第11讲 三角形全等的判定（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第11讲 三角形全等的判定（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点2．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点3．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点4．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点5．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型强化 题型一．三角形的稳定性 1．（2023春•砀山县校级期末）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 　　． 2．（2022秋•铜官区校级期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是　　 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 3．（2023秋•无为市校级月考）世界最长跨海大桥—港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 　　． 题型二．全等三角形的判定 4．（2024•武侯区校级开学）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是　　 A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 5．（2023秋•太湖县期末）如图，用纸板挡住三角形的一部分后，仍能画出与此三角形全等的三角形，其全等的依据是 　　． 6．（2023秋•金安区校级期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点．若点从点出发向点运动，速度为；同时点从点出发向点运动，速度为，运动到某时刻同时停止．在射线上取一点，使与全等，求的长． 题型三．直角三角形全等的判定 7．（2023秋•无为市期末）如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是　　 A． B． C． D． 8．（2020秋•庐江县期中）如图，在中，于，于，与相交于点，若，则　　度． 9．（2022秋•定远县期中）如图，在中，，是过点的直线，于，于点； （1）若、在的同侧（如图所示）且．求证：； （2）若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 题型四．全等三角形的判定与性质 10．（2023秋•瑶海区期末）如图，，，，于点，，，则的长为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•宣城期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则　　． 12．（2024春•海州区校级期末）如图，于点，于点，与交于点，且，．求证：． 题型五．全等三角形的应用 13．（2022秋•蚌山区月考）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且．已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是 　　． 14．（2023秋•凤阳县期末）如图，要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点、，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，测出米，则的长是　　 A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 15．（2023秋•合肥月考）小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．求的长． 分层练习 一、单选题 1．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（    ） A．AB=5，BC=4，AC=10 B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8 C．∠A=80°，AB=6，BC=7 D．∠C=90°，AB=9 2．如图，点B在线段AC上，，，再补充下列-一个条件，不能证明的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，点A，E，F，C在同一条直线上，且，则图中的全等三角形共有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 4．如图，平分，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F与O点都不重合，连接，若添加下列条件中的某一个．就能使，你认为要添加的那个条件是（　　） A． B． C． D． 5．下列命题中，真命题是（ ） A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 6．如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝7，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．4＜AD＜10 B．0＜AD＜10 C．3＜AD＜7 D．2＜AD＜5 7．如图，中，对角线和交于点，，是对角线上的点，添加以下条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 9．如图，在Rt和Rt中，，，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，．有下列结论：①；②；③；④≌．其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，用尺规作图作的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法以及的依据分别是（    ）    A．以点F为圆心，长为半径画弧； B．以点F为圆心，长为半径画弧；AAS C．以点E为圆心，长为半径画弧； D．以点E为圆心，长为半径画弧； 二、填空题 11．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，根据 可知△C′O′D'≌△COD，则说明∠A′O′B′＝∠AOB． 12．已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌ ，△ADC≌ . 13．如图，中，，的角平分线AD、BE相交于点P，过P作交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①；②；③，其中正确的是 ． 14．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段为边在直线的右侧作以为直角边的等腰，则直线的表达式为 .    三、解答题 15．如图：已知在平行四边形中，，于G，于H，求证：与互相平分．    16．小刚今天准备去河里打一桶水送去王奶奶家，如图，小刚的家在 A 处，王奶奶的 家在 B 处，A 、B 到河岸的距离分别为和 ，且，若点 A 到河岸 的中点 的距离为 1000 米，则小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是多少？    17．如图，D是的边延长线上一点，以点C为顶点，射线为一边，在上方利用尺规作，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 18．上数学活动课时，小明为测量池塘两端的距离，设计了如下方案： 如图，先在平地上取一个可直接到达两端的点，连接，并分别延长至，至，使，最后测出的距离即为的长．为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．    证明：在和中， ，______． 19．想测量操场上与地面垂直旗杆的高度，小强如图 1设计的方案：在距B点3m地面上M处测出，在距地面3m的C点处垂直竖立竹竿，测得 m．    (1)请你帮小强求出旗杆的高度； (2)小明如图2设计一个测量方案：测得米，米，根据这些条件能求出旗杆的高度吗？若能请计算求出；若不能请添加一个条件，使之能够计算求出，直接写出添加的条件． 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图，并完成以下问题：    (1)补全； (2)请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)利用格点在图中画出边上的高线； (4)点M为方格纸上的格点（异于点D）．若和全等，则图中这样的格点M共有________个． 21．综合实践：如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．    课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线与堤岸平行） ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转90度直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处． 测量数据 米，米，米 根据题意完成下列两个问题： (1)请你根据题意帮助小明同学将测量方案示意图补充完整； (2)你认为小明制定的方案正确吗？若正确，求出凉亭与游艇之间的距离． 22．八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 三角形全等的判定（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点2．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点3．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点4．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点5．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型强化 题型一．三角形的稳定性 1．（2023春•砀山县校级期末）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 　　． 【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【解答】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键． 2．（2022秋•铜官区校级期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是　　 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 3．（2023秋•无为市校级月考）世界最长跨海大桥—港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 　　． 【分析】利用三角形的稳定性求解即可． 【解答】解：世界最长跨海大桥—港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性． 题型二．全等三角形的判定 4．（2024•武侯区校级开学）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是　　 A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根据定理逐个判断即可． 【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和不全等； 图乙符合定理，即图乙和全等； 图丙符合定理，即图丙和全等； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 5．（2023秋•太湖县期末）如图，用纸板挡住三角形的一部分后，仍能画出与此三角形全等的三角形，其全等的依据是 　角边角（或填　． 【分析】利用全等三角形的判定即可求解． 【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边， 全等的依据为角边角， 故答案为：角边角（或填． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． 6．（2023秋•金安区校级期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点．若点从点出发向点运动，速度为；同时点从点出发向点运动，速度为，运动到某时刻同时停止．在射线上取一点，使与全等，求的长． 【分析】设运动时间为设，，，因为，使与全等，可分两种情况，情况一：当，时，列方程解得，可求出，情况二：当，时，列方程解得，可求出． 【解答】解：设运动时间为，设，，， 因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， 有：， 解得：， ， 情况二：当，时， 有， 解得：， ， 综上所述，或； 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键． 题型三．直角三角形全等的判定 7．（2023秋•无为市期末）如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：，， ．当添加时，可根据“”判定，不符合题意； ．当添加时，可根据“”判定，不符合题意； ．当添加时，可根据“”判定，不符合题意； ．当添加时，无法判定，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟知全等三角形的判定定理及定理是解题的关键． 8．（2020秋•庐江县期中）如图，在中，于，于，与相交于点，若，则　45　度． 【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证，可得，可求． 【解答】解：于，于 ，， 又（对顶角相等） ， 在和中， ， ， ， 即． 故答案为：45． 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 9．（2022秋•定远县期中）如图，在中，，是过点的直线，于，于点； （1）若、在的同侧（如图所示）且．求证：； （2）若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件，证明，再利用角与角之间的关系求证，即可证明； （2）同（1），先证，再利用角与角之间的关系求证，即可证明． 【解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，． ，， ． ． ． （2）．理由如下： 同（1）一样可证得． ，， ， ，即， ． 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用． 题型四．全等三角形的判定与性质 10．（2023秋•瑶海区期末）如图，，，，于点，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，就可以求出的值． 【解答】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ．． ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 11．（2023秋•宣城期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则　　． 【分析】证明，得，根据直角的定义和等量关系可得结论． 【解答】解：在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题是网格型问题，考查了全等三角形的判定与性质，本题构建全等三角形是关键． 12．（2024春•海州区校级期末）如图，于点，于点，与交于点，且，．求证：． 【分析】根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：， ， 即， 于点，于点， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出，进而利用证明与全等解答． 题型五．全等三角形的应用 13．（2022秋•蚌山区月考）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且．已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是 　　． 【分析】根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【解答】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 14．（2023秋•凤阳县期末）如图，要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点、，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，测出米，则的长是　　 A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【分析】由、均垂直于，即可得出，结合、即可证出，由此即可得出米，此题得解． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ， 米． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键． 15．（2023秋•合肥月考）小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．求的长． 【分析】由直角三角形的性质证出，利用证明，由全等三角形的性质得出，进而求出． 【解答】解：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（    ） A．AB=5，BC=4，AC=10 B．∠A=45°，∠C=60°，BC=8 C．∠A=80°，AB=6，BC=7 D．∠C=90°，AB=9 【答案】B 【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得． 【详解】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形； B、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形； C、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度； D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一． 2．如图，点B在线段AC上，，，再补充下列-一个条件，不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，对每个选项分别分析、判断即可求解． 【详解】∵ ∴∠A＝∠CBE 解：A、在△ABD和△BCE中 ∴△ABD≌△BEC（AAS） 故本选项不符合题意； B、在△ABD和△BCE中 ∴△ABD≌△BEC（ASA） 故本选项不符合题意； C、在△ABD和△BCE中 ∴△ABD≌△BEC（SAS） 故本选项不符合题意； D、在△ABD和△BCE中 不能证明△ABD和△BCE全等 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法： SSS、SAS、ASA、AAS． 3．如图，，点A，E，F，C在同一条直线上，且，则图中的全等三角形共有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 【答案】C 【分析】先观察找出可能全等的三角形，根据全等三角形的判定定理依次判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴∠DEF=∠BFE，∠BEF=∠DFE， ∴∠AED=∠CFB，∠AEB=∠CFD， 在△DEF和△BFE中 ∵, ∴△DEF≌△BFE（ASA）， ∴DE=BF,BE=DF， 在△AED和△CFB中 ∵, ∴△AED≌△CFB（SAS），同理可证△AEB≌△CFD， 在△AFD和△CEB中 ∵, ∴△AFD≌△CEB（SAS），同理可证△CED≌△AFB， ∴AD=BC,AB=CD， ∵AC=AC， ∴△ADC≌△CBA（SSS）． 故全等三角形有6对， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确识图找出全等三角形并依据判定定理证明是解题关键． 4．如图，平分，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F与O点都不重合，连接，若添加下列条件中的某一个．就能使，你认为要添加的那个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平分，可得，再结合，根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， A、若添加，无法证得，故本选项不符合题意； B、若添加，无法证得，故本选项不符合题意； C、若添加，无法证得，故本选项不符合题意； D、若添加，则，可利用角角边证得，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 5．下列命题中，真命题是（ ） A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断． 【详解】A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误； B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误； C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误； D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键． 6．如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝7，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．4＜AD＜10 B．0＜AD＜10 C．3＜AD＜7 D．2＜AD＜5 【答案】D 【分析】延长AD到E点，使AD=DE，连接EC，易得△ABD≌△ECD，得到AB=CE=3，在△ACE利用三边关系得到AE取值范围，进而得到AD取值范围. 【详解】延长AD到E点，使AD=DE，连接EC ∵AD是中线 ∴BD=CD 又∠ADB=∠EDC，AD=DE ∴△ABD≌△ECD ∴AB=CE=3 在△ACE中，AC=7，CE=3 ∴7-3＜AE＜7+3，即4＜AE＜10 ∵2AD=AE ∴2＜AD＜5 故选D 【点睛】本题主要考查中线倍长法解题，关键在于能够做出辅助线找到三角形全等. 7．如图，中，对角线和交于点，，是对角线上的点，添加以下条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟悉掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， A：当时，则， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； B：当时，不能判定出四边形是平行四边形，故B正确； C：当时，则， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； D：当时， ∵ ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：B． 8．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，以及全等三角形的判定即可求出答案． 【详解】解：①． ∵， ∴ ． ∵于E，于E， ∴， ∴； ②． ∵，AC为ABCD的对角线， ∴． ∵， ∴； ③． ∵，AC与BD交于点O， ∴， ∴； ④． ∵，AC与BD交于点O， ∴， ∴； ⑤． ∵， ∴， ∴； ⑥． ∵， ∴， ∴； ⑦． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键找出对应相等的边、角，判定两个三角形全等的一般方法有：，同时考查了平行四边形的性质，题目比较容易． 9．如图，在Rt和Rt中，，，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，．有下列结论：①；②；③；④≌．其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】只要证明△ABE≌△ACF，得∠B=∠C 即可判定①；连接AD，证Rt△AED≌Rt△AFD，得即可判定②；在Rt△ACF中，AC>CF，又BE=CF，则AC>BE，即可判定③；利用ASA可证△ACN≌△ABM，即可判断④． 【详解】解：∵∠EAC=∠FAB， ∴∠EAB=∠CAF， 在△ABE和△ACF， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴∠B=∠C．AE=AF，故①正确； 连接AD，如图， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴DE=DF，故②正确． 在Rt△ACF中，AC>CF， ∵BE=CF， ∴AC>BE， 故③错误； 由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB； 在△ACN和△ABM， ， ∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）； 综上所述，正确的结论是①②④，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，学会利用两次全等解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，用尺规作图作的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法以及的依据分别是（    ）    A．以点F为圆心，长为半径画弧； B．以点F为圆心，长为半径画弧；AAS C．以点E为圆心，长为半径画弧； D．以点E为圆心，长为半径画弧； 【答案】D 【分析】根据作一个角等于已知角的作法及全等三角形的判定即可求解． 【详解】解：尺规作图作的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，长为半径画弧， 如图，由题目中的作法可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D．    【点睛】本题考查作图−作已知角、全等三角形的判定与性质，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题 11．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，根据 可知△C′O′D'≌△COD，则说明∠A′O′B′＝∠AOB． 【答案】SSS 【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD'＝OC'，CD＝C'D'，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由作图得OD＝OC＝OD'＝OC'，CD＝C'D'， 则根据“SSS”可判断△C'O'D'≌△COD． 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定． 12．已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌ ，△ADC≌ . 【答案】 △DCB， △DAB. 【分析】根据边边边可判断出三角形ABC与三角形DCB全等，同理可得另外两个三角形全等 【详解】∵AB=CD,AC=BD,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∵AB=CD,AC=BD,AD=AD, ∴△ADC≌△DAB. 【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 13．如图，中，，的角平分线AD、BE相交于点P，过P作交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①；②；③，其中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③． 【详解】解：在中，∵， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中，， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ∵， ，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∴其中正确的是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键． 14．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段为边在直线的右侧作以为直角边的等腰，则直线的表达式为 .    【答案】 【分析】首先求出点A、B的坐标，可得，，然后作轴于E，证明，可得，，求出点C坐标，利用待定系数法可得答案． 【详解】解：在一次函数中，当时，； 当，即时，解得：， ∴，， ∴，， 如图，作轴于E，    由等腰可得，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法的应用，作出合适的辅助线，证明三角形全等，求出点C坐标是解题的关键． 三、解答题 15．如图：已知在平行四边形中，，于G，于H，求证：与互相平分．    【答案】见解析 【分析】连接，，利用判定定理可得，进而可得，，利用平行线的判定定理可得，进而可证得四边形是平行四边形，由此结论可证． 【详解】证明：如图，连接，， 在平行四边形中，， ， ∴在与中， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握其判定定理及性质是解题的关键． 16．小刚今天准备去河里打一桶水送去王奶奶家，如图，小刚的家在 A 处，王奶奶的 家在 B 处，A 、B 到河岸的距离分别为和 ，且，若点 A 到河岸 的中点 的距离为 1000 米，则小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是多少？    【答案】小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是2000米 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定和性质．掌握轴对称的性质是解题的关键．作点A关于的对称点，连接与相交于M，则小刚从 A 处到河里M处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小．根据全等三角形的判定和性质结合A到河岸的中点的距离为1000米，即可求出的值． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接与相交于M，连接．    根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， 即小刚从 A 处到河里M处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小， 根据作图结合题意可知，，， ∴， ∴， ∴M为的中点， ∵A到河岸的中点的距离为1000米， ∴米， ∴米 ∴（米）． 答：小刚从 A 处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是2000米． 17．如图，D是的边延长线上一点，以点C为顶点，射线为一边，在上方利用尺规作，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角的基本步骤是解题的关键． 根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】解：如图所示， 即为所求． 18．上数学活动课时，小明为测量池塘两端的距离，设计了如下方案： 如图，先在平地上取一个可直接到达两端的点，连接，并分别延长至，至，使，最后测出的距离即为的长．为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．    证明：在和中， ，______． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据证明，得出补全证明过程，即可求解． 【详解】证明：在和中， ， ． 19．想测量操场上与地面垂直旗杆的高度，小强如图 1设计的方案：在距B点3m地面上M处测出，在距地面3m的C点处垂直竖立竹竿，测得 m．    (1)请你帮小强求出旗杆的高度； (2)小明如图2设计一个测量方案：测得米，米，根据这些条件能求出旗杆的高度吗？若能请计算求出；若不能请添加一个条件，使之能够计算求出，直接写出添加的条件． 【答案】(1)m (2)不能，添加条件： (或或） 【分析】（1）证明，得到，即可； （2）无法测量，根据全等三角形的判定方法，可以添加即可． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和△中，， ∴， ∴， ∵， ∴m， ∴m； （2）不能，通过已知条件只能得到m， 可以添加， 同法（1）可得：， ∴； 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是根据已知条件，证明三角形全等． 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图，并完成以下问题：    (1)补全； (2)请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)利用格点在图中画出边上的高线； (4)点M为方格纸上的格点（异于点D）．若和全等，则图中这样的格点M共有________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)3 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点即可． （2）根据三角形中线的定义画出图形即可． （3）取格点T，连接交的延长线于点E，线段即为所求． （4）利用等高模型解决问题即可． 【详解】（1）如图，即为所求．      （2）如图，线段即为所求． （3）如图，线段即为所求． （4）满足条件的点在直线a或直线b上，共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查作图-平移变换，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形． 21．综合实践：如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．    课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线与堤岸平行） ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转90度直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处． 测量数据 米，米，米 根据题意完成下列两个问题： (1)请你根据题意帮助小明同学将测量方案示意图补充完整； (2)你认为小明制定的方案正确吗？若正确，求出凉亭与游艇之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)小明的方案是正确的，凉亭与游艇之间的距离为米 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形. （1）根据题意可知，小明的方案中蕴含着一对全等三角形， 即，将图形补充完整即可； （2）由题意可知米, 与 是对顶角, 由“”可判定则 米，说明小明的方案是正确的. 【详解】（1）将测量方案示意图补充完整如图所示： （2）小明的方案是正确的，理由:如图,由题意可知，米, 米,米, ， 在和中, ， ， 米， ∴小明的方案是正确的，这时凉亭与游艇之间的距离为米. 22．八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 23．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)①；②或8 (3)存在最小值，最小值 【分析】（1）联立方程组：，即可求解； （2）①点Q的横坐标为m，由，得点Q，M，N三点横坐标都为m，即可求解； ②先表示出Q，M，N三点坐标，分两种情况，第一种情形：点N是QM的中点时，第二种情形：点M是QN的中点时，根据中点坐标公式即可求解； （3）在CA上取G，使得，连接，先证，当最小，即B、F、G三点共线时，最小，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点P， ∴联立方程组：，解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：①点Q的横坐标为m， ∵， ∴点Q，M，N三点横坐标都为m， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴； ②当时， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴，， 由①知， 第一种情形：点N是QM的中点时，， ， 解得：或16（舍去）； 第二种情形：点M是QN的中点时，， ， 解得：或﹣8（舍去）； 综上，或8； （3）解：存在最小值， 在CA上取点G，使得，连接FG ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于B点，点C为直线与轴的交点， ∴ ， ，， ∵点P的坐标为， ∴点H坐标为， ∴PH垂直平分BD， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ 当最小，即B、F、G三点共线时，最小， 此时最小值． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把的值转化为的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$