第11讲 实际问题与二次函数（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第11讲 实际问题与二次函数（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型强化 题型一．二次函数的最值 1．（2024•中江县一模）函数的最小值是　　． 2．（2023秋•榆林期末）二次函数在的范围内有最小值为，则的值为　　 A．3或 B． C．或1 D．3 3．（2024•惠州校级开学）配方： （1）若，则　　，　　． （2）如图，在△中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，△的面积最大？求该最大值． 题型二．根据实际问题列二次函数关系式 4．（2023秋•江州区期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 5．（2024•衡阳模拟）衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30元箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润（元与每箱降价（元之间的函数表达式为 　　． 6．（2022秋•济南期末）如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为．这时．拱高（点到的距离）为． （1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？ （2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？ 题型三．二次函数的应用 7．（2024•岳麓区校级开学）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度（米与水平距离（米之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为　　 8．（2023秋•和平区校级月考）如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与，平行，则矩形框架的最大面积为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•黔东南州月考）神舟十三号的3名航天员在轨时间长达六个月，备受世人关注．某商场销售神舟十三号飞船模型，进价为每个80元，在市场销售中发现，此模型日销售量（个与销售单价（元满足一次函数关系，其部分对应关系如下表所示： 销售单价 （元 90 95 100 105 110 销售量 （个 50 45 40 35 30 （1）请求出日销售量关于销售单价的函数关系式； （2）若物价部门规定销售利润不高于进价的，当销售单价定为多少时，该商场每天销售神舟十三号飞船模型的利润最大，最大利润是多少？ 分层练习 一、单选题 1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 2．将一张边长为的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（  ） A． B． C． D． 3．抛物线是由平移得到，它经过原点，且交x轴正半轴于点，为上一点，为抛物线上一点，以，为边构造，点恰好落在抛物线上，连接交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 5．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数表达式．已知“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为（    ） A． B． C． D． 7．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 8．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（  ） A． B． C． D． 9．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 10．如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将沿着直线向右移动，当点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进的距离是 m． 12．某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 13．某广告公司设计一块周长为米的矩形广告牌，设矩形的一边长为米，广告牌的面积为平方米，则广告牌的面积与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 14．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 15．某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ． 16．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于 ．    17．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是 ． 18．如图，在菱形中，，，点同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的是 ．    三、解答题 19．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 20．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 21．足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 22．如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽，求到桥拱顶的距离．    23．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 24．某中学建有一处劳动实践基地，今年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． (1)设今年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，则如何分配两种蔬菜的种植面积才能使W的值最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时后年的总种植成本为28 920元？ 25．配方 (1)若，则________，________； (2)如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 26．某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 实际问题与二次函数（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型强化 题型一．二次函数的最值 1．（2024•中江县一模）函数的最小值是　　． 【分析】本题由于二次项的系数为1，可用配方法求解． 【解答】解：， ，由知，当时，函数取得最小值， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的最值，求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 2．（2023秋•榆林期末）二次函数在的范围内有最小值为，则的值为　　 A．3或 B． C．或1 D．3 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在的范围内函数取最小值时的值，进而求解． 【解答】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 在的范围内，时，为函数最小值， ， 解得或， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系． 3．（2024•惠州校级开学）配方： （1）若，则　　，　　． （2）如图，在△中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，△的面积最大？求该最大值． 【分析】（2）利用三角形面积公式得到，再利用配方法得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）， ，， 故答案为：，2； （2）根据题意得 ， ， ， 设△的面积为， ， ， 抛物线开口向下， ， 时，△的面积随出发时间的增大而增大；时，△的面积随出发时间的增大而减小； 当时，的值最大，最大值为36． 【点评】本题考查了二次函数的最大值：会利用代数式表示线段的长度，根据三角形面积公式列方程和函数关系，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 题型二．根据实际问题列二次函数关系式 4．（2023秋•江州区期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了这种传染病，即可得出与的函数关系式． 【解答】解：根据题意可得，与的函数关系式为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出传染人数是解题关键． 5．（2024•衡阳模拟）衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30元箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润（元与每箱降价（元之间的函数表达式为 　　． 【分析】根据总利润单个的利润销售量，列出函数解析式即可． 【解答】解：每天的利润（元与每箱降价（元之间的函数表达式为： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了列二次函数解析式，函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 6．（2022秋•济南期末）如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为．这时．拱高（点到的距离）为． （1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？ （2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？ 【分析】（1）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； （2）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把，代入求出、的值即可． 【解答】解：（1）设该抛物线的解析式是， 由图象知，点在函数图象上，代入得： ， ． 该抛物线的解析式是； （2）设该抛物线的解析式是， 由图象知，点，，在函数图象上，代入得： ， 解得：，． 该抛物线的解析式是， 与（1）抛物线比较，形状不变、表达式有变化． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点． 题型三．二次函数的应用 7．（2024•岳麓区校级开学）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度（米与水平距离（米之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为　8米　 【分析】根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【解答】解：由题意可知，将代入，得： ， 解得（舍去）或， 小朱本次投掷实心球的成绩为8米， 故答案为：8米． 【点评】本题考查了二次函数的应用，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 8．（2023秋•和平区校级月考）如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与，平行，则矩形框架的最大面积为　　 A． B． C． D． 【分析】用含的代数式表示横档的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积． 【解答】解：为米，则， ， 当时，取得最大值4； 长方形框架的面积最大为． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值是解题的关键． 9．（2023秋•黔东南州月考）神舟十三号的3名航天员在轨时间长达六个月，备受世人关注．某商场销售神舟十三号飞船模型，进价为每个80元，在市场销售中发现，此模型日销售量（个与销售单价（元满足一次函数关系，其部分对应关系如下表所示： 销售单价 （元 90 95 100 105 110 销售量 （个 50 45 40 35 30 （1）请求出日销售量关于销售单价的函数关系式； （2）若物价部门规定销售利润不高于进价的，当销售单价定为多少时，该商场每天销售神舟十三号飞船模型的利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据“利润单个产品的利润销售数量”，得到关于利润的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设日销售量关于销售单价的函数关系式为：， 把，代入上式得： ， 解得：， 日销售量关于销售单价的函数关系式为：； （2）设该商场每天销售神舟十三号飞船模型的利润为元， 根据题意得：， 即， 根据题意，知：， 解得：， ， 当时，取得最大值900， 即销售单价定为110元时，该商场每天销售神舟十三号飞船模型的利润最大，最大利润是900元． 【点评】本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 分层练习 一、单选题 1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 2．将一张边长为的正方形纸片的四个角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的侧面积最大（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先根据侧面积公式列函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：依题意设侧面积为； ∴， ∵， ∴有最大值，当时，面积最大， 故选：B 3．抛物线是由平移得到，它经过原点，且交x轴正半轴于点，为上一点，为抛物线上一点，以，为边构造，点恰好落在抛物线上，连接交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，，则；根据，得，，则，得点是新抛物线对称轴与轴的交点；设点，则，的中点坐标为，则，求出；可得点的坐标，即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴点是新抛物线对称轴与轴的交点， 设点， ∴， ∵点， ∴的中点坐标为； ∴， ∴， ∴点， ∴平移后的抛物线为：， ∴把点代入， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的两点式，对称轴的性质，平行四边形的性质． 4．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 5．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 抛物线经过，对称轴为直线， 则设抛物线的解析式为：， 代入，求得：， 将值代入得到抛物线的解析式为：， 令，则， 则水管长为， 故选C． 6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数表达式．已知“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为：，再将其化为顶点式，问题随之得解． 【详解】根据题意有：， 解得：， ∴函数表达式为：， 将化为顶点式为：， 当时，函数有最大值，且为：， 即则“水火箭”升空的最大高度为， 故选：C． 7．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，求出的坐标，顶点式，求得二次函数的解析式即可． 【详解】解：如图，∵对应的两条抛物线关于轴对称，， ∴， ∵轴，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设右轮廓所在抛物线的解析式为，把，代入，得：， ∴右轮廓所在抛物线的解析式为； 故选B． 9．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 10．如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将沿着直线向右移动，当点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象和二次函数图象性质，分当时和时两种情况分析即可， 解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：如图，当时，过点作于， ∵和均为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 当时，，且抛物线的开口向上， 如图所示：时，过点作于，   同理得，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上， 故选：． 二、填空题 11．汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进的距离是 m． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法求二次函数的最值即可． 【详解】解：， 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是． 故答案为：． 12．某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据平均增长率的定义列式表示出2、3月份的利润即可． 【详解】解：由题意知，2月份的利润为万元，3月份的利润为万元， 因此关于的函数关系式是， 故答案为：． 13．某广告公司设计一块周长为米的矩形广告牌，设矩形的一边长为米，广告牌的面积为平方米，则广告牌的面积与的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，并用x表示变量来列式．广告牌的一边长是x米，根据周长再用x表示出另一边，矩形广告牌的面积等于长宽，结合边长为正数可得答案． 【详解】解：∵周长为米的矩形广告牌，设矩形的一边长为米， ∴另一边长为米，． ∵， 解得：； 故答案是：， 14．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 15．某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每件利润以及其销量是解题关键． 根据每月售出衬衫的利润每件的利润每周的销售量得到，整理即可． 【详解】解：根据题意得出： ． 故答案为：． 16．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于 ．    【答案】/4米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意把直接代入解析式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得点的横坐标为， 把代入得， ∴， ∴水面与桥拱顶的高度等于， 故答案为：． 17．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度是解答本题的关键． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值即可解答． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得（不合题意舍去）， ∴此运动员将铅球推出的距离是. 故答案为：. 18．如图，在菱形中，，，点同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的是 ．    【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】先证明，均为等边三角形，再分、、三种情况，分别画出对应图形，利用含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求得与的函数关系式即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴，均为等边三角形， ∴，， ∴运动时间为最大为，即， 当时，点在，点在上，如图，过作于，    由题意，，，在中，， ∴， 则， ∴； 当时，点在上，点在上，如图，过作于，    由题意，，， 在中，， ∴， 则， ∴； 当时，点均在上，如图，过作于，    由题意，，， ∴， 在中，， ∴， 则， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． 故答案为：当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查动点问题，涉及菱形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，分类讨论求得函数的解析式，是解答的关键． 三、解答题 19．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 20．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)40元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据“利润=销售单价减去成本价后再乘以销售量”即可得； （2）根据二次函数的值为200即可求得，并舍去不合题意的解. 【详解】（1）解：， 与之间的函数解析式（）； （2）解：当时，， 解得，， ， ∴不符合题意，舍去， 即该地摊销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 21．足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， ， 球不能射进球门． 22．如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽，求到桥拱顶的距离．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 以为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知、可得的解析式，从而求出的值，即可求解． 【详解】解：根据题意建立坐标系如下：    设抛物线解析式为：， 由题意知：，， ， 把，代入，得 ， 解得：， ， 当时，， 即 ， 答：到桥拱顶的距离为． 23．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】当这个矩形的长(不与墙平行)为、宽(与墙平行)为时，菜园的面积最大，最大面积是 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确理解题意建立二次函数关系式、熟练掌握二次函数的性质、利用数形结合的思想求最值是解答此题的关键． 设这个矩形与墙平行的一边长为，面积为，那么不与墙平行的一边长为，得出关于的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解． 【详解】解：设这个矩形与墙平行的一边长为，面积为，那么不与墙平行的一边长为， 根据题意，得， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 最大值为， ， 答：当这个矩形的长(不与墙平行)为、宽(与墙平行)为时，菜园的面积最大，最大面积是． 24．某中学建有一处劳动实践基地，今年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． (1)设今年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，则如何分配两种蔬菜的种植面积才能使W的值最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时后年的总种植成本为28 920元？ 【答案】(1)当种植甲种蔬菜400，种植乙种蔬菜600 时W的值最小 (2)当a为20时后年的总种植成本为28 920元 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值； （1）先求出当时，与的函数关系式；分别讨论两段对应的的最小值，然后比较大小即可解答本题； （2）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，与的函数关系式为， ， 当时，取得最小值42000，此时； 当时，， 当时，取得最小值43000，此时； ， 当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小． （2）解：由（1）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为（元）， 由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元． 25．配方 (1)若，则________，________； (2)如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 【答案】(1)， (2)当时，的面积最大，最大为． 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，解题的关键是能正确配方； （1）利用配方法即可求解； （2）依题意可知：再由三角形面积公式可得，代入数值根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，； （2）解：依题意可知：，，，， ， ∴当时，的面积最大，最大为． 26．某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 【答案】(1) (2)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． （1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）由喷出的水柱为抛物线，在距水池中心4米处达到最高，高度为6米，设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （2）解：当时， ． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， ∵ ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$