专题01二次函数（考题猜想，45题15种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题01 二次函数（易错必刷45题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的定义 · 二次函数的三种表达形式 · 二次函数的图像 · 二次函数的性质 · 二次函数的顶点、对称轴 · 二次函数与坐标轴的交点 · 二次函数图形的几何变化 · 二次函数的图像与系数的关系 · 二次函数的图像上y值大小比较 · 二次函数的最值 · 二次函数与方程的关系 · 动点的函数图像问题 · 绘制二次函数图像 · 二次函数的应用 一．二次函数的定义（共3小题） 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）下列表达式中，y是x的二次函数的个数（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）二次函数的一次项系数是 ． 二、二次函数表达式的三种形式（共3小题） 4．（23-24九年级下·全国·单元测试）若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（    ） A．， B．，5 C．4， D．， 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）按要求将二次函数的表达式转化为其他形式： （1）二次函数化为顶点式为 ； （2）二次函数化为一般式为 ； （3）二次函数化为一般式为 ． 三、二次函数的图像（共3小题） 7．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 四、二次函数的性质（共4小题） 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级下·江苏连云港·自主招生）若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 12．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 13．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 五、二次函数的顶点，对称轴（共4小题） 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·广西玉林·阶段练习）二次函数的图象的开口向 ，顶点坐标为 ． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，其顶点坐标为 ． 六、二次函数与坐标轴的交点（共3小题） 18．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ． 19．（22-23九年级上·广西贺州·期中）平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点坐标是 ． 20．（22-23九年级上·山东临沂·期末）抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标． (2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？ (3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大． 七、二次函数图像的几何变换（共3小题） 21．（22-23九年级上·江苏宿迁·开学考试）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 22．（2022·四川巴中·中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ① ；②；    ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 23．（2024·湖南长沙·模拟预测）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为 ； 八、二次函数的图像与系数的关系（共3小题） 24．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，二次函数的图象过点和，有以下结论： ； ； ； ； .其中正确的是（   ）    A． B． C． D． 25．（2024·内蒙古包头·一模）如图，二次函数，的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中，结论正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．（22-23九年级下·山东日照·开学考试）如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 九、二次函数的图像上y值大小比较（共2小题） 27．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 28．（2023·海南海口·模拟预测）若点、都在拋物线上，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 十、二次函数的最值（共3小题） 29．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 30．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知抛物线经过． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求n的值； (3)将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值． 31．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线，当时，的最小值为，求的值． 十一、二次函数与方程的关系（共3小题） 32．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 33．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是二次函数 的图象，其对称轴是直线，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号有 ． 34．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为______，______； (2)当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______； (3)若方程有实数根，取值范围是______． 十二、动点的函数图像问题（共3小题） 35．（2023·甘肃金昌·模拟预测）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为 ，的面积为 ，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 36．（2024·山东东营·模拟预测）如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 十三、绘制二次函数图像（共3小题） 38．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． (1)请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 …    (2)根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，它的对称轴是_______； ②该图象的顶点坐标为_______，该函数有最_______值（填大、小）； ③当x_______时，y随x的增大而减小． 39．（24-25九年级上·北京·开学考试）我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题： 已知：二次函数中的和满足下表： ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 3 0 0 8 ⋯ (1)可求得的值为________； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)画出函数图象； (4)当时，则的取值范围为________． 40．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 十四、二次函数的应用（共5小题） 41．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为 米． 42．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为　　　　； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 43．（2024·山西·模拟预测）学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度（米，竖直高度米，将投石机固定在点O处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？ 44．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 45．（2024·贵州黔东南·二模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． $$专题01 二次函数（易错必刷45题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的定义 · 二次函数的三种表达形式 · 二次函数的图像 · 二次函数的性质 · 二次函数的顶点、对称轴 · 二次函数与坐标轴的交点 · 二次函数图形的几何变化 · 二次函数的图像与系数的关系 · 二次函数的图像上y值大小比较 · 二次函数的最值 · 二次函数与方程的关系 · 动点的函数图像问题 · 绘制二次函数图像 · 二次函数的应用 一．二次函数的定义（共3小题） 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）下列表达式中，y是x的二次函数的个数（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，形如的函数叫二次函数．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：①，y不是x的二次函数； ②，整理后，不含x的二次项，y不是x二次函数； ③，y不是x的二次函数； ④，y是x的二次函数； 故选：A． 【点评】本题考查的时候二次函数的定义，掌握相关概念即可。 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数是二次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的定义，考生需要明白二次函数的形式。 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的一次项系数是， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的定义，明白二次函数的表达式的二次项、一次项、常数项即可。 二、二次函数表达式的三种形式（共3小题） 4．（23-24九年级下·全国·单元测试）若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（    ） A．， B．，5 C．4， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与比较可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选A． 【点评】本题考查二次函数的三种形式，需要考生将二次函数的一般形式转化成顶点式是关键。 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的顶点式、二次函数的平移，根据相关性质即可求解。 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）按要求将二次函数的表达式转化为其他形式： （1）二次函数化为顶点式为 ； （2）二次函数化为一般式为 ； （3）二次函数化为一般式为 ． 【答案】 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键．①一般式：（a，b，c为常数，）；②顶点式：（a，b，c为常数，）；③交点式(与x轴)：． （1）化为的形式即可； （2）化为的形式即可； （3）化为的形式即可； 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【点评】本题考查二次函数的三种形式，掌握二次函数的各种形式转化是关键。 三、二次函数的图像（共3小题） 7．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数反比例函数和二次函数的图象分布，熟练掌握各函数系数的性质是关键．根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，， 一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图形，一次函数以及反比例函数的图像分布，熟练掌握相关性质是关键。 8．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的性质，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键； 分和讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可． 【详解】当时，时，二次函数，图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故A选项正确，B选项不正确； 当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故C选项不正确， 当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且上升趋势，故D选项不正确， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数与反比例函数图像的性质，掌握相关性质是本题解题关键。 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．分别讨论a的情况，再根据一次函数与二次函数的图象分布，比较看是否一致即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 当时，则，， 一次函数的图象过一、二、三象限， 二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，且关于y轴对称， 当时，则，， 一次函数的图象过二、三、四象限， 二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且关于y轴对称， 只有A选项符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数与一次函数图像的综合，掌握两种函数的图像性质是本题的关键。 四、二次函数的性质（共4小题） 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质，逐项分析即可得到答案． 本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； C、，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、，，y随x的增大而减小，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数，反比例函数，一次函数的性质，掌握函数的性质是关键。 11．（23-24九年级下·江苏连云港·自主招生）若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是型， ∴， 解得：或， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图像性质，掌握二次函数图像的性质和坐标特点是解题的关键。 12．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，数量掌握二次函数图像的性质是本题的关键。 13．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 【点评】本题主要考查二次函数的定义和图像的性质，根据相关定义和性质即可求解。 五、二次函数的顶点，对称轴（共4小题） 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性求二次函数的对称轴即可． 【详解】解：令，则 解得：， ∴ 抛物线的对称轴是， 故选D． 【点评】本题考查了二次函数的对称轴，根据二次函数对称性就可求解。 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一元二次方程与函数图象的关系、利用二次函数图象的对称性求对称轴，理解一元二次方程的解与函数图象的关系是解题的关键． 根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标，再根据对称性即可得到对称轴． 【详解】的两个实数根分别为，， 抛物线与x轴的两个交点坐标为，， 抛物线的对称轴为直线． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数与二次方程的关系，掌握二次函数图形的对称性以及二次函数与二次方程的关系是解题关键。 16．（23-24九年级上·广西玉林·阶段练习）二次函数的图象的开口向 ，顶点坐标为 ． 【答案】 上 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数各种表达式形式的转化是解题的关键． 先将一般式配方成顶点式，然后即可得出答案． 【详解】解：， 二次函数的图象的开口向上， ， 二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：上，． 【点评】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求解相应顶点坐标即可。 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，其顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用配方法把解析式化为顶点式，根据“二次函数的性质：顶点坐标是，对称轴是直线”即可得出答案．掌握把一般式化为顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴其顶点坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，将二次函数的一般形式转化成顶点式即可求解。 六、二次函数与坐标轴的交点（共3小题） 18．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题． 【详解】解：，，， ， 抛物线与轴交点的个数为， 当时，， 抛物线与轴交点的个数为， 抛物线与坐标轴交点的个数为； 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，注意函数图像不光与x轴有交点，同时与y轴也有交点，不能漏掉。 19．（22-23九年级上·广西贺州·期中）平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点坐标是 ． 【答案】和 【分析】本题考查了求抛物线与轴的交点坐标．通过解方程得到抛物线与轴的两个交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与轴的两个交点坐标为和． 故答案为：和． 【点评】本题考查二次函数与x轴的交点问题，计算y=0的情况下x的值即可求解。 20．（22-23九年级上·山东临沂·期末）抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标． (2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？ (3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大． 【答案】(1)，x轴的交点坐标为， (2)当或时，抛物线在x轴下方 (3)当时，y随着x的增大而增大 【分析】考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键． （1）把已知点的坐标代入中可求出m，从而得到抛物线解析式为，通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标； （2）利用抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围； （3）先求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：将 代入，可得， ， 令，即，解得， x轴的交点坐标为，； （2）根据的图像，如下图： 如图可知， 当或时，抛物线在x轴下方； （3）， 抛物线开口朝下， 抛物线对称轴为， 根据二次函数的性质可知， 当时，y随着x的增大而增大． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，掌握相关知识是解题关键。 七、二次函数图像的几何变换（共3小题） 21．（22-23九年级上·江苏宿迁·开学考试）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：， 即． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图像的平移，掌握平移规律是本题解题关键。 22．（2022·四川巴中·中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ① ；②；    ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； ∵与y轴的交点坐标为（0，3）， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴c＝-3，故②错误； ∵中a＞0，， ∴b＜0， 又∵c＝-3＜0， ∴，故③正确； 设抛物线的解析式为， 代入（0，3）得：， 解得：a＝－1， ∴， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5）， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键． 23．（2024·湖南长沙·模拟预测）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为 ； 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即可得出平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图像的平移，掌握平移规律是本题解题关键。 八、二次函数的图像与系数的关系（共3小题） 24．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，二次函数的图象过点和，有以下结论： ； ； ； ； .其中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用图象信息即可判断；根据时， 即可判断；根据是方程 的根，结合两根之积即可判断；根据两根之和可得代入即可判断，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵时，， ∴，即，故正确， ∵二次函数的图象过点和， ∴，， ∴ ∴，故正确， ∵， ∴， ∴， ∵ ，故正确， 当时，， 又∵图象过点和， ∴当时，，， 则 ∴ ∴，故正确， 综上正确， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图像以及性质，能从图像中获取信息是本题的解题关键。 25．（2024·内蒙古包头·一模）如图，二次函数，的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中，结论正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．根据开口方向和与y轴的交点位置得到，，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①②；根据当时，，可判断③；根据顶点坐标大于2，结合顶点坐标计算公式可判断④；当时，，则，再根据当时，，当时，，求出a的取值范围即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴， ∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线之间， ∵， 又∵， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵抛物线顶点纵坐标大于2， ∵， ∴，故④错误； 当时，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故⑤错误； 综上，②③正确，共2个， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图像与性质，从图像中提取信息是本体的解题关键。 26．（22-23九年级下·山东日照·开学考试）如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键．把点代入解析式即可判断；由顶点坐标得出对称轴，即可判断；根据抛物线的对称性求得时，，即可判断；由图象可知抛物线与直线没有交点，即可判断；求得，再结合即可判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ，故正确； 抛物线的顶点坐标是， ， ， ，故错误， 抛物线开口向上，与轴交于点，顶点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ，故正确； 抛物线开口向上，顶点坐标为， 函数有最小值， 抛物线与直线没有交点， 关于的一元二次方程没有实数根，故错误； ， 抛物线为， 与轴交于点， ， 与轴交点的纵坐标在和之间不含端点， ． ． ，故正确； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图像与性质，从图像中提取关键信息是本题的解题关键。 九、二次函数的图像上y值大小比较（共2小题） 27．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数上y值大小的比较，掌握二次函数图像的特点与性质是本题解题关键。 28．（2023·海南海口·模拟预测）若点、都在拋物线上，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性． 先求出二次函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性，即可得出结论． 【详解】解：该抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A离对称轴更远， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图像上y值的大小比较，掌握了二次函数图像性质及特点是本题解题关键。 十、二次函数的最值（共3小题） 29．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线 函数的最大值为2，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键． 【详解】解：二次函数 ∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2， 当时， 时， 函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去)， 当 时， 时，函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去) ， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得：或(舍去)， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得或4(舍去)， 或， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图像的最值，对二次函数取最值情况进行分类讨论是解题关键。 30．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知抛物线经过． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求n的值； (3)将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为； (2) (3)m的值为5 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）把点代入解方程组即可得到结论； （2）把代入得到，于是得到，即可得到结论； （3）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 解得：； ∴函数解析式为， ∴对称轴为 （2）解：由（1）得函数解析式为， 把代入得，， ∵ ∴ ∵是抛物线上不同的两点， ∴关于对称轴的对称， ∴． ∴． （3）解：由（1）得函数解析式为， ∵此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度， 当向左平移时，平移后的解析式为， ∴对称轴为， 当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意； 当，时，当时y随x的增大而增大， ∴当时，有最小值7，即， 解得，（舍去）， 综上所述，m的值为5． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，学生能够对熟练掌握二次函数的知识，对二次函数的解析式进行求解，对函数的增减性进行分析，以及平移的特点等。 31．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线，当时，的最小值为，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可． 分为①当，②当，③当时，分别解答即可； 【详解】解：对于，当时，， 当时，； 抛物线的对称轴为直线，开口向下， ①当，即时，抛物线在时，取得最小值，即， 解得（舍去）或，故； ②当，即时， 当时，抛物线在时，取得最小值， 即，解得（舍去）或（舍去）， 当时，抛物线在时，取得最小值， 即，解得（舍去）或（舍去）； ③当时，抛物线在时，取得最小值，即， 解得（舍去）或，即， 综上所述，或． 【点评】本题考查二次函数的最值，掌握二次函数的性质对二次函数取最值的情况进行分类讨论是关键。 十一、二次函数与方程的关系（共3小题） 32．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查数形结合思想，涉及抛物线和直线交点，根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴方程的解即为抛物线和直线的交点， ∴解为，， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数与方程的关系，数形结合的思想是本题的解题关键。 33．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是二次函数 的图象，其对称轴是直线，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，二次函数与一元二次方程横的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次根式与轴的交点，可判断①结论；由图象可知，当时，，可判断②结论；根据函数图象的开口方向、对称轴、与轴交点，可判断③和⑤结论；根据方程没有实数根可知与没有交点，可判断④结论． 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点， ，①结论正确； 由图象可知，当时，， ，②结论正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交点在负半轴， ，，， ， ，，③和⑤结论错误； 一元二次方程没有实数根， 没有实数根， 与没有交点， 由图象可知，，④结论正确； 正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数的图形性质，与x轴的交点，二次函数与二次方程的关系，数形结合是本题的解题关键。 34．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为______，______； (2)当时，则的取值范围为______；当时，自变量的取值范围为______； (3)若方程有实数根，取值范围是______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为，； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范； （3）解：若方程有实数根，取值范围是． 【点评】本题考查二次函数与二次方程的关系，数形结合是本题的解题关键。 十二、动点的函数图像问题（共3小题） 35．（2023·甘肃金昌·模拟预测）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为 ，的面积为 ，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】解：如图，，，， ①当时， 正方形的边长为， ； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合． 故选：A． 【点评】本题考查动点的函数图像问题，根据题意结合图形即可解答。 36．（2024·山东东营·模拟预测）如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的位置对分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：当点到点时，；当点到点时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵， ，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴； 当，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴． 综上所述： 结合图像可得只有项符合题意， 故选：． 【点评】此题考查的是求实际问题中的函数关系式，二次函数的图像及性质，掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质、梯形面积公式、三角形的面积公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 37．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：当时，如图， ∵三个动点同速， ∴三个动点路程相同， ∴， ∵ ∴， ∴ 当时，如图， 此时 ∴， ∴， ∴ ∴结合两个函数判断B符合题意， 故选：B 【点评】本题考查动点的函数图像问题，根据题意，分段进行讨论即可求解。 十三、绘制二次函数图像（共3小题） 38．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． (1)请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 …    (2)根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，它的对称轴是_______； ②该图象的顶点坐标为_______，该函数有最_______值（填大、小）； ③当x_______时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)见解析 (2)①直线；②，大；③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象的性质． （1）先把二次函数化为顶点式，然后分别求出当时，，当时，，最后画出函数图象即可； （2）①利用二次函数的性质求解即可； ②利用二次函数的性质求解即可； ③利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，，解得或（舍去）， 填表如下： x … 0 1 … y … 0 2 0 … 画出函数图象如下所示：    （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴它的对称轴是直线， 故答案为：直线； ②∵二次函数解析式为，， 该图象的顶点坐标为，该函数有最大值， 故答案为：，大； ③ 根据图象可知当，y随x的增大而减小． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图形的绘制问题，掌握二次函数图像的绘制方式，二次函数的性质是本题解题关键。 39．（24-25九年级上·北京·开学考试）我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题： 已知：二次函数中的和满足下表： ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 3 0 0 8 ⋯ (1)可求得的值为________； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)画出函数图象； (4)当时，则的取值范围为________． 【答案】(1)3 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当和所对应的函数值相等，从而得到的值； （2）设交点式，然后把把代入得求出的值即可； （3）利用描点法画出二次函数图象； （4）先计算出和所对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当和所对应的函数值相等， ； 故答案为：； （2）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ， 即抛物线解析式为； （3）如图， （4）当时，， 当时，有最小值， 当时，， 当时，则的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，描点法绘制二次函数图像，掌握相关概念即可求解。 40．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 【答案】函数图象见解析；（1）；（2） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象等知识． 根据函数解析式求得与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函数图象， （1）根据函数图象直接求解； （2）根据函数图象直接求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，解得：， ∴抛物线与轴的交点为， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 关于对称轴对称的点为， 函数的图象，如图所示， （1）根据函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． （2）当时，， 当时，， 又∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是， 故答案为： 【点评】本题考查二次函数图像与与性质，掌握相关知识是解题关键。 十四、二次函数的应用（共5小题） 41．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先建立解析中坐标系，则，设大小正方形的边长分别为，n，则点B、C的坐标分别为：，利用待定系数法求出抛物线解析式为，再把B、C坐标代入求解即可． 【详解】解：建立如下平面直角坐标系，则点， 设大小正方形的边长分别为，n，则点B、C的坐标分别为：、 设抛物线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，解得， ∴抛物线的表达式为：， 将点B、C的坐标代入上式得：， 由①得(舍去）， 解得：或 （舍去）， ∴小箱子正方形的最大边长为米． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的应用，利用条件建立坐标系，用待定系数法求二次函数表达式是解题关键。 42．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为　　　　； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 【答案】(1) (2)12 (3)该隧道车辆的限制高度为5米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，顶点，从而可设抛物线为，又，，则，，进而可得，求出即可得解； （2）依据题意，由贴黄黑立面标记的区域抛物线面积抛物线面积矩形面积，从而贴黄黑立面标记的区域的面积为，进而可以得解； （3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，从而可令，则，又（米），故可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，顶点， 可设抛物线为． 又，， ，． ． ． 所求抛物线的解析式为； （2）解：由题意，如图， 将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域抛物线面积抛物线面积矩形面积． 贴黄黑立面标记的区域的面积为． 故答案为：12； （3）解：由题意，车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶， 可令，则． 又（米）， 该隧道车辆的限制高度为5米． 【点评】本题考查二次函数的应用，掌握相关知识并灵活运用是本题解题关键。 43．（2024·山西·模拟预测）学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度（米，竖直高度米，将投石机固定在点O处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？ 【答案】（1）（2）（3）1米 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的线段综合，一次函数的性质以及解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已知条件，设抛物线为顶点式，代入，则，即可作答． （2）结合已知条件，找出，再设，然后米，把代入，解得，即可作答． （3）先求出线段的解析式为，得，其中，设抛物线到点W的距离为，则，因为，开口向下，取大值，把代入，得出，此时这支木杆有最大长度，即有最大值，即． 【详解】解：（1）依题意，∵石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米．且 ∴设该抛物线的函数表达式， 把代入， ∴， 解得， ∴； （2）∵测得米，，米，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙， ∴轴，（米）， ∴， 把代入， 得出， 设， ∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙， ∴米，则， ∴把代入， 得， ∴， 解得或者（舍去）， ∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围为； （3）∵该木板的水平宽度（米，竖直高度米）， ∴， 设线段的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴线段的解析式为， ∵在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准， 设这支木杆的长度为， 如图：设木杆的顶端为W， ∴，其中， 设抛物线到点W的距离为， 则， ∵，开口向下， ∴取大值， ∵， ∴把代入， 得出，此时这支木杆有最大长度，即有最大值， 即． 【点评】本题考查二次函数综合，数量掌握相关知识并灵活运用是本题解题关键。 44．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)，； (2) (3)她当天的比赛能成功完成此动作． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：，； （2）解：， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 当时，， ， 即她在水面上能够完成此动作， 她当天的比赛能成功完成此动作． 【点评】本题考查二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数表达式是解题关键。 45．（2024·贵州黔东南·二模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为 ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴， ∴点B的坐标为； （3）解：， 点的纵坐标为0.5， ∴ 解得： ∵ ∴ 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 【点评】本题考查二次函数的应用，建立二次函数模型，待定系数法求解二次函数表达式是本题的解题关键。 $$