3.6 圆的内接四边形及四点共圆 学案 2021--2022学年浙教版九年级数学上册

圆的内接四边形及四点共圆 【知识梳理】 1、 圆的内接四边形：顶点在同一个圆上的四边形． 性质：同侧共底的两个三角形的顶角相等； 圆内接四边形的对角互补； 圆内接四边形的外角等于内对角。 二、四点共圆的判定 若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆； 若线段异侧二点到线段两端点连线夹角互补，那么这二点和线段二端点四点共圆。 【典型例题】 考点一 圆的内接四边形 【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是AC上一点，且AB=AD=AE，∠DAC=50°，则∠CBE=　 度． 【答案】25 【解析】 ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， ∵∠ABE=∠ABD+∠EBD，∠AEB=∠ACB+∠EBC，∠ACB=∠ADB， ∴∠DBE=∠CBE=∠DAC=25°， 故答案为：25°． 【变式训练】 【变1】如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A= 【答案】55° 【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A=∠BCF， ∵∠EBF=∠A+∠E， 而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F， ∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F， ∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F， 即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°， ∴∠A=55° 考点二 四点共圆 【例2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（　　） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】 解：如图，连接DE， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4， ∵D是BC中点， ∴CD＝BC＝2， ∵∠CAD＝∠CBE， ∴点A，点B，点D，点E四点共圆， ∴∠ABD＝∠DEC＝90°， ∴∠C＝∠EDC＝45°， ∴DE＝CE＝CD＝， ∴AE＝AC﹣CE＝3， 【例3】在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点F．当点D在如图所示的位置时： （1）观察填空： ①与△ACD全等的三角形是　 　； ②∠AFB的度数为　 　； （2）利用题干中的结论，证明：C，D，F，E四点共圆； （3）直接写出线段FD，FE，FC之间的数量关系　 　． 【答案】见解析 【解析】 （1）解：①∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∴∠ACD+∠DCB＝60°， 由旋转知，CE＝CD，∠DCE＝60°， ∴∠BCE+∠DCB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， 故答案为：△BCE； ②由①知，△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵∠ADC+∠FDC＝180°， ∴∠BEC+∠FDC＝180°， ∴C，D，F，E四点共圆， ∴∠AFE+∠DCE＝180°， ∵∠AFB+∠AFE＝180°， ∴∠AFB＝∠DCE＝60°， 故答案为：60°； （2）证明：由（1）②中，已证； （3）由（1）①知，△DCE是等边三角形， ∴CE＝DE， 由（1）②知，∠DFE＝180°﹣∠DCE＝120°， 由（2）知，点C，D，F，E四点共圆， ∴∠CFE＝∠CDE＝60°， 在FC上取一点G，使FG＝FE， ∴△EFG是等边三角形， ∴EG＝FE，∠EGF＝60°， ∴∠CGE＝120°＝∠DFE， ∵点C，D，F，E四点共圆， ∴∠ECG＝∠EDF， ∴△CEG≌△DEF（AAS）， ∴CG＝FD， ∴FC＝FG+CG＝FE+FD， 故答案为：FC＝FE+FD． 【变式训练】 【变2】 如图，线段AB、CD相交于E，AE＝AC，DE＝DB，点M、F、G分别为线段AD、CE、EB的中点，如果∠MAE＝25°，∠AMF＝40°，那么∠MFG的度数为　 　． 【答案】45° 【解析】解：如图，连接AF，DG， ∵AE＝AC，DE＝DB，点F，点G是CE，BE的中点， ∴AF⊥CE，DG⊥BE， ∴∠AFD＝∠AGD＝90°， ∴点A，点F，点G，点D四点共圆， ∴∠DFG＝∠GAD＝25°， ∵∠AFD＝90°，点M是AD中点， ∴AM＝FM＝DM， ∴∠DFM＝∠FDM，