第11讲 弧长及扇形的面积（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第11讲 弧长及扇形的面积（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型强化 题型一．弧长的计算 1．（2024•张家港市模拟）如图，在中，点、、在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是　　 A． B． C． D． 2．（2024•镇江）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，，，则的长　　（结果保留． 3．（2023秋•宿迁月考）如图，在中，弦，相交于点，连结，已知． （1）求证：； （2）连结、，若，的半径为2，求的长． 题型二．扇形面积的计算 4．（2024•高新区二模）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•盐都区校级月考）如图，在中，，．将边绕点顺时针旋转得线段，再将边绕点顺时针旋转得线段，连接，则图中阴影部分的面积是 　　． 6．（2023秋•涟水县期中）如图，在中，，，，将绕逆时针方向旋转得到，点经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积． 题型三、弧长和扇形的面积 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 题型四、求某点的弧形运动路径长度 10．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么点从开始至结束所走过的路径长度为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 分层练习 一、单选题 1．一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于则该扇形的面积等于（  ） A． B． C． D． 2．如图，用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3πcm，则滑轮上的点F旋转了（    ） A．60° B．90° C．120° D．45° 3．我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（     ） A．60 平方步 B．90 平方步 C．120 平方步 D．240 平方步 4．钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 5．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（  ） A． B． C． D． 7．如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 10．如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点P，从点P向半径引垂线交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（　　） A．π B．π C．π D．π 二、填空题 11．在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 12．一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的圆心角是 ． 13．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 14．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，在矩形金属框中，已知，，现有一根长为的木棒紧靠着矩形框（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动1周，则木棒的中点P的运动轨迹所围成的图形的面积为 ． 16．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为 ． 17．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为 ． 18．如图，已知，，，半径为2的从点A出发，沿方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是 ．    三、解答题 19．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点C按顺时针方向旋转90°后的，并写出、坐标； (2)在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点所经过的路线长______（结果保留）． 20．如图，已知，点M是上的一个定点． (1)尺规作图：请在图中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的⊙O的劣弧与、所围成图形的面积是 ． 21．如图7，的正方形网格纸上有扇形和扇形，点均在格点上．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为；若用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为，求的值． 22．如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 24．如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 25．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，，求阴影部分的面积； 26．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为 ； （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 弧长及扇形的面积（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型强化 题型一．弧长的计算 1．（2024•张家港市模拟）如图，在中，点、、在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：． 【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式． 2．（2024•镇江）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，，，则的长　　（结果保留． 【分析】由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 3．（2023秋•宿迁月考）如图，在中，弦，相交于点，连结，已知． （1）求证：； （2）连结、，若，的半径为2，求的长． 【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 的半径为2， ． 【点评】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． 题型二．扇形面积的计算 4．（2024•高新区二模）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是　　 A． B． C． D． 【分析】假设左边空白部分的面积设为，右边空白部分的面积设为，根据对称性，上下两片阴影部分面积都设为，则扇形的面积，正方形面积一扇形面积，两个算式作差即为所求． 【解答】解：设左边空白部分的面积设为，右边空白部分的面积设为， 根据对称性，上下两片阴影部分面积设为， 则扇形的面积，正方形面积一扇形面积，两式作差： 扇形面积（正方形面积扇形面积）扇形面积正方形面积， 答：无阴影的两部分的面积之差为， 故选：． 【点评】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键． 5．（2023秋•盐都区校级月考）如图，在中，，．将边绕点顺时针旋转得线段，再将边绕点顺时针旋转得线段，连接，则图中阴影部分的面积是 　　． 【分析】如图，作于，由勾股定理得，，由旋转的性质可得，，，证明，则，根据，计算求解即可． 【解答】解：如图，作于， 由勾股定理得，， 由旋转的性质可得，，， ，， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识．正确的表示阴影部分的面积是解题的关键． 6．（2023秋•涟水县期中）如图，在中，，，，将绕逆时针方向旋转得到，点经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积． 【分析】由旋转的性质可得，，可得，，根据图形可得，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积． 【解答】解：将绕逆时针方向旋转得到， ，， ，， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． 题型三、弧长和扇形的面积 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 【答案】/ 【知识点】等边三角形的判定和性质、求弧长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的切线； 理由如下： 连接，如图所示： 根据题意得，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆综合，涉及等边三角形判定与性质、等腰三角形判定与性质、三角形外角和、切线的判定与性质、勾股定理、扇形面积的计算、旋转的性质等知识，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键． 题型四、求某点的弧形运动路径长度 10．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么点从开始至结束所走过的路径长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、等边三角形的性质 【分析】根据题目的条件和图形可以判断点B、分别绕两个定点以边长1为半径旋转，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到． 【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为，半径为1的扇形弧长， 所以点从开始至结束所走过的路径长度为：． 故选C． 【点睛】本题考查弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ． 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、三角形内角和定理的应用、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】根据、分别平分、，求出，连接，证明，得到，得到点路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧，构造，求出，，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，， ， ，分别平分、， ， 连接， ，，， ， ， 点的路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧的一部分， 过点、、作圆，作圆内接四边形，则， ， ，， ， 当重合时， 则， ，则是等边三角形 点的运动路径长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，求弧长，转化为定边对定角问题是解题的关键． 6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 【答案】(1) (2)4π 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积． （1）由旋转的性质得到：，，根据弧长公式即可解答； （2）由旋转的性质得到阴影的面积，结合扇形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到：，， ∴， ∴点A扫过的弧长是； （2）解：由旋转的性质得到：，，的面积的面积， ∵阴影的面积 ∴阴影的面积 分层练习 一、单选题 1．一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于则该扇形的面积等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式，代入求出r的值，即可得到结论． 【详解】解：由题意得，4π＝， 解得：r＝6， ∴S＝＝12π． 故选：C. 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，弧长公式，熟记公式是解题的关键． 2．如图，用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3πcm，则滑轮上的点F旋转了（    ） A．60° B．90° C．120° D．45° 【答案】B 【分析】由弧长的计算公式可得答案. 【详解】解：由圆弧长计算公式,将l=3π代入, 可得n =90， 故选B. 【点睛】本题主要考查圆弧长计算公式，牢记并运用公式是解题的关键. 3．我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（     ） A．60 平方步 B．90 平方步 C．120 平方步 D．240 平方步 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式，即进行计算即可． 【详解】由题意可知，扇形的弧长为30步，扇形所在的圆直径为16步， 所以扇形的面积为（平方步）， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 4．钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得可知，分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，从12点到12点20分走了圆周长的三分之一，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，到12点20分走了圆周长的三分之一， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查弧长公式．熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 5．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D， ∵∠AOB=2×=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1， ∴OD=， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键． 6．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，可见，阴影部分面积为扇形OBB′减扇形ODD′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可． 【详解】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8， ∴AD＝BD＝AB＝4， 在Rt△OBD中，OB2−OD2＝BD2＝16， ∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′， ∴△ODB≌△OD′B′， ∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°， ∴S扇形ODD′＝，S扇形OBB′＝ ∴S阴影＝S扇形OBB′−S扇形ODD′＝-==． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键． 7．如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积． 【详解】解：连接，，，，与交于， 由折叠性质可得，，，， ， ，， ∴，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 8．如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键；根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ∴的长π． 故选：A 9．如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积．据图形可得，阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，代入面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点P，从点P向半径引垂线交OA于点H．设的内心为I，当点P在弧上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．如图，连由△OPH的内心为I，可得到，并且易证，得到，所以点I在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过A、I、O三点作，如图，连，在优弧取点，连，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长． 【详解】解：如图，连 ∵的内心为I， ∴， ∴， 而，即， ∴， 又∵公共， 而， ∴， ∴， 所以点I在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过A、I、O三点作，如图，连， 在优弧取点，连， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长π（）， 所以内心I所经过的路径长为． 故选：B． 二、填空题 11．在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式，由此即可求解． 【详解】解：的圆心角所对的弧长为， 故答案为： ． 12．一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的圆心角是 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可求解． 【详解】根据弧长公式， 解得. 故答案为：150. 【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟记公式：弧长公式. 13．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积求法，利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积． 【详解】解：设扇形的半径为r．则 ，解得， ∴扇形的面积， 故答案为：． 14．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 15．如图，在矩形金属框中，已知，，现有一根长为的木棒紧靠着矩形框（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动1周，则木棒的中点P的运动轨迹所围成的图形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了扇形的面积计算以及矩形的性质．根据题意得出木棒的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A，B，C，D为圆心，为半径的弧，进而得出扇形面积，即可得出阴影部分面积． 【详解】解：如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出P到B点距离始终为1， 则木棒的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A，B，C，D为圆心，为半径的弧， 故所围成的图形的面积为： 矩形面积个扇形面积． 故答案为：． 16．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为 ． 【答案】π 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂径定理，图形扫过的面积等知识，确定点M的运动路径是关键．首先确定是直角三角形，可得为定长，可确定点M的运动路径即可求得结果． 【详解】解：如左图，连接， ∵M是的中点， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 当点C在A点时，则点D是的中点E；当点C运动到的中点E时，点D与点B重合，如右图， ∴点M的运动路径是以O为圆心，2为半径的一段，且圆心角， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴扫过的阴影部分的面积等于扇形的面积， ∴扫过的面积为为：， 故答案为：． 17．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理和扇形的面积公式是解题关键．连接，根据题意可得出，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴平分． 又∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，已知，，，半径为2的从点A出发，沿方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是 ．    【答案】 【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：，，，分别计算出各部分的长再相加即可 【详解】解：圆心O运动路径如图：    ∵；弧的长度为；， ∴圆心O运动的路程是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键． 三、解答题 19．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点C按顺时针方向旋转90°后的，并写出、坐标； (2)在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点所经过的路线长______（结果保留）． 【答案】(1)见详解，， (2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点、即可得到，根据平面直角坐标系写出点和的坐标即可； （2）利用旋转的性质可知，点B旋转到点所经过的路线是以C点为圆心，CB为半径，圆心角为90度的弧，于是可根据弧长公式计算点B旋转到点所经过的路线长． 【详解】（1）解：旋转后如下图， 点，点； （2）根据平面直角坐标系可知，所以点B旋转到点所经过的路线长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平面直角坐标系识别点的坐标、弧长公式计算经过路线长，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 20．如图，已知，点M是上的一个定点． (1)尺规作图：请在图中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的⊙O的劣弧与、所围成图形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． （1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与、所围成图形的面积进行计算． 【详解】（1）如图，为所作； （2）∵和为的切线， ∴，，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴的劣弧与、所围成图形的面积 故答案为： 21．如图7，的正方形网格纸上有扇形和扇形，点均在格点上．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为；若用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为，求的值． 【答案】 【分析】由、知、，据此可得，利用勾股定理计算可得． 【详解】， 、， ． 【点睛】本题主要考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式及勾股定理． 22．如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，，求得，推出是等边三角形，得到，，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， 为直径， ∴； （2）解：由（1）知， ∴ ∵ ∴，， 是等边三角形， 的长为， 23．如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、勾股定理、扇形面积的计算等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据题意可得出，从而可判断出直线与的位置关系； （2）根据图中阴影部分的面积等于的面积-扇形的面积”即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又∵点A在上， ∴与相切； （2）解：∵的半径为2， ∴， 又∵， ∴， ∴． 24．如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 25．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，，求阴影部分的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据三角形的内角和定理求出，由得到，从而利用三角形的内角和定理可得； （2）由点D是斜边上的中线可得，又由，得到为等边三角形，从而，因此可分别求出扇形和等边的面积，它们的差即为阴影部分的面积． 【详解】（1）连接CD，如图， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴的度数为； （2）∵D是的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查圆的基本性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质等，综合运用相关知识是解题的关键． 26．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为 ； （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数． 【答案】（1）图见解析，；（2） 【分析】（1）直接利用垂径定理的推论得出圆心的位置； （2）直接利用勾股定理逆定理以及借助网格分析得出答案． 【详解】解：（1）如图；D（2，0） （2）如图；AD＝＝＝2； 作CE⊥x轴，垂足为E． ∵DA=DC,CE=OD，∠CEO=∠AOD=90°， ∴△AOD≌△DEC， ∴∠OAD=∠CDE， 又∵∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠CDE+∠ADO=90°， ∴∠ADC=180°-90°=90°， ∴扇形DAC的圆心角为90度； 【点睛】本题考查了应用设计与作图以及勾股定理的逆定理，正确应用网格是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$