），C（0，2）得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x＋2， 过点P作PGy轴交AC于点G， 设P（t，），则G（t，t＋2）， ∴PG＝， ∴， ∴当t＝时，有最大值，此时P（，）， 故选：A． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长是解答本题的关键． 8．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点A的坐标为，点B在该抛物线上，横坐标为其中 (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点B在x轴上时，求点A的坐标； (3)该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值； (4)当点B在x轴上方时，过点B作轴于点C，连结、，若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段的中点为D，当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) (3) (4)或或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解； （2）当时，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为其中得出即可求解； （3）证明点一定在对称轴右侧，分情况讨论：①如图所示，当 即 时, ②当, 即时分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出根据题意分三种情况讨论: ①当是的中点时, ②当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解. 【详解】（1）将点代入抛物线中， 得 解得： ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为. （2）由， 当时， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为，其中 ， ， 解得： ， ∵点的坐标为, ； （3）令 得 ， ， ， ∴点一定在对称轴右侧， ， ①如图所示，当点在轴上方，对称轴右侧， 此时， 即时， 根据题意， ，解得不符合题意，舍去； ②当点在轴下方，对称轴右侧， 此时 即时， 依题意， 解得：或 (舍去)， 综上所述，； （4）如图所示， ∵在轴的上方，且 ， ∵以点为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为, ， ∵，， ①当是的中点，如图， 则 , ， 代入即 解得： (舍去)或 ②同理当为的中点时，如图所示， 则点为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半， ∴, 代入 即 解得：或(舍去) ; ③如图所示， 设，则， ∵以点为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为,即 ， ， ， ， ∵关于对称， ， 解得： 综上所述，或或 【点评】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 9．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （2）先求出点A坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可； （3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入中得， 解得， 二次函数得表达式为； （2）解：在中，当时，或， ∴, 又∵， ∴， ∵的面积等于10， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，此时，方程无解，不符合题意； 在中，当时，解得或， ∴点P的坐标为或， ∴存在点P，使得的面积等于10，点P的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点， 设， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 则， ， 当时，的面积最大， 将代入，得， 点的坐标为，的面积的最大值为． 10．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为． (1)求点A，C的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积有最大值，最大值为8，此时 【分析】（1）在直线y＝﹣x+2中分别令和，可得A和C的坐标； （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式； （3）方法一：过M点作轴，与交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 方法二：连接，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 【详解】（1）解：对于一次函数． 令，得，令，得， ∴， （2）解：将，代入得 解得 ∴ （3）解：方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线， ∴， ∴ 如图过点M作直线轴交直线于点N 设则 ∴ ∴ ∵， ∴当时，四边形最大值为8且； 方法二：由（1）知： ∴抛物线的对称轴是直线 ∵，∴ 连接，设 ∴ ∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为8，此时． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）题关键在求函数的解析式． 三、二次函数与角度问题综合（共5小题） 11．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 12．（23-24九年级上·江苏·期中）如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 【详解】当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，如图，   ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ， 即， ． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据条件得到是等腰直角三角形，则，设，则，再列方程解题即可． 【详解】（1）将，代入，得 解得 二次函数的表达式为； （2）对于，令，得， 解得，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 如解图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， 解得（舍去）或， ， ． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第四象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，为抛物线第三象限上一点，连接、、，若，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意设点，根据列出关系式即可； （3）先求出点P的坐标，证明是直角三角形，，，则，过点A作交延长线于点D，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到点D的坐标，求出直线的解析式，联立二次函是解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解： 、，点为第四象限抛物线上一点， 设， ，， ， ； （3）解：当时， 则，即， 解得：或， ， ， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 如图，过点A作交延长线于点D，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，则， 整理得：， ， 或， ， 点横坐标为． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 15．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，； (3)或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即，取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，即，取最大值，此时的面积最大， ； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ∴， ∴， 由， 解得或， ∴； 当点在下方时， 作点，直线与抛物线交于点， ∵，， 同理可得直线解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 解得或， ∴； 综上，点的坐标为或． 四、二次函数中特殊三角形问题（共5小题） 16．（2018九年级·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可． 【详解】令x=0，则y=-3， 所以，点C的坐标为（0，-3）， ∵点D的坐标为（0，-1）， ∴线段CD中点的纵坐标为， ∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为-2， ∴x2-2x-3=-2， 解得x1=，x2=， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键． 17．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，抛物线过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，使得是以为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 ．（提示：两点距离公式为：） 【答案】或 【分析】 本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，进而得到，设经过点A且与直线垂直的直线交y轴于E，则，可证明是等腰直角三角形，从而得到，则直线解析式为；再求出抛物线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；可求出经过点B且与直线垂直的直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或； 【详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 设经过点A且与直线垂直的直线交y轴于E，则， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 设经过点B且与直线垂直的直线解析式为，则， ∴经过点B且与直线垂直的直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或。 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线．    (1)直接写出抛物线，的表达式． (2)如图①，点A在抛物线（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． (3)如图②，直线 (，k为常数)与抛物线交于E，F 两点，M为线段的中点；直线与抛物线交于G，H两点，N为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 【答案】(1)； (2)或 (3)直线经过一个定点 【分析】（1）根据图象平移时遵循“左加右减，上加下减”的规律求解即可． （2）分别过点作轴于点，过点作于点，通过得出，分点A在x轴上方与下方两种情况，通过构造方程求解即可． （3）分别求出两直线与抛物线的交点，再利用一元二次方程根与系数的关系表示出两中点M，N坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，最后求出时的值，从而得到直线经过一个定点． 【详解】（1）解：抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线， ， 抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ， 即， （2）解：当点在轴上方时，过点作轴于点，过点作于点，如图所示：      设点坐标为， 点坐标为， 的对称轴， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得，，或， 点在第一象限， ∴， ． 当点在轴下方时，同理可求点， 综上所述：点坐标为或． （3）解：把代入中得，， ， ， 将代入，中得， ， ， 设的解析式为，则 ， 解得，， 直线的解析式为：， 当时，， 直线经过定点， 即直线经过一个定点． 【点评】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数图象的平移，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，求函数图象的交点，一元二次方程根与系数的关系等知识；在第一问中解题关键在于掌握图象平移规律，第二问中解题的关键在于利用三角形全等构造等量关系，建立方程求解．第三问中解题关键在于利用一元二次方程根与系数的关系表示出中点坐标． 19．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4)的值是或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积； （3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可； （4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵点是抛物线上的动点，， ∴， ∴， 设的解析式为：，与轴交于点， 把和代入得：， ∴， ∴的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∴的面积； （3）解：如图1，当点位于直线下方时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求得的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴； 当点位于直线上方时，作轴于，于， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即． 综上，或． （4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ∵， ∴抛物线对称轴是直线， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，， 综上，的值是或． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在，点N的坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设，先求得抛物线的对称轴是直线，设直线交x轴于点G，则，轴，作于点F，可证明，再分四种情况讨论即可． 【详解】（1）直线相交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）如图1，设， ∵轴交直线BC于点D， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴的最大值为． （3）存在，设， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设直线交x轴于点G，则，轴， 作于点F，则，， 如图2，点M在x轴上方，且点N在直线左侧， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图3，点M在x轴上方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图4，点M在x轴下方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图5，点M在x轴下方，且点N在直线左侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点评】此题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解一元二次方程，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 五、二次函数中特殊四边形问题（共5小题） 21．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（    ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，求得点A、B的坐标成为解题的关键． 先求得抛物线的对称轴为，再根据坐标与图形以及平行四边形的性质可得，根据二次函数图像的对称性可得点的横坐标分别为：2，6；然后确定点的纵坐标，最后将点A的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵x轴上的有两点， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, 由二次函数的对称性可得：点的横坐标分别为：2，6， ∵直线与轴交于，轴， ∴点的纵坐标8， ∴点的坐标分别为、， 将点代入可得：，解得：． 故选：C． 22．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数几何综合，菱形的性质及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，利用勾股定理即可求得的长然后求得点坐标，继而求得直线的解析式，最后由抛物线经过点C，且顶点在直线上，求得答案 【详解】 四边形是菱形， 设直线的解析式为∶， ， 解得：， 直线的解析式为∶， 抛物线经过点， ， 顶点为∶， 顶点在直线上， ． 故选：B． 23．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 24．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，面积最大值为 (3)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； ③以、为对角线，， ， ， ； 综上所述：或或或． 25．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． $$