特训10 第1-2章 阶段复习（七大模块，江苏月考精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训10 第1-2章 阶段复习（七大模块，江苏月考精选） 模块1：一元二次方程概念及应用 1．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）一元二次方程的常数项是（    ） A． B．4 C． D．2 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）将方程化为一元二次方程的一般形式： ． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）方程是关于的一元二次方程，则 ． 5．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A． B．2 C． D．1 6．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ． 模块2：一元二次方程的解法 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）方程的解是（     ） A． B． C．， D．， 8．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 模块3：根的判别式，根与系数的关系 11．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若实数，满足，求的值为 ． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）若关于x的方程有两个不等的实根，则m的取值范围是 ． 13．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知方程的两根为，则 ． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 15．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 模块4：一元二次方程的实际应用，几何应用 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来元降到元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（    ） A．24 B．12 C．20 D．12或20 18．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为 ． 19．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）水果店王阿姨以每斤元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出斤，为保证每天至少售出斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是 斤(用含的代数式表示)； (2)销售这种水果要想每天赢利元，张阿姨需将这种水果每斤的售价降低多少元？ 模块5：圆的有关概念，求弧长与扇形面积 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中，正确的是（     ） A．正多边形都是中心对称图形； B．圆的直径是这个圆的对称轴； C．90°的圆周角所对的弦是直径； D．垂直于半径的直线是圆的切线. 22．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径 D．半径相等的半圆是等弧 23．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 24．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则弦所对的圆周角等于（     ） A． B．或 C． D．或 26．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）圆锥的高为4，母线长为5，则此圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在正八边形中，四边形的面积为12，则正八边形的面积为    28．（15-16九年级上·广东广州·期末）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为 ． 模块6：垂径定理、圆心角和圆周角 29．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，是的直径，是圆心，弦于，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 30．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，则外接圆的圆心坐标是 ． 31．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，弦的长为，圆心到的垂线段长为，则半径的长为 ．    32．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 34．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ． 35．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，弦，相交于点P，． (1)求证：； (2)若连接恰是的直径，且，则 ． 36．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的直径，弦于E． (1)若，求的长： (2)若，求的度数． 37．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的顶点A、B、C均在上，若，则的大小是（  　） A． B． C． D． 38．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 39．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，半径于点D，，点P在圆周上，则等于（    ） A． B． C． D． 40．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，点是的中点，点是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 模块7：点、直线与圆的位置关系 41．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则此直线与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相离或相切 D．相交 42．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与⊙O的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 43．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点A在上，射线切于点C，若，则 ． 44．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，． (1)作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 45．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 46．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 47．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 48．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知直线l与相离，垂直于直线l，垂点为点A，，与相交于点P，与相切于点B，的延长线交直线l于点C． (1)试判断线段与AC的数量关系，并说明理由； (2)若，求的长； (3)若在上存在唯一点Q，使是以为底边的等腰三角形，求的半径． (4)若在上存在点Q，使是以AC为底边的等腰三角形，求的半径r的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训10 第1-2章 阶段复习（七大模块，江苏月考精选） 模块1：一元二次方程概念及应用 1．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的定义包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，另外一元二次方程的一般形式是．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【解析】解：A．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是一元一次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．是二元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）一元二次方程的常数项是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程中，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可解答． 【解析】解：一元二次方程的常数项是． 故选：A 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）将方程化为一元二次方程的一般形式： ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．先运用多项式乘以多项式法则展开，再移项合并即可． 【解析】解：， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【解析】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程解的定义，把代入方程即可得出的值． 【解析】解：关于的方程的解是， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程解的定义，以及一元一次方程的解法是解答本题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算． 【解析】解：把代入方程得， 所以， 所以 故答案为： 模块2：一元二次方程的解法 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）方程的解是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】 ∴或 ∴，． 故选：C． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤解答即可得. 【解析】解：方程移项得：， 配方，得， 即； 故选：C. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的方法是关键. 9．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）方程两边都除以3，然后移项，配方解方程即可； （2）整理成一般形式，利用公式法解方程即可； （3）变形后用直接开平方法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【解析】（1） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2） 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴ （3） ∴ ∴ 开平方得，， ∴ （4） ∴ ∴ 即， ∴或， 解得 10．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）移项后用因式分解法求解即可. 【解析】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）∵ ∴ ∴ ∴ （4）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 模块3：根的判别式，根与系数的关系 11．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若实数，满足，求的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【解析】解：令， ， ， ， ， 或， 或， ， ，即， 故答案为：3 12．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）若关于x的方程有两个不等的实根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据题意可知且，求解即可． 【解析】解：根据题意得且， 解得：且． 故答案为：且． 13．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知方程的两根为，则 ． 【答案】38 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即． 根据一元二次方程根与系数的关系可以得到，将代数式变形，代入代数式计算即可得到答案． 【解析】解：∵方程的两根为， ， 又 ， 故答案为：38． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系， （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【解析】（1）方程有实数根， ， ， 即； （2）为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 15．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 【解析】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 模块4：一元二次方程的实际应用，几何应用 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来元降到元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【解析】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意可得，， 故选：． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（    ） A．24 B．12 C．20 D．12或20 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键．解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长． 【解析】解：如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∵ 因式分解得：， 解得：或， 分两种情况： ①当时，，不能构成三角形； ②当时，， ∴菱形的周长． 故选：C 18．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，先解一元二次方程得出或，再根据三角形三边关系判断即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， 则或， 解得：或， 当时，三边，不能构成三角形； 当时，此三角形的周长为， 故答案为：11． 19．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 【答案】 【分析】设邀请了个好友转发倡议书，第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键． 【解析】解：由题意，得 ， 解得：（舍去），． ∴n的值是 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）水果店王阿姨以每斤元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出斤，为保证每天至少售出斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是 斤(用含的代数式表示)； (2)销售这种水果要想每天赢利元，张阿姨需将这种水果每斤的售价降低多少元？ 【答案】(1) (2)张阿姨需将这种水果每斤的售价降低元 【分析】本题考查代数式，一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解即可． 【解析】（1）将这种水果每斤的售价降低元， 则每天的销售量是斤 （2）根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 故张阿姨需将这种水果每斤的售价降低元； 模块5：圆的有关概念，求弧长与扇形面积 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中，正确的是（     ） A．正多边形都是中心对称图形； B．圆的直径是这个圆的对称轴； C．90°的圆周角所对的弦是直径； D．垂直于半径的直线是圆的切线. 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念以及中心对称图形，熟记相关结论即可． 【解析】解：正五多边形不是中心对称图形，故A错误； 圆的直径是线段，而圆的对称轴是直线，故B错误； 的圆周角所对的弦是直径，故C正确 经过圆的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故D错误 故选：C ． 22．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径 D．半径相等的半圆是等弧 【答案】D 【分析】本题考查了判断真假命题，圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义，根据圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义逐项分析即可，掌握以上知识是解题的关键． 【解析】、圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角，原选项不正确，不符合题意； 、不共线的三点确定一个圆，原选项不正确，不符合题意； 、圆的切线垂直于过切点的半径，原选项不正确，不符合题意； 、半径相等的半圆是等弧，原选项正确，符合题意； 故选：． 23．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【解析】解：取的中点，连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 24．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆及面积，设的三边分别与相切于点，连接，的半径为，利用等面积法进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解析】解：如图，，，，设的三边分别与相切于点，的半径为，连接， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， 解得， ∴它的内切圆半径是， 故答案为：． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则弦所对的圆周角等于（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质， 根据题意画出图形，然后利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可． 【解析】如图弦把圆分成度数的比为的两条弧， ∴，， ∴， 故选：D． 26．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）圆锥的高为4，母线长为5，则此圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算、勾股定理，由勾股定理求出圆锥的底面半径，再根据扇形的面积公式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：圆锥的高为4，母线长为5， 圆锥的底面半径为， 圆锥的底面周长是， 圆锥的侧面积是：， 故选：C． 27．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在正八边形中，四边形的面积为12，则正八边形的面积为    【答案】24 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形中线的性质，连接交于O，由正八边形的对称性可知点O即为正八边形外接圆的圆心，据此可得，根据三角形中线平分三角形面积可得，则． 【解析】解：如图所示，连接交于O，由正八边形的对称性可知点O即为正八边形外接圆的圆心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24．    28．（15-16九年级上·广东广州·期末）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”即可求解． 【解析】解：由旋转的性质得，， 故答案为：． 模块6：垂径定理、圆心角和圆周角 29．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，是的直径，是圆心，弦于，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．利用直径，则，再由，根据垂径定理得，然后利用勾股定理计算出，再利用进行计算即可． 【解析】解：连接，如图， ∵是的直径，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，， ∴， 故选B． 30．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，则外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由于是直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，可得外接圆的圆心是斜边的中点，再利用中点坐标公式即可得解． 【解析】解：∵是直角三角形，, ∴外接圆的圆心是斜边的中点， ∵点A、B的坐标分别为和， ∴外接圆的圆心坐标是， 故答案为：． 31．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，弦的长为，圆心到的垂线段长为，则半径的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．熟练掌握垂径定理是解题关键．根据垂径定理得出，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【解析】解：∵弦的长为，圆心到的垂线段长为， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查的是圆周角定理，根据圆周角定理即可求解． 【解析】 解：，是的两条半径，点在上，， ． 故选：B． 33．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【解析】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 34．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质．连接，根据，可知为直径，所以，根据，得，，所以，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【解析】解：如图，连接， ， 为直径， ， ，，， ，，则， ， 在中，， ， ， 的半径为． 故答案为：． 35．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，弦，相交于点P，． (1)求证：； (2)若连接恰是的直径，且，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，再结合可得答案； （2）证明，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【解析】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键． 36．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的直径，弦于E． (1)若，求的长： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出答案即可； （2）根据圆周角定理求得，再根据两锐角互余的性质得到答案． 【解析】（1）解：弦，， ， 在中，， ； （2）解：， ， ， ． 37．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的顶点A、B、C均在上，若，则的大小是（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．由圆周角定理可得，又由，可得，然后由，得到，则可求得的度数．． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 38．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，证明，利用直角三角形的两锐角互余求出，然后由同弧所对的圆周角相等即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理得应用． 【解析】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：． 39．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，半径于点D，，点P在圆周上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．由垂径定理得到，根据圆周角定理得到，由半径于点推出是直角三角形，即可求得． 【解析】解：半径于点， ， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 40．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，点是的中点，点是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形性质．点是的中点，则，通过圆内接四边形对角互补求出即可． 【解析】解：∵，点是的中点， ， ∴， ∴， 故选：B． 模块7：点、直线与圆的位置关系 41．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则此直线与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相离或相切 D．相交 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和相交；直线和相切；直线和相离．根据题意，圆心到直线的距离2小于3，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法得到直线与圆的位置关系． 【解析】圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则圆心到直线的距2离小于3，所以直线与圆相交． 故选：D． 42．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与⊙O的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于圆的半径即可得到点在圆外． 【解析】解：：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A在圆外； 故选：A． 43．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点A在上，射线切于点C，若，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查切线的性质，等边对等角，根据切线的性质，角的和差关系求出，再根据等边对等角，得到，即可． 【解析】解：∵射线切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵点A在上， ∴， ∴； 故答案为：65． 44．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，． (1)作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)与相切，理由见详解 【分析】(1)首先利用角平分线的作法得出，进而以点O为圆心，为半径作即可； (2)利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可． 此题考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键. 【解析】（1）解：如图所示： （2）解：相切；过O点作于D点； 平分， ，即， 与直线相切． 45．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据是的直径，得到，根据，证明； （2）根据，的半径为2，求出，进而求出． 【解析】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， 46．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径． 【解析】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， 的半径为3． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 47．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 48．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系．要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【解析】解：连接， 在直角中，，， 则． 由图可知． 故选：B． 49．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，先根据圆周角定理判断点Q在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键． 【解析】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作，如图， 连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 50．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知直线l与相离，垂直于直线l，垂点为点A，，与相交于点P，与相切于点B，的延长线交直线l于点C． (1)试判断线段与AC的数量关系，并说明理由； (2)若，求的长； (3)若在上存在唯一点Q，使是以为底边的等腰三角形，求的半径． (4)若在上存在点Q，使是以AC为底边的等腰三角形，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，，求出，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延长交于，连接，设圆半径为r，则设圆半径为，则，，根据勾股定理结合推出，求出r，即可得出的值． （3）作线段的垂直平分线，作，可得出由再由圆与直线有唯一交点，即，即可求出r． （4）根据已知得出Q在的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，作，求出，求出r范围，再根据相离得出，即可得出答案． 【解析】（1）解：，理由如下： 连接． ∵切于，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长交于，连接， 设圆半径为，则，， 则， ， ∵ ∴， 解得：， ∴， （3）作线段的垂直平分线，作， 则可以推出 由∵圆与直线有唯一交点， ∴， 解得：， 即圆的半径为5． （4）作出线段的垂直平分线，作， 则可以推出 又∵圆与直线有交点， ∴， ， ， ， ∴， 又∵圆与直线相离， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$