特训04 第2章 轴对称图形 阶段复习（六大模型，江苏精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训04 第2章 轴对称图形 阶段复习（六大模型，江苏精选） 模块1：轴对称图形及其性质 1．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（22-23八年级上·广东韶关·期末）下列交通标志图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏常州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称的图形 B．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 C．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 D．线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）有下列说法：（1）线段是轴对称图形；（2）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；（3）成轴对称的两个图形一定全等；（4）轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，与关于直线对称，且，，则等于（　　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，且 7．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点是直线上的点，下列判断一定正确的是(　　) A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河南信阳·期中）小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（    ）    A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 模块2：线段、角的对称性综合 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点D，若，则P到的距离是（　　）     A．4 B．5 C．6 D．7 11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 13．（17-18八年级·广东·单元测试）如图，中，，平分，交于点D，，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 14．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 15．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，在正方形网格中，到两边距离相等的点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 16．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，是的中垂线，的周长为14，，则的长为 ． 17．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    18．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ． 19．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是的角平分线，于 E ，若 ， ，的面积等于 15 ，则 ． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为 ． 21．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若，且已知的面积为2，则的面积是 ． 22．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ． 23．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，，，平分，则的面积是10，则 ． 模块3：求解等腰三角形的有关概念 24．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）等腰三角形的周长为，若一边长为，则底边为（　　） A． B． C．或 D．或 25．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）若等腰三角形的一个角为，则底角为 ． 26．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 27．（2024八年级上·江苏·专题练习）等腰三角形的一个角比另一个角大，则顶角为 度． 28．（14-15八年级上·湖南郴州·期中）等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴． 29．（12-13八年级上·浙江杭州·阶段练习）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 30．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ． 模块4：本章概念、判定与性质综合辨析 31．（15-16八年级下·四川达州·期中）下列命题是真命题的是（  ）． A．有两条边、一个角相等的两个三角形全等． B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线． C．全等三角形对应边上的中线相等． D．有一个角是60°的三角形是等边三角形． 32．（14-15八年级上·江苏泰州·期中）如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 33．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中：①两个全等三角形一定成轴对称；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 35．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）关于等边三角形的说法：（1）等边三角形有三条对称轴；（2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角每于的三角形是等边三角形；（4）等边三角形两边上的中线的交点到三边的距离相等 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 模块5：等腰三角形的对称性综合 36．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）已知中，，，则 ． 37．（22-23八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，连接．下列结论： ；②；③；④，其中，一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示中，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 40．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．    41．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，点是上一点，、的垂直平分线分别交、于点、，则 度． 42．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图在等腰直角中，若，E为中点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 43．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（       ）    A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 模块6：解答综合题 44．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是线段的垂直平分线，垂足为O，点C、D在上．求证：． 45．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 46．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 47．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 48．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 49．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 50．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是： ；中线的取值范围是 (2)【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 第2章 轴对称图形 阶段复习（六大模型，江苏精选） 模块1：轴对称图形及其性质 1．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（22-23八年级上·广东韶关·期末）下列交通标志图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐一分析即可； 【解析】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，故此选项符合题意； C、图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、图形不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级上·江苏常州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称的图形 B．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 C．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 D．线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形和轴对称图形的关系与轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【解析】解：A、两个三角形全等，它们不一定关于某直线成轴对称的图形，原说法错误，不符合题意； B、等腰三角形是关于底边中线所在的直线成轴对称的图形，原说法错误，不符合题意； C、如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，原说法正确，符合题意； D、线段是关于经过该线段中点且与该线段垂直的直线成轴对称的图形，原说法错误，不符合题意； 故选C． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）有下列说法：（1）线段是轴对称图形；（2）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；（3）成轴对称的两个图形一定全等；（4）轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，根据全等三角形的性质，轴对称图形的性质即可一一判断 【解析】解：①线段是轴对称图形，正确； ②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，正确； ③成轴对称的两个图形一定全等，正确； ④轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧，错误，有可能在对称轴上． 故选：C． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，与关于直线对称，且，，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成轴对称图形的性质，根据对应角相等，以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【解析】解：∵与关于直线对称， ， ， ， ． 故选D． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C． D．连接，，则，且 【答案】D 【考点】本题主要考查轴对称的性质和三角形的内角和定理的应用，根据轴对称的性质得三角形与三角形的周长相等，且，，，结合三角形的内角和定理即可求得． 【解析】解：∵与关于直线对称，，， 三角形与三角形的周长相等，且，，， ， ，，正确，不符合题意； 但不正确，错误，符合题意． 故选：． 7．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点是直线上的点，下列判断一定正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．利用轴对称线的性质进行判断即可． 【解析】解：A．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； B．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； C．依据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，故一定成立，本选项正确，符合题意； D．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级上·河南信阳·期中）小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解析】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是． 故选：C． 9．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（    ）    A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案． 【解析】解：如下图，    ∵图形是轴对称图形，对称轴是直线， ∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴． 模块2：线段、角的对称性综合 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点D，若，则P到的距离是（　　）     A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质得到即可． 【解析】解：过点P作于点E，如图， ∵平分，于点D，于点E， ∴． 即P到的距离是． 故选：C． 11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质进行判断． 【解析】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：B． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】B 【分析】解：本题考查了角平分线性质，作辅助线灵活运用角平分线性质；过点D作，垂足为E，根据角平分线性质得到，再用三角形面积即可求出答案． 【解析】解：过点D作，垂足为E，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 13．（17-18八年级·广东·单元测试）如图，中，，平分，交于点D，，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等． 过点D作于点E，根据三角形的面积公式求出，结合角平分线的性质即可解答． 【解析】解：过点D作于点E，则， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故选：A．    14．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【解析】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 故选：D． 15．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，在正方形网格中，到两边距离相等的点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等． 【解析】解：由图可知，平分， ∴点F到两边距离相等， 故选：B． 16．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，是的中垂线，的周长为14，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长． 根据垂直平分线的性质得到，根据的周长为14，得到，从而求得，进而即可解答． 【解析】解：∵是的中垂线， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 17．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，，再由得到答案． 【解析】解：，分别为，的垂直平分线， ，， ， ． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ． 【答案】6 【解析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 连接，先求出，根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，由此得，据此可求出的长． 【解答】解：连接，如下图所示： 在中，，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，，， ， ． 故答案为：6． 19．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是的角平分线，于 E ，若 ， ，的面积等于 15 ，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键． 延长，过D点作于F，根据角平分线的性质得到，由即可求解． 【解析】解：如图 延长，过D点作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ，， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【解析】解：的垂直平分线分别交于点E、F， ， ， 的周长为， 故答案为：13． 21．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若，且已知的面积为2，则的面积是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到、的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积：的面积，从而可计算出的面积． 【解析】解：由作法得平分，则点D到、的距离相等， ∴的面积：的面积， ∵的面积为2， ∴的面积是． 故答案为：． 22．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 【解析】解：如图，过点作于． 由作图可知，平分， ，， ， 根据垂线段最短可知，的最小值为2， 故答案为：2 23．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，，，平分，则的面积是10，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点作于，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到，根据三角形面积公式计算即可． 【解析】解：过点作于，如图， ∵平分，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 故答案为：2． 模块3：求解等腰三角形的有关概念 24．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）等腰三角形的周长为，若一边长为，则底边为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形三边的关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分底为和腰为两种情况分别求出第三边，再结合三角形三边关系判断即可解答． 【解析】解：当底为时，腰为，时三边为：，，符合三角形的三边关系； 当腰为时，底为，此时三边为：，，符合三角形三边关系； 综上，底边为或． 故选：C． 25．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）若等腰三角形的一个角为，则底角为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．分这个的角为底角和顶角两种情况讨论，即可获得答案． 【解析】解：可分两种情况， ①当这个的角为底角时，另一个底角也为； ②当这个的角为顶角时，底角为． 综上所述，底角为或． 故答案为：或． 26．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键． 根据题意分两种情况，当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，讨论求解即可； 【解析】解：分两种情况： 当是锐角三角形时，如图： 是的垂直平分线， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图： 是的垂直平分线， ， ， ， ； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 27．（2024八年级上·江苏·专题练习）等腰三角形的一个角比另一个角大，则顶角为 度． 【答案】或 【解析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．题目中没有明确顶角或底角的度数，解答时要注意分情况进行讨论，这是解题的关键． 【解答】解：①较大的角为顶角，设这个角为，则两个底角均为， 依题意，得：， 解得：； ②较大的角为底角，设顶角为，则两个底角均为， 依题意，得：， 解得：， ∴等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 28．（14-15八年级上·湖南郴州·期中）等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】3 【分析】根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可． 【解析】解：∵等边三角形三条边上的高线所在直线均为对称轴， ∴等边三角形有3条对称轴． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键． 29．（12-13八年级上·浙江杭州·阶段练习）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【解析】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 30．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键； 根据题意分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【解析】解：∵ ∴①当时， 则有； ②当时， 则有； ③当时， 则有， ． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 模块4：本章概念、判定与性质综合辨析 31．（15-16八年级下·四川达州·期中）下列命题是真命题的是（  ）． A．有两条边、一个角相等的两个三角形全等． B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线． C．全等三角形对应边上的中线相等． D．有一个角是60°的三角形是等边三角形． 【答案】C 【解析】A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故原选项错误； B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故原选项错误； C．全等三角形对应边上的中线相等，该选项正确； D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原选项错误. 故选C. 32．（14-15八年级上·江苏泰州·期中）如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【解析】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 33．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中：①两个全等三角形一定成轴对称；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义即可判断①④；根据等腰三角形和等边三角形的性质即可判断②③． 【解析】解：①两个全等三角形由于位置不确定，则不一定成轴对称，说法错误； ②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，说法错误； ③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线，说法正确； ④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，说法正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，三线合一定理，熟知轴对称图形的定义是解题的关键． 34．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形“三线合一”，即可一一判定，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵，是的中点， ∴，平分，，故正确； 由已知条件无法确定，故错误； 故选：． 35．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）关于等边三角形的说法：（1）等边三角形有三条对称轴；（2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角每于的三角形是等边三角形；（4）等边三角形两边上的中线的交点到三边的距离相等 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质与判定，逐一判断即可得到答案． 【解析】解：根据等边三角形的性质：①等边三角形三条边都相等，三个内角都相等，每一个角为60度；②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)； ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线； （1）等边三角形有三条对称轴，故此说法正确； （2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故此说法正确； （3）有两个角等于的三角形是等边三角形，故此说法正确； （4）等边三角形两边上的中线的交点，也就是两个内角平分线的交点，因此该点到三边的距离相等，故此说法正确； 综上分析可知，正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质与判定． 模块5：等腰三角形的对称性综合 36．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）已知中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，由等边三角形的判定和性质，可求解，关键是掌握等边三角形的判定方法及性质． 【解析】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 37．（22-23八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用是等腰直角三角形先求出，再利用是等腰三角形求出，最后利用直角求出即可． 【解析】解： 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 38．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，连接．下列结论： ；②；③；④，其中，一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质判断即可． 【解析】解：∵， ∴，故①正确； ∵，D是的中点， ∴，故②正确； ∵，D是的中点， ∴，故③正确； 不能得出，故④错误； 正确的个数是3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 39．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示中，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求角度，涉及等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和三角形的外角性质，先由等边三角形的判定与性质得到，进而由等腰三角形性质及外角性质得到、，从而得到答案，熟练掌握等边三角形的判定与性质、外角性质是解决问题的关键． 【解析】解：， 是等边三角形， ， ，是的一个外角， ， ，是的一个外角， ， ， 故选：C． 40．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．    【答案】15 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理得到，再由等边对等角得到，则． 【解析】解：∵在等边中，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 41．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，点是上一点，、的垂直平分线分别交、于点、，则 度． 【答案】70 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．先根据线段的垂直平分线的性质得到，，则根据等腰三角形的性质得到，，然后利用平角的定义得，利用三角形内角和定理得到，所以． 【解析】解：、的垂直平分线分别交、于点、， ，， ，， ， ，， ． 故答案为：70 42．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图在等腰直角中，若，E为中点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，先根据直角三角形的性质得出，然后判定是等边三角形，最后利用三角形外角的性质即可求解． 【解析】解：∵，E为中点， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵等腰直角中，， ∴， ∴． 故选：D． 43．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（       ）    A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】连接．根据等腰三角形的性质可求出，即①正确；由点O是动点，可知与不一定相等，则与不一定相等，即②不正确；由三角形内角和定理结合①可求出，即证明是等边三角形，即③正确；在上截取，连接．证明，即得出，从而可求出，即④正确． 【解析】解：如图1，连接．      ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①知，． ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形，故③正确； ④如图，在上截取，连接．    ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键． 模块6：解答综合题 44．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是线段的垂直平分线，垂足为O，点C、D在上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此可证明，进而可证明． 【解析】证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 45．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是 三角形． 【答案】(1)见解析 (2)等腰 【分析】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 46．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些几何性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解析】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 47．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解析】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 48．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质定理、等边三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于，，所以只需证即可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，将四边形的周长用表示，最小时就是四边形的周长最小，根据垂线段最短原理，当时，最小，此时就是的一半． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长， 根据垂线段最短，当时，值最小，四边形的周长取最小值， ∵， ∴． 49．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识解决问题． （1）根据等边三角形的性质，易证，利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得的度数； （2）利用（1）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，根据线段的和差及全等三角形的性质求解即可． 【解析】（1）证明：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 50．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是： ；中线的取值范围是 (2)【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则． 【解析】（1）解：延长至E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ； 故答案为：；； （2）解：，证明如下： 延长至点，使，连接、，如图2所示：    同（1）可证：， ， ，， ∴是线段的垂直平分线， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3）解：，理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示：    同（1）得：， ，， ， ，即， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$