第11讲 综合与实践测量与误差（1个知识点+1种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第11讲 综合与实践测量与误差（1个知识点+1种题型+分层练习） 知识清单 知识点．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型强化 题型一．相似三角形的应用 1．（2021秋•临泉县期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•瑶海区校级期中）如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树的高度为 　　． 3．（2023秋•临泉县期末）在《数书九章》（宋秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人跟到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 分层练习 一、单选题 1．同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为（　　） A．0.8米 B．6.4米 C．12.8米 D．25.6米 2．如图，△ABC中，DFEGBC，且AD＝DE＝EB，则△ABC被分成的三部分的面积比SⅠ∶SⅡ∶SⅢ为(　 ) A．1∶1∶1 B．1∶3∶5 C．1∶2∶3 D．1∶4∶9 3．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，在点F处竖立一根长为米的标杆，如图所示，量出的影子的长度为米，再量出旗杆的影子的长度为米，那么旗杆的高度为（    ）    A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 4．如图，小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点 E．C，E，A三点在同一直线上，B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼的高为15米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高为（　　） A．40米 B．20米 C．15米 D．30米 5．如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，斜梁，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为点在的延长线上，立柱，如图所示，若，则斜梁增加部分的长为（ ） A． B． C． D． 6．如图，小明晚上由路灯下的处走到处时，测得影长为，从处继续往前走达到处时，测得影子的长为，已知小明的身高，则路灯的高度等于（  ） A． B． C． D． 7．据记载，金字塔的高度最早是由古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理测得的．胡夫金字塔是古埃及金字塔中最高的金字塔，现仿照泰勒斯的方法，测量胡夫金字塔的高度，右图为示意图．在同一时刻，标杆高度是3米，影长是4米，胡夫金字塔影长约为182米，则胡夫金字塔的高度大约为（    ） A．109.2米 B．136.5米 C．242.7米 D．303.3米 8．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为，．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点．使视线通过“矩”的另一端，测得， ．若“矩”的边 ．，边，则树高为(    ) A． B． C． D． 9．一种雨伞的截面图（如图所示），伞骨，支掌杆，当点沿滑动时，雨伞开闭．若，，此时、两点间的距离等于（    ） A． B． C． D． 10．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　） A．150步 B．200步 C．250步 D．300步 二、填空题 11．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的 米处． 12．如图是数学实践课上一同学设计的测量旗杆高度的示意图，其中是旗杆，是高1米的旗台，在距旗台前24米的地面D处平放一平面镜，该同学站在平面镜后2米的F处正好从平面镜里看到了旗杆的顶部A，若该同学的眼睛E距离地面1.5米，且和均垂直地面，则旗杆 ．     13．如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 cm.    14．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为 cm. 三、解答题 15．如图，有一块锐角三角形的余料，它的边，，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在上，其余的两个顶点分别在，上．若于点，交于点，，求的长度． 16．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=240cm，AB=120cm，球目前在G点位置，AG=80cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过点F反弹后碰到CD边上的点H，再经过点H反弹后，球刚好弹到AD边的中点E处落袋． （1）求证：△BGF∽△DHE； （2）求BF的长． 17．如图所示，小杰家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（BC），一辆小汽车在公路上以60千米/小时匀速行驶，小杰在家观察这辆汽车行驶时，有6秒钟被广告牌挡住．请在图中画出被广告牌挡住的那段公路DE，已知广告牌和公路的距离为35米，求小杰家到公路的距离． 18．晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度．在灯光下，当大华站在D点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达G点，此时又测得大华的影长为4米．如果大华的身高为米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度．    19．综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 20．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 21．如图，在墙面上有一块广告牌，某天傍晚，李华和张莉带着皮尺和手电筒测量广告牌的高度如图，首先，张莉在F处放置手电筒，李华在上调整自己的位置，恰好在点D处时，李华在墙面上的影子顶端位于点C处，测得；然后，张莉把手电筒向后移到点M处，李华再次调整自己的位置，恰好在点G处时，李华在墙面上的影子顶端位于点A处，测得，．李华的身高，，，，点B、D、F、G、M在同一水平直线上，点A、C、B在一条直线上，图中所有点都在同一平面内，请根据相关测量数据，求出的高度． 22．综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由； 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长． 任务3 美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 综合与实践测量与误差（1个知识点+1种题型+分层练习） 知识清单 知识点．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型强化 题型一．相似三角形的应用 1．（2021秋•临泉县期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是 ， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比． 2．（2023秋•瑶海区校级期中）如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树的高度为 　5.5　． 【分析】证明△△可得结论． 【解答】解：由题意可得：， ， △△， ，即， ， ， 故答案为：5.5． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，证明出△△是解此题的关键． 3．（2023秋•临泉县期末）在《数书九章》（宋秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人跟到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，米，米，米，从而可得，米，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，米，米，米， ， 米， （米， ， ， ， ， ， （米， 塔的高度为18.2米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为（　　） A．0.8米 B．6.4米 C．12.8米 D．25.6米 【答案】C 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：设树的高度为h米 由题意可得： 解得：h＝12.8 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于对相似三角形知识的熟练掌握． 2．如图，△ABC中，DFEGBC，且AD＝DE＝EB，则△ABC被分成的三部分的面积比SⅠ∶SⅡ∶SⅢ为(　 ) A．1∶1∶1 B．1∶3∶5 C．1∶2∶3 D．1∶4∶9 【答案】B 【分析】先判断出△ADF∽△AEG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵DFEGBC， ∴△ADF∽△AEG∽△ABC， 又∵AD=DE=EB， ∴三个三角形的相似比是1：2：3， ∴面积的比是1：4：9， 设△ADF的面积是a，则△AEG与△ABC的面积分别是4a，9a， ∴SⅡ=3a，SⅢ=5a，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ=1：3：5． 故选B 【点睛】本题考核知识点：相似三角形性质.．解题关键点：理解相似三角形面积比等于相似比的平方． 3．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，在点F处竖立一根长为米的标杆，如图所示，量出的影子的长度为米，再量出旗杆的影子的长度为米，那么旗杆的高度为（    ）    A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 即， 米． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 4．如图，小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点 E．C，E，A三点在同一直线上，B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼的高为15米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高为（　　） A．40米 B．20米 C．15米 D．30米 【答案】D 【分析】由题可知，和平行，所以有相似三角形，根据对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 5．如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，斜梁，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为点在的延长线上，立柱，如图所示，若，则斜梁增加部分的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件证明，得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分横梁， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，证明，得到是解题的关键． 6．如图，小明晚上由路灯下的处走到处时，测得影长为，从处继续往前走达到处时，测得影子的长为，已知小明的身高，则路灯的高度等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出图形，根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答． 【详解】解：如图， 小明的身高：小明的影长=路灯的高度：路灯的影长， 当小明在处时，，即， 当小明在处时，，即， ， 米，米，米，米， 设，， ， 解得， ， ， 解得米， 即路灯的高度米． 故选C． 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 7．据记载，金字塔的高度最早是由古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理测得的．胡夫金字塔是古埃及金字塔中最高的金字塔，现仿照泰勒斯的方法，测量胡夫金字塔的高度，右图为示意图．在同一时刻，标杆高度是3米，影长是4米，胡夫金字塔影长约为182米，则胡夫金字塔的高度大约为（    ） A．109.2米 B．136.5米 C．242.7米 D．303.3米 【答案】B 【分析】根据同一时刻物高和影长成正比，列出比例式计算后即可得解． 【详解】解：设胡夫金字塔的高度大约为x米，由标杆高度与影长之比等于塔高与影长之比可得： ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键． 8．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为，．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点．使视线通过“矩”的另一端，测得， ．若“矩”的边 ．，边，则树高为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：B． 9．一种雨伞的截面图（如图所示），伞骨，支掌杆，当点沿滑动时，雨伞开闭．若，，此时、两点间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，然后判定和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ∵OE=30cm， BD=30×3=90cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判断出△AOE和△ADB相似是解题的关键． 10．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　） A．150步 B．200步 C．250步 D．300步 【答案】D 【分析】根据题意可知，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求解； 【详解】∵点E，G分别为CD，AD的中点， ∴，， ∴， 又题意可得，， ∴， ∴， 而EF＝30步，GH＝750步， 即， ∴， 解得：， ∴步； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，准确计算是解题的关键． 二、填空题 11．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的 米处． 【答案】10 【分析】由于人和球网是平行的，可以构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】如图： 由题意可知DE//BC ∴△AED∽△ABC ∴即 解得：CE＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求得． 12．如图是数学实践课上一同学设计的测量旗杆高度的示意图，其中是旗杆，是高1米的旗台，在距旗台前24米的地面D处平放一平面镜，该同学站在平面镜后2米的F处正好从平面镜里看到了旗杆的顶部A，若该同学的眼睛E距离地面1.5米，且和均垂直地面，则旗杆 ．     【答案】米 【分析】先根据光的反射定律得出，再得出，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，， 设， 根据光的反射定律， ∵ ∴ ∴ 即 解得 即米 故答案为：米． 13．如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 cm.    【答案】8 【分析】根据相似三角形的性质即可解题. 【详解】解：由小孔成像的特征可知,△OAB∽△OCD, 由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比, ∴30:60=CD：16, 解得：CD=8cm. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键. 14．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为 cm. 【答案】10 【详解】过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交A＇B＇ 于点D， ∵AB// A＇B＇，∴CD⊥A＇B＇，△AOB∽△A＇OB＇， ∴ ， 即 ， ∴OD=10cm， 故答案为10. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键. 三、解答题 15．如图，有一块锐角三角形的余料，它的边，，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在上，其余的两个顶点分别在，上．若于点，交于点，，求的长度． 【答案】为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例和相似三角形对应高的比等于相似比的性质，菱形的性质．设菱形的边长为，根据菱形的对边平行可得，然后求出，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式计算即可得解． 【详解】解：设菱形的边长为， 菱形对边， ， ， 即， 解得， ， ， 即， 解得， 答：的高为． 16．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=240cm，AB=120cm，球目前在G点位置，AG=80cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过点F反弹后碰到CD边上的点H，再经过点H反弹后，球刚好弹到AD边的中点E处落袋． （1）求证：△BGF∽△DHE； （2）求BF的长． 【答案】（1）见详解；（2）90 cm 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断． （2）延长AD交FH的延长线于N，作NM⊥BC交BC的延长线于M．由△GBF∽△NFM，推出 ，由此构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠D=90°， ∵∠GFB=∠HFC，∠FHC=∠EHD，∠HFC+∠FHC=∠DEH+∠EHD=90°， ∴∠HED=∠HFC， ∴∠GFB=∠HED， ∴△BGF∽△DHE； （2）解：延长AD交FH的延长线于N，作NM⊥BC交BC的延长线于M． ∵∠B=∠M=90°，∠GFB=∠HFC， ∴△GBF∽△NFM， ∴ ∴BF=90 cm． 【点睛】此题考查矩形的性质，相似三角形的应用等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 17．如图所示，小杰家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（BC），一辆小汽车在公路上以60千米/小时匀速行驶，小杰在家观察这辆汽车行驶时，有6秒钟被广告牌挡住．请在图中画出被广告牌挡住的那段公路DE，已知广告牌和公路的距离为35米，求小杰家到公路的距离． 【答案】作图见解析，小杰家到公路的距离为50米． 【分析】根据题意，作射线分别交直线于点，则线段即为所求，设小杰家到广告牌的距离为,则小杰家到公路的距离为米，根据路程等于速度乘以时间即可求得的长，根据，可得，进而根据相似三角形的性质即可求得小杰家到公路的距离． 【详解】如图，作射线分别交直线于点，则线段即为所求， 米 设小杰家到广告牌的距离为,则小杰家到公路的距离为米， 解得 小杰家到公路的距离为（米） 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18．晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度．在灯光下，当大华站在D点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达G点，此时又测得大华的影长为4米．如果大华的身高为米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度．    【答案】米 【分析】由得，则，由得，则，得到，解得，则，即可求得的高度． 【详解】解：如图，于点D，于点G，    由题意可知，，米，米，米，米， ∴， ∴， ∴，即①， ∵，， ∴， ∴， ∴，即②， 由①②得，， 解得，， 经检验，是方程的根且符合题意， ∴， 解得，． 答：路灯杆AB的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，在本题中关键是根据两组相似三角形中的公共边和身高建立关于的方程． 19．综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 【答案】塔的高度约为21m． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∵四边形是矩形， 解得， 答：塔的高度约为21米． 20．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 【答案】(1)两路灯的距离为 (2)当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，再证明，利用相似比可得，则，解得； （2）如图2，他在路灯A下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ， ， ，即， ，而， ∴， ∴． 答：两路灯的距离为； （2）解：如图2，他在路灯A下的影子为， ， ， ∴，即， 解得． 答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是． 21．如图，在墙面上有一块广告牌，某天傍晚，李华和张莉带着皮尺和手电筒测量广告牌的高度如图，首先，张莉在F处放置手电筒，李华在上调整自己的位置，恰好在点D处时，李华在墙面上的影子顶端位于点C处，测得；然后，张莉把手电筒向后移到点M处，李华再次调整自己的位置，恰好在点G处时，李华在墙面上的影子顶端位于点A处，测得，．李华的身高，，，，点B、D、F、G、M在同一水平直线上，点A、C、B在一条直线上，图中所有点都在同一平面内，请根据相关测量数据，求出的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，得到，即，求得，再证明，得到，即，求得，即可由 求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ∴的高度为． 22．综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由； 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长． 任务3 美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】任务1：，理由见解析；任务2：②号“”的测量距离为；任务3：镜长至少为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 任务1：根据相似三角形的对应边成比例解答； 任务2：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； 任务3：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】解：任务1：， 理由如下：， ， ，即； 任务2：，且，，， ， ， ②号“”的测量距离为； 任务3：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于，交于， ， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$